10.2 实数
第1课时 实数的相关概念
无理数
1.下列各数中,无理数是 ( )
A.- B.3.14 C.0 D.π
2.已知自然常数e=2.718 281 828 459 045…,它是一个无理数,则在下各数中, 也是无理数 ( )
A. B. C.3.142 D.
3.(数学文化)相传,古希腊有一个叫希帕索斯的人发现:边长为1的正方形的对角线长的平方等于2,这个对角线的长度是以前从来没有见到过的数,它既不循环,又是无穷尽的,这个数就是今天我们所说的无理数.下列各数属于无理数的是 ( )
A. B.3.14 C.0 D.
实数的概念及分类
4.下列说法正确的是 ( )
A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数
C.两个无理数的和还是无理数 D.有理数和无理数统称为实数
5.下列各数既是负实数,又是无理数的是 ( )
A.1 B.0 C.- D.-
6.(开放性试题)聪聪在学完实数后,对数进行分类时,发现“实数”“整数”“正数”“无理数”有如图所示的关系,请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数.
实数与数轴上点的关系
7.与数轴上的点具有一一对应关系的数是 ( )
A.实数 B.有理数
C.无理数 D.整数
8.(2024南充中考)如图,数轴上表示的点是 ( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
9.数轴上点A到原点的距离为,则点A所表示的数是 ( )
A. B.-
C.或- D.2
1.下列一组数:-8,2.7,-3,,0.2,0.666 66…,8.080 080 008…(每相邻两个8之间依次多一个0),其中无理数的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.圆周率日是一年一度的庆祝圆周率π的节日,由圆周率π最常用的近似值3.14而来,时间被定在3月14日.那么圆周率π是 ( )
A.分数 B.负数
C.有理数 D.无理数
3.如图,正方形M的边长为m,正方形N的边长为n,若两个正方形的面积分别为9和5,则下列关于m和n的说法,正确的是 ( )
A.m为有理数,n为无理数
B.m为无理数,n为有理数
C.m,n都为有理数
D.m,n都为无理数
4.下列说法中,不正确的个数是 ( )
①实数包括有理数、无理数和零;②有理数和数轴上的点一一对应;
③所有无理数都是无限不循环小数;④实数可分为正实数和负实数;
⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1.
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(开放性试题)请写出满足条件x-5<0的一个无理数: .
6.将下列各数填入相应的集合中:
-7,0,-22,-2.555 55…,3.01,
+9,2.020 020 002…(每相邻两个2之间依次多一个0),+10%,-2π.
有理数集:{ …};
无理数集:{ …};
整数集:{ …};
分数集:{ …}.
7.(开放性试题)写出四个同时满足下列三个条件的实数:(1)绝对值最大的数是负整数;(2)其中两个数互为相反数;(3)最小的正数是无理数.
8.如图,正方形ABCD的边AB在数轴上,点B表示的数为-1,正方形ABCD的面积为16.图中阴影部分为正方形且其顶点均在格点上(图中的网格为正方形网格).
(1)数轴上点A表示的数为 ;
(2)求图中阴影部分的面积;
(3)阴影部分正方形的边长是多少 并在数轴上表示出点E,使点E表示的数为该正方形的边长.
9.(模型观念)数学课上,好学的小明向老师提出了一个问题:无限循环小数是无理数吗
以0.为例,老师给小明做了以下解答(注:0.即0.333 33…):
设0.为x,即0.3=x,
等式两边同时乘以10,得3.=10x,
即3+0.=10x.因为0.=x,所以3+x=10x,解得x=,即0..
因为分数是有理数,所以0.是有理数,同学们,你们学会了吗 请根据上述阅读,解决下列问题:
(1)无限循环小数0.写成分数的形式是 ;
(2)请用解方程的办法将0.写成分数.
【详解答案】
基础达标
1.D 2.D 3.D 4.D 5.C
6.(答案不唯一)①- ② ③1
④ ⑤-1 ⑥-
7.A 8.C 9.C
能力提升
1.C 解析:,8.080 080 008…(每相邻两个8之间依次多一个0)是无理数.故选C.
2.D 解析:π是无限不循环小数,所以是无理数.故选D.
3.A 解析:由题意,得m==3,3是整数,属于有理数;n=,是无理数.故选A.
4.D 解析:①实数包括有理数和无理数,0属于有理数,①中说法错误,符合题意;
②实数和数轴上的点一一对应,②中说法错误,符合题意;
③所有无理数都是无限不循环小数,③中说法正确,不符合题意;
④实数可分为正实数,0,负实数,④中说法错误,符合题意;
⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0,⑤中说法错误,符合题意.
所以不正确的个数是4.
故选D.
5.(答案不唯一) 解析:∵x-5<0,∴x<5.
∴无理数可以为.
6.-7,0,-22,-2.555 55…,3.01,+9,+10%
2.020 020 002…(每相邻两个2之间依次多一个0),-2π
-7,0,+9
-22,-2.555 55…,3.01,+10%
7.解:四个满足条件的实数为-3,-2,,2.(答案不唯一)
8.解:(1)-5
(2)图中阴影部分的面积=16-×3×1×4=10.
(3)∵图中阴影部分正方形的面积是10,
∴阴影部分正方形的边长是.
以原点为圆心,阴影部分正方形的边长为半径画弧,与数轴正半轴交于一点E,如图所示,该点即为所求.
9.解:(1)
(2)设0.为x,即0.=x,
等式两边同时乘以100,得21.=100x,
即21+0.=100x,
因为0.=x,所以21+x=100x,
解得x=,即0..第2课时 实数的大小比较及运算
实数的相反数、绝对值和倒数
1.-的倒数的平方是 ( )
A.2 B.
C.-2 D.-
2.|π-3.14|= .
3.计算下列各数的相反数、倒数、绝对值.
(1)-的相反数是 ,倒数是 , 绝对值是 ;
(2)-的相反数是 ,倒数是 ,绝对值是 .
4.求下列各数的相反数和绝对值:
(1); (2);
(3); (4)-2.
实数的大小比较
5.(2024威海中考)下列各数中,最小的数是 ( )
A.-2 B.-(-2)
C.- D.-
6.下列各数中,大于3的数是 ( )
A.2 B. C. D.
7.(开放性试题)请写出一个比小的无理数: .
实数的运算
8.下列各式中正确的是 ( )
A.=±2 B.=-3
C.=2 D.2
9.3-= .
10.计算:
(1);
(2)()2-|1-|+;
(3)|-5|-+(-2)2+4÷(-).
1.下列各数中与最接近的是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.下列各组数中,不相等的一组是 ( )
A.|-3|2与(-3)2 B.-与-3
C.(-3)2与-32 D.(-3)3与-33
3.计算所得结果是 ( )
A.3 B.
C. D.±
4.(数形结合)如图,正方形ABCD的面积为7,顶点A在数轴上表示的数为1,若点E在数轴上(点E在点A的左侧),且AD=AE,则点E所表示的数为 ( )
A. B.+1 C.- D.1-
5.比较大小:- -4.(填“>”“<”或“=”)
6.若与|b-3|互为相反数,则ab= .
7.计算(精确到0.01):
(1)-π;
(2)+(2+|+3|);
(3)3-||;
(4).
8.已知下列各数:-4,-(-1),-π,|-3|,.
(1)将上述各数表示在数轴上;
(2)将上述各数按从小到大的顺序用“<”连接.
9.如图,数轴上从左至右依次有C、O、A、B四个点,表示的数分别为x,0,1和,且AB=CO.
(1)求AB的长,并求x的值;
(2)求(x+)2的平方根.
10.(运算能力)任意实数x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和,即x=[x]+{x},其中[x]表示不超过x的最大整数,0≤{x}<1.例如:=[]+{},其中[]=1,{}=-1;又如-2.5=[-2.5]+{-2.5},其中[-2.5]=-3,{-2.5}=0.5.
回答下列问题:
(1)[]= ,{}= ;
(2)[1-]= ;
(3)若[x]=2,[y]=4,则[x+y]所有可能的值为 .
【详解答案】
基础达标
1.B 2.π-3.14
3.(1)9 - 9 (2)-3 3
4.解:(1)因为=-4,所以的相反数是4,绝对值是4.
(2)因为=15,所以的相反数是-15,绝对值是15.
(3)的相反数是-,绝对值是.
(4)-2的相反数是2-,因为<2,所以-2<0,所以|-2|=-(-2)=2-.
5.A 6.C 7.(答案不唯一)
8.D 解析:A.=2,故选项A不合题意;B.=3,故选项B不合题意;C.≠2,故选项C不合题意;D.2,故选项D符合题意.故选D.
9.0
10.解:(1)原式=6+2-5=3.
(2)原式=5-(-1)+=5-+1+=6.
(3)原式=5-3+4-6=0.
能力提升
1.B 解析:∵,
∴3.5<<4.
∴与最接近的是4.
故选B.
2.C 解析:A.|-3|2=9,(-3)2=9,不符合题意;
B.-=-3,不符合题意;
C.(-3)2=9,-32=-9,9≠-9,符合题意;
D.(-3)3=-27,-33=-27,不符合题意.故选C.
3.C 解析:
=
=.
故选C.
4.D 解析:∵正方形ABCD的面积为7,
∴AD=.
∵AD=AE,
∴AE=.
∵点A表示的数为1,且点E在点A的左侧,
∴点E所表示的数为1-.
故选D.
5.< 解析:∵()2=17,42=16,
∴>4.
∴-<-4.
6.-6 解析:∵和|b-3|互为相反数,∴+|b-3|=0.
∴a+2=0,b-3=0.
∴a=-2,b=3.∴ab=-6.
7.解:(1)原式≈×2.236+1.260-3.142≈-0.76.
(2)原式=+3+2+3+=1+8+=9+≈9+2.646≈11.65.
(3)原式=3-()=3+=4≈4×1.414≈5.66.
(4)原式≈3.317×1.414×2.449≈11.49.
8.解:(1)如图.
(2)-4<-π<-(-1)<<|-3|.
9.解:(1)∵点A、B表示的数分别为1,,
∴AB=-1.
∵点C、O在数轴上对应的数分别为x,0,
∴CO=0-x=-x.
∵AB=CO,
∴-1=-x.
∴x=1-.
(2)当x=1-时,
(x+)2=(1-)2=12=1,
∵1的平方根是±1,
∴(x+)2的平方根是±1.
10.(1)3 -3 (2)-3 (3)6或7
解析:(1)∵3<<4,
∴[]=3,{}=-3.
(2)∵3<<4,
∴-4<-<-3.
∴-4+1<1-<-3+1,
-3<1-<-2.
∴[1-]=-3.
(3)∵[x]=2,[y]=4,
∴2≤x<3,4≤y<5.
∴6≤x+y<8.
∴[x+y]=6或7.
