2.两数和(差)的平方
两数和(差)的平方公式(完全平方公式)
1.下列多项式中,是完全平方式的为 ( )
A.x2-x+ B.x2+x+
C.x2+x- D.x2-x+
2.计算(-x+2)2的结果是 ( )
A.x2-4x+4 B.-x2-4x+4
C.x2+4x+4 D.-x2+4x+4
3.下列算式中,可用完全平方公式计算的是 ( )
A.(1+x)(1-x)
B.(-x-1)(-1+x)
C.(x-1)(1+x)
D.(-x+1)(1-x)
4.(2025昭通昭阳区期末)运用完全平方公式计算:(5x-3y)2=25x2+( )+9y2.
5.运用完全平方公式计算:
(1)(3a+b)2;
(2)(x-2y)2;
(3)(-2x-y)2.
运用完全平方公式进行简便计算
6.用简便方法计算9992,应该是计算 ( )
A.(1 000-1)2
B.(1 000-1)(1 000+1)
C.(999+1)(999-1)
D.(999+1)2
7.运用完全平方公式进行简便计算:
(1)2 0192;
(2)1012+992.
1.计算(a-b)(-a+b)的结果等于 ( )
A.-a2-b2 B.-a2+2ab-b2
C.a2-b2 D.a2-2ab+b2
2.对于下列整式:①a2-2a+1;②m2+m+1;③16b2-2b+;④4x2-xy+y2;⑤a2+4b2-4ab;⑥m2n2-mn+.其中完全平方式的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.已知x2-6x+a是完全平方式,则a的值为 ( )
A.-32 B.36 C.9 D.±9
4.(新考法)我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理验证,观察下列图形,可以推出公式(a-b)2=a2-2ab+b2的是 ( )
5.已知a2+b2=8,(a+b)2=20,则ab= .
6.计算:2 0252-4 050×2 024+2 0242+2 024×2 026= .
7.计算:
(1)(2x+y-2)(2x+y+2);
(2)(x+5)2-(x-2)(x-3).
8.张老师在黑板上布置了一道题:计算:2(x+1)2-(4x-5),求当x=和x=-时的值.小亮和小新展开了下面的讨论,你认为他们两人谁说的对 并说明理由.
小亮:我发现这个式子,当x=和x=-时,它的值始终是相等的.
小新:不可能,对于不同的值,应该有不同的结果.
9.已知(a-b)2=25,ab=-6,求下列各式的值.
(1)a2+b2;
(2)a4+b4.
10.(推理能力)阅读材料,解答下列问题:
【数学文化】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“贾宪三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在贾宪三角中,第三行的三个数(1,2,1)恰好对应着两数和的平方(a+b)2的展开式a2+2ab+b2的系数.类似的,通过计算可以发现:第四行的四个数(1,3,3,1)恰好对应着两数和的立方(a+b)3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3的系数,等等.由此可见,贾宪三角可以看作是对两数和的平方公式的推广.
【问题解决】
(1)根据上面的规律,可得(a+b)5的展开式中共有 项,其中a3b2项的系数为 ;
(2)请结合图2中的展开式计算下面的式子:(x+2)3= ;
(3)利用上面的规律计算:-4×+6×-4×+1.
【详解答案】
基础达标
1.A 2.A 3.D 4.-30xy
5.解:(1)(3a+b)2=9a2+6ab+b2.
(2)(x-2y)2=x2-2xy+4y2.
(3)(-2x-y)2=4x2+4xy+y2.
6.A
7.解:(1)原式=(2 020-1)2
=4 080 400-4 040+1
=4 076 361.
(2)原式=(100+1)2+(100-1)2
=10 000+200+1+10 000-200+1
=20 002.
能力提升
1.B 解析:(a-b)(-a+b)=-(a-b)2=-a2+2ab-b2.
故选B.
2.A 解析:∵a2-2a+1=(a-1)2,
∴①是完全平方式;
∵m2+m+1≠(m+1)2,
∴②不是完全平方式;
∵16b2-2b+=(4b-)2,
∴③是完全平方式;
∵4x2-xy+y2≠(2x-y)2,
∴④不是完全平方式;
∵a2+4b2-4ab=(a-2b)2,
∴⑤是完全平方式;
∵m2n2-mn+=(mn-)2,
∴⑥是完全平方式.
综上可知,①③⑤⑥是完全平方式,共4个.
故选A.
3.C 解析:∵x2-6x+a是完全平方式,
∴x2-6x+a=x2-6x+32.
∴a=32=9.
故选C.
4.D 解析:A.由图形面积可得(a+b+c)d=ad+bd+cd,故本选项不符合题意;B.由图形面积可得(a+b)·(c+d)= ac+ad+bc+bd,故本选项不符合题意;C.由图形面积可得(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项不符合题意;D.由图形面积可得(a-b)2=a2-2ab+b2,故本选项符合题意.故选D.
5.6 解析:由条件可知a2+2ab+b2=20,
又∵a2+b2=8,
∴2ab+8=20.
∴ab=6.
6.4 100 625 解析:2 0252-4 050×2 024+2 0242+2 024×2 026
=2 0252-2×2 025×2 024+2 0242+2 024×2 026
=(2 025-2 024)2+(2 025-1)×(2 025+1)
=1+2 0252-1
=2 0252
=4 100 625.
7.解:(1)原式=(2x+y)2-4=4x2+4xy+y2-4.
(2)原式=x2+10x+25-x2+5x-6=15x+19.
8.解:小亮说的对.理由如下:
2(x+1)2-(4x-5)
=2x2+4x+2-4x+5
=2x2+7,
∵()2=(-)2,
∴小亮说的对.
9.解:(1)∵(a-b)2=25,ab=-6,
∴a2+b2=a2+b2-2ab+2ab=(a-b)2+2ab=25+2×(-6)=25-12=13.
(2)∵a2+b2=13,ab=-6,
∴a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=132-2×(-6)2=169-72=97.
10.解:(1)6 10
(2)x3+6x2+12x+8
(3)∵(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,
∴原式=+4××1+6××12+4×(-)×13+14
=
=
=.11.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
平方差公式
1.计算:(2a+b)(2a-b)= ( )
A.4a2+b2 B.4a2-b2
C.2a2-b2 D.2a2+b2
2.下列各式能用平方差公式计算的是 ( )
A.(a+b)(-a-b) B.(a+b)(b+a)
C.(a-b)(b-a) D.(b-a)(-a-b)
3.已知a+b=3,a-b=2,则a2-b2等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(易错题)(2024上海中考)计算:(a+b)(b-a)= .
5.运用平方差公式计算:
(1)(-1+5x)(-1-5x);
(2);
(3)(a-2)(a+2)+4(1-a2).
运用平方差公式进行简便计算
6.计算:1 0232-1 024×1 022= .
7.运用平方差公式计算:
(1)69.8×70.2;
(2)30.98×31.02.
1.下列等式中,正确的是 ( )
A.(a-2b)(b+2a)=2a2-2b2
B.(2a-b)(-2a-b)=4a2-b2
C.(2a+b)(-2a-b)=4a2-b2
D.(a-2b)(2b+a)=a2-4b2
2.(教材变式)四张相同的梯形硬纸板可拼成平行四边形(如图1),也可拼成正方形(如图2),根据两个图形中阴影部分面积的关系,可以得到一个关于x、y的等式为 ( )
A.(x+y)(x-y)=x2-y2
B.x2+2xy+y2=(x+y)2
C.(x-y)2=x2-2xy+y2
D.x2-xy=x(x-y)
3.已知x+y=6,x2-y2=-18,则x-y的值为 ( )
A.3 B.-3 C.6 D.-9
4.为了美化校园,学校把一个边长为a m(a>4)的正方形跳远沙池的一边增加1 m,相邻的一边减少1 m改造成长为(a+1)m、宽为(a-1)m的长方形跳远沙池.如果这样,那么沙池的面积会 ( )
A.变小
B.变大a m2
C.没有变化
D.变大1 m2
5.若(x+n)(x-1)=x2-1,则n的值为 .
6.(2025北京门头沟区期末)当m2+2m-2=0时,代数式(m+1)(m-1)+2m的值为 .
7.计算:
(1)(m+n)(m-n)+n(2m+n);
(2)3 0002-2 998×3 002;
(3)(a-b)(a+b)(a2+b2).
8.先化简,再求值:(y+2)(y-2)-(y-1)·(y-3),其中y=4.
9.如图1是一张边长为a的正方形纸片,在它的一角剪去一个边长为b的小正方形,然后将图1剩余部分(阴影部分)剪拼成如图2的一个大长方形(阴影部分).
(1)请分别用含a、b的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积:图1中阴影部分的面积为 ;图2中阴影部分的面积为 ;
(2)请探究并直接写出a2-b2、a+b、a-b这三个式子之间的等量关系为 ;
(3)利用(2)中的结论,求542.72-457.32的值.
10.(推理能力)阅读解答:
(1)填空:
(a-b)(a+b)= ;
(a-b)(a2+ab+b2)= ;
(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)= .
(2)类推:(a-b)(b+…+a)= (其中n为正整数,且n≥2).
(3)利用(2)的结论计算:
①221+220+219+…+23+22+2+1;
②716-715+714-713+712-711+…-73+72-7.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.D 3.D 4.b2-a2
5.解:(1)(-1+5x)(-1-5x)=(-1)2-(5x)2=1-25x2.
(2)(5a+2b)(5a-2b)=(5a)2-(2b)2=25a2-4b2.
(3)(a-2)(a+2)+4(1-a2)=a2-4+4-4a2=-3a2.
6.1
7.解:(1)69.8×70.2=(70-0.2)×(70+0.2)=702-0.22=4 899.96.
(2)30.98×31.02=(31-0.02)×(31+0.02)=312-0.022=960.999 6.
能力提升
1.D 解析:A.(a-2b)(b+2a)=ab+2a2-2b2-4ab=2a2-3ab-2b2,故A选项错误,不符合题意;B.(2a-b)·(-2a-b)=(-b)2-(2a)2= b2-4a2,故B选项错误,不符合题意;C.(2a+b)(-2a-b)=-4a2-4ab-b2,故C选项错误,不符合题意;D.(a-2b)·(2b+a)=a2-(2b)2=a2-4b2,故D选项正确,符合题意.
故选D.
2.A 解析:题图1是底为x+y、高为x-y的平行四边形,因此面积为(x+y)(x-y),题图2阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差,即x2-y2,
所以有(x+y)(x-y)= x2-y2.
故选A.
3.B 解析:∵x2-y2=-18,
∴(x+y)(x-y)=-18.
∵x+y=6,
∴6(x-y)=-18.
∴x-y=-3.
故选B.
4.A 解析:原正方形的面积为a2 m2,变化后长方形的面积为(a+1)(a-1)=(a2-1)m2,
所以变化后与原来相比面积变小了,
故选A.
5.1 解析:∵(x+n)(x-1)=x2-1=(x+1)(x-1),
∴n=1.
6.1 解析:∵m2+2m-2=0,
∴m2+2m=2.
∴(m+1)(m-1)+2m
=m2-1+2m
=2-1
=1.
7.解:(1)原式=m2-n2+2mn+n2=m2+2mn.
(2)原式=3 0002-(3 000-2)×(3 000+2)
=3 0002-(3 0002-4)
=4.
(3)原式=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4.
8.解:(y+2)(y-2)-(y-1)(y-3)
=y2-4-(y2-3y-y+3)
=y2-4-y2+3y+y-3
=4y-7.
当y=4时,原式=16-7=9.
9.解:(1)a2-b2 (a+b)(a-b)
(2)a2-b2=(a+b)(a-b)
(3)由(2),得
542.72-457.32=(542.7+457.3)×(542.7-457.3)
=1 000×85.4
=85 400.
10.解:(1)a2-b2 a3-b3 a4-b4
(2)an-bn
(3)①原式=(2-1)(221+220+219+…+23+22+2+1)=222-1.
②716-715+714-713+712-711+…-73+72-7
=[7-(-1)][716+715×(-1)+714×(-1)2+713×(-1)3+712×(-1)4+711×(-1)5+…+73×(-1)13+72×(-1)14+7×(-1)15+(-1)16-(-1)16]
=
=.
