第2课时 公式法
用平方差公式分解因式
1.下列各多项式中,能直接用平方差公式分解因式的是 ( )
A.a2+9 B.a2-6a+9
C.-a2-9 D.a2-9
2.因式分解(x-1)2-9的结果是 ( )
A.(x-10)(x+8) B.(x+8)(x+1)
C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4)
3.若x+y=3,x2-y2=9,则x-y的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.-3
4.因式分解:x2-4= .
5.分解因式:
(1)x3-9x;
(2)(x2+y2)2-4x2y2;
(3)(2x+y)2-(x+2y)2.
用完全平方公式分解因式
6.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 ( )
A.x2+2x-1 B.x2+x+
C.x2+2x+4 D.x2-6x+9
7.因式分解:a2-2a+1= .
8.(易错题)(2024淄博中考)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,则m的值是
.
9.分解因式:
(1)a2+6ab+9b2;
(2)(x2-2x)2-6(x2-2x)+9.
1.下列多项式,能用公式法分解因式的有 ( )
①x2+y2;②-x2+y2;③x2+2xy-y2;④-x2+4xy-4y2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如果多项式x2+1加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,那么添加的单项式不可以是 ( )
A.2x B.-2x
C.x4 D.-x4
3.(易错题)对于多项式xa-y2(其中1≤a≤6,且a为整数)能够利用平方差公式进行因式分解,则a的值可能有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
4.如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 ( )
A.0 B.1 C.4 D.9
5.(2025衡水阜城县期末)小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y, x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:华、爱、我、中、游、美,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.我爱美 B.中华游
C.爱我中华 D.美我中华
6.若a+b=4,a-b=1,则(a+2)2-(b-2)2的值为 .
7.(2024威海中考)因式分解:(x+2)(x+4)+1= .
8.分解因式:
(1)-2a3+12a2-16a;
(2)-4x2;
(3)x2+2xy+y2-2x-2y+1.
9.利用因式分解简便计算:
(1)2 0252-1 9752;
(2)42.52+85×57.5+57.52.
10.下面是小烨同学对多项式(x2-4x+2)·(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程,
解:设x2-4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4……第一步
=y2+8y+16……第二步
=(y+4)2……第三步
=(x2-4x+4)2.……第四步
回答下列问题:
(1)小烨同学第二步到第三步运用了 (填“公式”或“提公因式”)法进行因式分解;
(2)小烨同学因式分解的结果是否彻底 (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果: ;
(3)以上方法叫做“换元法”,请你模仿以上方法对(m2-2m)(m2-2m+2)+1进行因式分解.
11.(推理能力)若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式,则称这个数可“平方差表示”.每一种表示方法叫做一个平方差分解.
例:∵15=42-12,∴15可平方差表示,42-12是15的一个平方差分解.
(1)请写出15的另一个平方差分解;
(2)试说明:若M=x2+6x(其中x是正整数),则M可平方差表示;
(3)已知N=x2-y2+6x-10y+k(x、y是正整数,k是常数,且x>y+2),要使N可平方差表示,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.D 2.D 3.C 4.(x+2)(x-2)
5.解:(1)x3-9x
=x(x2-9)
=x(x+3)(x-3).
(2)(x2+y2)2-4x2y2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2.
(3)(2x+y)2-(x+2y)2
=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)
=(3x+3y)(x-y)
=3(x+y)(x-y).
6.D 7.(a-1)2 8.±12
9.解:(1)a2+6ab+9b2=(a+3b)2.
(2)(x2-2x)2-6(x2-2x)+9
=(x2-2x-3)2
=[(x+1)(x-3)]2
=(x+1)2(x-3)2.
能力提升
1.B 解析:①x2+y2,不能用公式法分解因式;②-x2+y2=y2-x2=(y+x)(y-x),能用平方差公式分解因式;③x2+2xy-y2,不能用公式法分解因式;④-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2,能用完全平方公式分解因式,所以能用公式法分解因式的有2个.
故选B.
2.D 解析:A.x2+2x+1=(x+1)2,不符合题意;B.x2-2x+1=(x-1)2,不符合题意;C.x4+x2+1=(x2+1)2,不符合题意;D.x2+1加上-x4,无法构成完全平方式,符合题意.故选D.
3.C 解析:当a=2时,x2-y2=(x+y)(x-y);
当a=4时,x4-y2=(x2+y)(x2-y);
当a=6时,x6-y2=(x3+y)(x3-y),
综上,a的值有3种.
故选C.
4.D 解析:∵a+b=3,ab=1,
∴原式=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2
=1×32
=9.
故选D.
5.C 解析:原式=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),
由条件可知,(x-y)(x+y)(a-b)·(a+b)可表示为“爱我中华”.
故选C.
6.20 解析:∵a+b=4,a-b=1,
∴(a+2)2-(b-2)2=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]=(a+b)(a-b+4)=4×(1+4)=20.
7.(x+3)2 解析:原式=x2+4x+2x+8+1=x2+6x+9=(x+3)2.
8.解:(1)-2a3+12a2-16a=-2a(a2-6a+8)=-2a(a-2)(a-4).
(2)-4x2
=(x2+1+2x)(x2+1-2x)
=(x+1)2(x-1)2.
(3)x2+2xy+y2-2x-2y+1=(x+y)2-2(x+y)+1=(x+y-1)2.
9.解:(1)2 0252-1 9752
=(2 025+1 975)×(2 025-1 975)
=4 000×50
=200 000.
(2)42.52+85×57.5+57.52
=42.52+2×42.5×57.5+57.52
=(42.5+57.5)2
=1002
=10 000.
10.解:(1)公式
(2)不彻底 (x-2)4
(3)设m2-2m=y,
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(m2-2m+1)2
=(m-1)4.
11.解:(1)∵15=82-72,
∴15的另一个平方差分解是82-72.
(答案不唯一)
(2)∵M=x2+6x,
∴M=x2+6x
=(x+3)2-9
=(x+3)2-32.
∵x为正整数,
∴x+3也是正整数.
∴M可平方差表示.
(3)k=-16.理由如下:
N=x2-y2+6x-10y+k
=(x+3)2-(y+5)2+k+16,
若N可平方差表示,
则k+16=0,
∴k=-16.11.5 因式分解
第1课时 提公因式法
因式分解的概念
1.下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是 ( )
A.(x+1)(x-1)=x2-1
B.x2+2x+1=(x+1)2
C.x2+2x-1=x(x+2)-1
D.x(x-1)=x2-x
2.(教材变式)下列由左到右的变形,哪些是因式分解 哪些不是 请说明理由.
①a2-1=(a+1)(a-1);
②x2+1=x;
③3mn2-6m2n=3mn(n-2m);
④ab-ac+a=a(b-c);
⑤2a3=2a·a·a;
⑥x2+2xy-1=x(x+2y)-1.
用提公因式法分解因式
3.(2025天津滨海新区期末)把多项式4x2y2z-12xy2z-6xyz2分解因式时,应提取的公因式是 ( )
A.xyz B.2xy
C.2xyz D.2x2y2z2
4.把-9x3+6x2-3x因式分解时,提出公因式后,另一个因式是 ( )
A.3x2-2x B.3x2-2x-1
C.-9x2+6x D.3x2-2x+1
5.(2024自贡中考)分解因式:x2-3x= .
6.2a2与4ab的公因式为 .
7.用提公因式法分解因式:
(1)9x2-6xy+3x;
(2)(a-b)3-(a-b)2;
(3)3m(x-y)-n(y-x);
(4)-3an+2+2an+1-5an.
1.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是a-b,则另一个因式是 ( )
A.5-m B.5+m
C.m-5 D.-m-5
2.下列各组中的两个代数式,没有公因式的一组是 ( )
A.5xy和xy5
B.5x-y和x+5y
C.5x-5y和6x-6y
D.5x和15y
3.下列多项式的分解因式,正确的是 ( )
A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xyz)
B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2)
C.-x2+xy-xz=-x(x2+y-z)
D.a2b+5ab-b=b(a2+5a)
4.计算(-2)100+(-2)101所得的结果是 ( )
A.-2100 B.2100 C.-2 D.-1
5.分解因式:4a(x+7)-3(x+7)= .
6.若实数a、b满足a+b=5,a2b+ab2=-15,则ab的值是 .
7.因式分解:
(1)2(a-b)2+4(b-a);
(2)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2.
8.简便计算:
(1)1.992+1.99×0.01;
(2)2 0252+2 025-2 0262.
9.已知(19x-31)(13x-17)-(17-13x)·(11x-23)可因式分解成(ax+b)(30x+c),其中a、b、c均为整数,求a+b+c的值.
10.(运算能力)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是 ;
(2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 026的结果是 ;
(3)利用(2)中结论计算:5+52+53+…+52 026.
【详解答案】
基础达标
1.B
2.解:①a2-1=(a+1)(a-1)是因式分解,理由:符合因式分解的定义;
②x2+1=x(x+)不是因式分解,理由:不是整式;
③3mn2-6m2n=3mn(n-2m)是因式分解,理由:符合因式分解的定义;
④ab-ac+a=a(b-c)不是因式分解,理由:左右两边不相等;
⑤2a3=2a·a·a不是因式分解,理由:2a3是单项式;
⑥x2+2xy-1=x(x+2y)-1不是因式分解,理由:右边不是积的形式.
3.C 4.D 5.x(x-3) 6.2a
7.解:(1)原式=3x·3x-3x·2y+3x·1=3x(3x-2y+1).
(2)原式=(a-b)2(a-b-1).
(3)原式=3m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(3m+n).
(4)原式=-an·3a2-an·(-2a)-an·5=-an(3a2-2a+5).
能力提升
1.A 解析:原式=5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m),
另一个因式是5-m.
故选A.
2.B 解析:A.5xy和xy5的公因式是xy,不符合题意;B.5x-y和x+5y,没有公因式,符合题意;C.5x-5y=5(x-y)和6x-6y=6(x-y)的公因式是(x-y),不符合题意;D.5x和15y的公因式是5,不符合题意.故选B.
3.B 解析:A.12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy),故此选项错误;B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2),故此选项正确;C.-x2+xy-xz=-x(x-y+z),故此选项错误;D.a2b+5ab-b=b(a2+5a-1),故此选项错误.故选B.
4.A 解析:(-2)100+(-2)101
=(-2)100×(1-2)
=-2100.
故选A.
5.(x+7)(4a-3) 解析:原式=(x+7)(4a-3).
6.-3 解析:∵a2b+ab2=-15,
∴ab(a+b)=-15.
又∵a+b=5,
∴ab=-3.
7.解:(1)2(a-b)2+4(b-a)
=2(a-b)2-4(a-b)
=2(a-b)(a-b-2).
(2)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2
=(2x+1)(3x-2-2x-1)
=(2x+1)(x-3).
8.解:(1)原式=1.99×(1.99+0.01)
=1.99×2
=3.98.
(2)原式=2 025×(2 025+1)-2 0262
=2 025×2 026-2 0262
=2 026×(2 025-2 026)
=2 026×(-1)
=-2 026.
9.解:(19x-31)(13x-17)-( 17-13x)·(11x-23)
=(19x-31)(13x-17)+( 13x-17)·(11x-23)
=(13x-17)(30x-54),
∴a=13,b=-17,c=-54.
∴a+b+c=-58.
10.解:(1)提公因式法
(2)(1+x)2 027
(3)原式=×4×(5+52+53+…+52 026)
=×(4×5+4×52+4×53+…+4×52 026)
=×(1+4+4×5+4×52+4×53+…+4×52 026)-
=
=.
