12.1 命题、定义、定理与证明
1.命题
命题
1.下列语言叙述是命题的是 ( )
A.画两条相等的线
B.等于同一个角的两个角相等吗
C.延长线段AO到C,使OC=OA
D.两直线平行,内错角相等
2.下列四个选项中不是命题的是 ( )
A.对顶角相等
B.过直线外一点作已知直线的平行线
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.如果a=b,a=c,那么b=c
命题的结构
3.命题“两条直线相交,只有一个交点”的条件是 ( )
A.两条直线
B.相交
C.只有一个交点
D.两条直线相交
4.把命题“互补的两个角不可能都是锐角”改写成“如果……,那么……”的形式:
.
命题的真假
5.假命题是指 ( )
A.题设成立,结论成立
B.题设不成立而结论成立
C.题设成立而结论不成立
D.题设不成立,结论不成立
6.下列命题中是假命题的是 ( )
A.两个锐角的和是钝角
B.同位角相等,两直线平行
C.如果ab=0,那么a=0或b=0
D.两点之间线段最短
7.(2025成都青羊区期末)下列命题中,为真命题的是 ( )
A.相等的角是对顶角
B.同旁内角互补
C.负数的立方根是负数
D.0没有平方根
8.命题:“如果a>b,那么a-b>0”是 命题.(填“真”或“假”)
举反例
9.能说明命题“对于任意实数a,都有|a|>0”是假命题的反例是 ( )
A.a=-2 B.a=1 C.a=0 D.a=
10.能说明命题“如果a>b,那么a2>b2”是假命题的一个反例可以是 ( )
A.a=1,b=-2 B.a=2,b=-1
C.a=-2,b=1 D.a=-1,b=2
1.下列句子中不是命题的是 ( )
A.两直线平行,同位角相等
B.若|a|=|b|,则a2=b2
C.直线AB垂直于CD吗
D.同角的补角相等
2.(易错题)下列命题中,假命题是 ( )
A.-4的平方根是±2
B.-1的立方根是-1
C.平方根等于其本身的数只有0
D.是的平方根
3.下列四个命题中,真命题有 ( )
①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2;
③三角形的一个外角大于任何一个内角;
④如果x-y>0,那么x>y.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是 ( )
5.把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……,那么……”的形式是
,这个命题是 (填“真”或“假”)命题.
6.(2025百色田阳区期中)给出下列4个命题:①垂线段最短;②两条直线被第三条直线所截,同位角相等;③互补的角是邻补角;④同旁内角相等,两直线平行.其中是真命题的是 .(填序号)
7.下列命题是假命题的有 .(填序号)
①如果a2=b2,那么a=b;
②一个角的余角大于这个角;
③如果a、b是有理数,那么|a+b|=|a|+|b|;
④平移后的图形与原来的图形的对应角相等.
8.如图,给出下列论断:①AB∥CD;②AD∥BC;③∠A+∠B=180°;④∠B+∠C=180°.其中一个作为条件,一个作为结论,写出一个真命题为 .
9.判断下列语句是不是命题,如果是命题,指出是真命题还是假命题;如果是假命题,请举出一个
反例.
(1)两直线相交有几个交点
(2)同角或等角的补角相等;
(3)如果a+b=0,那么a=0,b=0.
10.(几何直观)阅读下面材料:
判断一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的条件,但不满足结论就可以了.
例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题,可以举出如下反例:
如图,OC是∠AOB的平分线,∠1=∠2,但它们不是对顶角.
请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等”是假命题.(要求:画出相应的图形,并用文字语言或符号语言表述所举反例)
【详解答案】
基础达标
1.D 2.B 3.D
4.如果两个角互补,那么这两个角不可能都是锐角
5.C 6.A 7.C 8.真 9.C 10.A
能力提升
1.C 解析:两直线平行,同位角相等,是命题,故A不符合题意;若|a|=|b|,则a2=b2,是命题,故B不符合题意;直线AB垂直于CD吗 不是命题,故C符合题意;同角的补角相等,是命题,故D不符合题意.故选C.
2.A 解析:A.-4没有平方根,故原说法不正确,是假命题;B.-1的立方根是-1,故原说法正确,是真命题;C.平方根等于其本身的数只有0,故原说法正确,是真命题;D.是的平方根,故原说法正确,是真命题.
故选A.
3.B 解析:①两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,原命题是假命题;②如果∠1和∠2是对顶角,那么
∠1=∠2,原命题是真命题;③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,原命题是假命题;④如果x-y>0,那么x>y,原命题是真命题,∴真命题有2个.故选B.
4.C 解析:C选项图中,补全三角形,三角形三个内角都是锐角,则∠α+∠β>90°.故选C.
5.如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余 真
解析:改写成:如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余.这个命题是真命题.
6.① 解析:①垂线段最短,是真命题;②两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故原命题是假命题;③互补的角不一定是邻补角,故原命题是假命题;④同旁内角互补,两直线平行,故原命题是假命题.
7.①②③ 解析:①是假命题,当a=2,b=-2时,结论不成立;②是假命题,70°的余角小于这个角;③是假命题,当a、b异号时,结论不成立;④是真命题.
8.如果AB∥CD,那么∠B+∠C=180°(答案不唯一)
解析:以一个作条件,一个作结论,写出一个真命题可以是:如果AB∥CD,那么∠B+∠C=180°.
9.解:(1)两直线相交有几个交点 它不是命题.
(2)同角或等角的补角相等.它是命题,它为真命题.
(3)如果a+b=0,那么a=0,b=0.它是命题,但它为假命题,例如:a=2,b=-2.
10.解:如图,∠1与∠2的两边分别平行,但它们不相等,而是∠1+∠2=180°,即互补.2.定义、定理与证明
定义、定理
1.能用推理的方法证明的真命题是 ( )
A.定义 B.基本事实
C.定理 D.以上都对
2.下列说法中,错误的是 ( )
A.所有的定义都是命题
B.所有的基本事实都是命题
C.所有的定理都是命题
D.所有的命题都是定理
3.“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是 .(填“定义”或“定理”)
证明及证明的步骤
4.在证明过程中可以作为推理根据的是 ( )
A.命题、定义、基本事实
B.定理、定义、基本事实
C.命题
D.真命题
5.如图,给出下列条件,其中不能判定a∥b的是 ( )
A.∠1=∠4
B.∠2=∠3
C.∠1+∠5=180°
D.∠2+∠4=180°
6.推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.
例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下:
设任意一个实数为x,令x=m.
等式两边都乘以x,得x2=mx.①
等式两边都减去m2,得x2-m2=mx-m2.②
等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).③
等式两边都除以x-m,得x+m=m.④
等式两边都减去m,得x=0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是 .
7.(2025西安新城区期末)如图,直线a、b、c被直线l所截,其中∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°.
求证:a∥c.
1.命题、定理、基本事实的关系如下:①定义是真命题;②定理是由定义和基本事实推理出来的真命题;③真命题是定义;④真命题一定是定理.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,下列推理正确的个数是 ( )
①∵AB∥DC,∴∠ABC+∠C=180°;
②∵∠1=∠2,∴AD∥BC;
③∵AD∥BC,∴∠3=∠4;
④∵∠A+∠ADC=180°,∴AD∥BC.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据:
如图,AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3,BE与DF平行吗 为什么
解:BE∥DF.理由如下:
∵AB⊥BC(已知),
∴∠ABC= ( ),
即∠3+∠4= ( ).
又∵∠1+∠2=90°( ),
且∠2=∠3(已知),
∴∠1=∠4( ).
∴BE∥DF( ).
4.(2025长春朝阳区期末)如图,点B、E、C在同一条直线上,请你从下面三个条件中,选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个真命题.①AB∥CD;②∠1=∠2,∠3=∠4;③AE⊥ED.
(1)上述问题有哪几个真命题
(2)选择(1)中的一个真命题加以证明.
5.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,EF交DC于点F,∠3+∠2=180°,∠1=∠B.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若DE平分∠ADC,∠3=3∠B,求∠2的度数.
6.(推理能力)如图,将△MNP的三边分别向两边延长,并在每两条延长线上任取两点连结起来,又得到了三个新的三角形.
求证:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
【详解答案】
基础达标
1.C 2.D 3.定义 4.B 5.B
6.④
7.证明:∵∠1+∠2=180°(已知),
∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
∵∠2+∠3=180°(平角的定义),∠2+∠4=180°(已知),
∴∠3=∠4(等量代换).
∴b∥c(同位角相等,两直线平行).
∴a∥c(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行).
能力提升
1.B 解析:①定义是真命题,正确;
②定理是由定义和基本事实推理出来的真命题,正确;③真命题不一定是定义,错误;④真命题不一定是定理,错误,∴其中正确的有2个.故选B.
2.C 解析:∵AB∥DC,∴∠ABC+∠C=180°.
故①正确.符合题意;
∵∠1=∠2,∴AD∥BC.
故②正确.符合题意;
∵AB∥DC,∴∠3=∠4.
故③错误.不符合题意;
∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥DC.
故④错误.不符合题意.
故选C.
3.90° 垂直的定义 90° 等量代换
已知 等角的余角相等 同位角相等,两直线平行
4.解:(1)上述问题有两个真命题,分别是:
命题1:①② ③;命题2:②③ ①.
(2)选择命题1:①② ③.
证明:∵AB∥CD,
∴由平行线的性质可知∠B+∠C=180°.
∵∠B+∠1+∠2=180°,
∴∠C=∠1+∠2.
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2+∠3=90°.
∴AE⊥ED.
选择命题2:②③ ①.
证明:∵AE⊥ED,∴∠AED=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
又∵∠B=180°-∠1-∠2,∠C=180°-∠3-∠4,
∴∠B+∠C=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°.
∴AB∥CD.
答案不唯一,任选其一即可.
5.(1)证明:∵∠DFE+∠2=180°,∠3+∠2=180°,
∴∠DFE=∠3.
∴BD∥EF.
∴∠1=∠ADE.
∵∠1=∠B,∴∠ADE=∠B.
∴DE∥BC.
(2)解:由(1)知,∠ADE=∠B,BD∥EF,
∴∠2=∠ADC.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADC=2∠ADE=2∠B.
∵∠3+∠ADC=180°,∠3=3∠B,
∴3∠B+2∠B=180°,解得∠B=36°.
∴∠ADC=72°.
∴∠2=72°.
6.证明:如图,∵∠1=∠A+∠B,∠2=∠C+∠D,∠3=∠E+∠F,
∴∠1+∠2+∠3=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
又∵∠1=∠4+∠5,∠2=∠4+∠6,∠3=∠5+∠6,
∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠4+∠6+∠5+∠6=2(∠4+∠5+∠6)=2×180°=360°.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
