3.角平分线
角平分线的性质定理
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线.若CD=3 cm,则点D到AB的距离为 ( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
2.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=28,DE=4,AB=8,则AC的长是 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
3.如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是点C、D.
求证:OC=OD.
角平分线的判定定理
4.如图,PM⊥OA,PN⊥OB.若PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.50°
5.(2025恩施州期中)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且∠BDE=∠CDF.
求证:AD平分∠BAC.
1.(2025湖州长兴县期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC、AB于点G、F,再分别以G、F为圆心,大于GF长为半径作弧,两弧交于点E,作射线AE,交BC于点D,已知CD=3,AB=8,则△ABD的面积为 ( )
A.8 B.10 C.12 D.24
2.如图,OP平分∠AOB,PF⊥OA于点F,点D在OB上,DH⊥OP于点H,若OD=4,OP=8,PF=3.5,则DH的长为 ( )
A.4.5 B.5 C.7 D.
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,依据尺规作图痕迹,有如下三种说法:
甲:BD=DE;
乙:∠CDE=∠CAB;
丙:AB+CE=AC.
下列判断正确的是 ( )
A.只有甲对 B.只有乙对 C.只有丙对 D.三人说的都对
4.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△ADE的面积分别为50和38,则△DEF的面积为 ( )
A.8 B.12 C.4 D.6
5.如图,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AE=10,DE=4,求AB的长.
6.如图,△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点P,连结BP.
(1)求证:BP平分∠ABC;
(2)若AC=5,△APC的面积是10,△ABC的面积是15,求△ABC的周长.
7.(几何直观)如图,在△ABC中,点D在边BC的延长线上,∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=55°.
(1)求∠ACE的度数;
(2)求证:AE平分∠CAF;
(3)若AC+CD=14,AB=8.5,且△ACD的面积为21,求△ABE的面积.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.C
3.证明:∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴EC=ED.
在Rt△OCE和Rt△ODE中,
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).
∴OC=OD.
4.C
5.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴点D在∠BAC的平分线上.
∴AD平分∠BAC.
能力提升
1.C 解析:如图,过点D作DH⊥AB于点H.
∵AD平分∠BAC,CD⊥AC,DH⊥AB,
∴DH=CD=3.
∴△ABD的面积=·AB·DH=×8×3=12.
故选C.
2.D 解析:如图,过点P作PN⊥OB于点N,
∵OP平分∠AOB,PF⊥OA,PN⊥OB,
∴PF=PN=3.5.
∵S△ODP=×OP×DH=×OD×PN,
∴×8×DH=×4×3.5,
解得DH=.
故选D.
3.D 解析:由作图可得AD平分∠BAC,DE⊥AC,
∵∠B=90°,
∴BD=DE,故甲正确;
∠CDE=∠CAB,故乙正确;
在Rt△ABD和Rt△AED中,
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL).
∴AB=AE.
∴AC=AE+CE=AB+CE,故丙正确.
故选D.
4.D 解析:如图,过点D作DH⊥AC于H,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DH.在Rt△DEF和Rt△DGH中,
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL).
∴S△DEF=S△DGH.
设△EDF的面积为S,
同理Rt△ADF≌Rt△ADH,
∴S△ADF=S△ADH.
即38+S=50-S,
解得S=6.
故选D.
5.(1)证明:如图,过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F.
∵CE⊥AD,∴∠DEC=∠CFB=90°.
∵∠D+∠ABC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,∴∠D=∠CBF.
又∵CD=CB,
∴△CDE≌△CBF(AAS).
∴CE=CF.∴AC平分∠DAB.
(2)解:由(1)可得△CDE≌△CBF,∴BF=DE=4.
在Rt△ACE和Rt△ACF中,
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
∴AF=AE=10.∴AB=AF-BF=6.
6.(1)证明:如图,过点P作PF⊥BD于点F,PG⊥AC于点G,PH⊥BE于点H,
∵AP平分∠DAC,PF⊥BD,PG⊥AC,
∴PF=PG.
∵CP平分∠ACE,PH⊥BE,PG⊥AC,
∴PH=PG.
∴PF=PH.
∵PF⊥BD,PH⊥BE,
∴BP平分∠ABC.
(2)解:∵AC=5,△APC的面积是10,
∴×5×PG=10.
∴PG=4.
∴PF=PH=PG=4.
∵△ABC的面积是15,△APC的面积是10,
∴×AB×PF+×BC×PH=25.
∴AB+BC=12.5.
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12.5+5=17.5.
7.(1)解:∵∠ACB=110°,
∴∠ACD=180°-110°=70°.
∵EH⊥BD,∴∠CHE=90°.
∵∠CEH=55°,
∴∠ECH=90°-55°=35°.
∴∠ACE=180°-35°-110°=35°.
(2)证明:如图,过点E分别作EM⊥BF于点M,EN⊥AC于点N,
∵BE平分∠ABC,∴EM=EH.
∵∠ACE=∠ECH=35°,
∴CE平分∠ACD.
∴EN=EH.
∴EM=EN.
∴AE平分∠CAF.
(3)解:∵AC+CD=14,S△ACD=21,EM=EN=EH,
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=AC·EN+CD·EH=(AC+CD)·EM=21,
即×14·EM=21.
解得EM=3.
∵AB=8.5,
∴S△ABE=AB·EM=×8.5×3=.12.4 逆命题和逆定理
1.互逆命题和互逆定理
互逆命题
1.(2025泰安宁阳县期末)下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.如果a>b,那么ac>bc
B.如果a=b=0,那么ab=0
C.如果a>b,那么a2>b2
D.如果|a|=|b|,那么a=b
2.下列命题的逆命题是假命题的是 ( )
A.两直线平行,同位角相等
B.全等三角形的对应边相等
C.直角三角形的两锐角互余
D.对顶角相等
3.(2025杭州萧山区期中)命题“如果a=b,那么a2=b2”的逆命题是 ,该逆命题是 (填“真”或“假”)命题.
4.写出下列命题的逆命题, 并判断此逆命题真假.
(1)如果a>0,b<0,那么ab<0;
(2)两直线平行,同旁内角互补.
互逆定理
5.下列说法,正确的是 ( )
A.每个定理都有逆定理
B.真命题的逆命题都是真命题
C.每个命题都有逆命题
D.假命题的逆命题都是假命题
6.下列命题写出逆命题后,两者是互逆定理的是 ( )
A.同角的余角相等
B.互余的两个角都是锐角
C.两直线平行,内错角相等
D.如果直线a⊥c,b⊥c,那么a∥b
7.(1)如图,直线AB、CD、EF被直线BF所截,∠B+∠1=180°,∠2=∠3.求证:∠B+∠F=180°;
(2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆定理
1.下列命题中,其逆命题是假命题的是( )
A.四边形是多边形
B.内错角相等,两直线平行
C.直角三角形的两个锐角互余
D.有两边相等的三角形是等腰三角形
2.对于命题:“如果a>0,b>0,那么a+b>0.”下列判断正确的是 ( )
A.该命题及其逆命题都是真命题
B.该命题是真命题而其逆命题是假命题
C.该命题及其逆命题都是假命题
D.该命题是假命题而其逆命题是真命题
3.(2025眉山仁寿县期末)下列命题的逆命题正确的有 ( )
①等边三角形的三个内角相等;②等腰三角形的两个底角相等;③如果a是有理数,b是无理数,那么a+b是无理数;④如果a=b,那么a2=b2.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.命题“如果a>0,那么a2>0”的逆命题为 ,此逆命题是 (填“真”或“假”)命题.
5.写出下列各命题的逆命题,并判断原命题和逆命题是不是互逆定理.
(1)同位角相等;
(2)全等三角形的对应角相等.
6.命题:有两个内角相等的三角形必有两条高相等.写出它的逆命题,并判断逆命题的真假,若是真命题,给出证明;若是假命题,请举反例.
7.(推理能力)(1)读读做做:
平行线是平面几何中最基本也是非常重要的图形.在解决某些平面几何问题时,若能依据问题的需要,添加恰当的平行线,往往能使证明顺畅、简洁.
请根据上述思想解决下面的问题:
如图1,AB∥CD,那么∠B+∠D ∠E(填“>”“=”或“<”);
(2)倒过来想:
写出(1)中命题的逆命题,判断逆命题的真假并说明理由;
(3)灵活应用:
如图2,已知AB∥CD,在∠ACD的平分线上取点M、N,使得∠AMN=∠ANM,求证:∠CAM=∠BAN.
【详解答案】
基础达标
1.D 2.D
3.如果a2=b2,那么a=b 假
4.解:(1)如果a>0,b<0,那么ab<0,逆命题是如果ab<0,那么a>0,b<0,是假命题.
(2)两直线平行,同旁内角互补,逆命题是同旁内角互补,两直线平行,是真命题.
5.C 6.C
7.(1)证明:∵∠B+∠1=180°,
∴AB∥CD.
∵∠2=∠3,∴CD∥EF.
∴AB∥EF.∴∠B+∠F=180°.
(2)解:在(1)的证明过程中应用的两个互逆定理为同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补.
能力提升
1.A 解析:四边形是多边形的逆命题是多边形是四边形,逆命题是假命题,故A符合题意;内错角相等,两直线平行的逆命题是两直线平行,内错角相等,逆命题是真命题,故B不符合题意;直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形,逆命题是真命题,故C不符合题意;有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形有两边相等,逆命题是真命题,故D不符合题意.故选A.
2.B 解析:命题如果a>0,b>0,那么a+b>0正确,是真命题;
其逆命题为:如果a+b>0,那么a>0,b>0,错误,是假命题.
故选B.
3.C 解析:∵①的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”是正确的,
∴①符合题意;
∵②的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”是正确的,
∴②符合题意;
∵③的逆命题是“如果a+b是无理数,那么a是有理数,b是无理数”不一定正确,
∴③不符合题意;
∵④的逆命题是“如果a2=b2,那么a=b”不一定正确,
∴④不符合题意.
∴正确的有2个.
故选C.
4.如果a2>0,那么a>0 假
5.解:(1)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是同位角;
由于原命题及逆命题均为假命题,因此原命题和逆命题不是互逆定理.
(2)逆命题是:如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形是全等三角形.
由于逆命题为假命题.因此原命题和逆命题不是互逆定理.
6.解:有两个内角相等的三角形必有两条高相等的逆命题是有两条高相等的三角形必有两个内角相等,是真命题.
证明如下:如图,BD、CE是△ABC的高,BD=CE.
在Rt△BCE和Rt△CBD中,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL).
∴∠DCB=∠EBC.
7.(1)解:=
(2)解:逆命题为:如果∠B+∠D=∠E,那么AB∥CD.
该逆命题为真命题.理由如下:
过点E作EF∥AB,如图,
则∠B=∠BEF.
∵∠B+∠D=∠BED,∠BEF+∠DEF=∠BED,
∴∠D=∠BED-∠B,∠DEF=∠BED-∠BEF.
∴∠D=∠DEF.
∴EF∥CD.
∵EF∥AB,∴AB∥CD.
(3)证明:过点N作NG∥AB,交AM于点G,如图,
则NG∥AB∥CD,
∴∠BAN=∠ANG,∠GNC=∠NCD.
∵∠AMN是△ACM的一个外角,
∴∠AMN=∠ACM+∠CAM.
又∵∠AMN=∠ANM,∠ANM=∠ANG+∠GNC,
∴∠ACM+∠CAM=∠ANG+∠GNC.
∴∠ACM+∠CAM=∠BAN+∠NCD.
∵CN平分∠ACD,
∴∠ACM=∠NCD.
∴∠CAM=∠BAN.2.线段垂直平分线
线段垂直平分线的性质定理
1.(2025通辽期末)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC、AC于点D、E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD的度数为 ( )
A.70° B.75° C.80° D.50°
2.如图,P是线段AB垂直平分线上一点,M为线段AB上异于A、B的点,则PA、PB、PM的大小关系是PA PB PM.(填“>”“=”或“<”)
3.如图,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为N,AM=5 cm,△MAB的周长为16 cm,则AN= .
线段垂直平分线的判定定理
4.三角形纸片ABC上有一点P,量得PA=2 cm,PB=2 cm,则点P一定 ( )
A.是边AB的中点 B.在边AB的中线上
C.在边AB的高上 D.在边AB的垂直平分线上
5.如图,D为BC边上一点,且BC=BD+AD,则AD (填“>”“=”或“<”)DC,点D在线段
的垂直平分线上.
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上一点,E是AB上一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F.
求证:点E在AF的垂直平分线上.
1.(易错题)下列说法错误的是 ( )
A.若点P是线段AB的垂直平分线上的点,则PA=PB
B.若PA=PB,QA=QB,则直线PQ是线段AB的垂直平分线
C.若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上
D.若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
2.如图,在河岸m上建一个水厂,向两个村庄P、Q供水,若水厂到两个村庄P、Q的距离相等,则水厂应建在 ( )
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
3.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=8 cm,DE是BC边的垂直平分线,△ABD的周长为14 cm,则△ABC的面积是 ( )
A.12 cm2 B.24 cm2
C.48 cm2 D.16 cm2
4.如图,在△ABC中,∠ABC=52°,P为△ABC内一点,过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N,若M在PA的垂直平分线上,N在PC的垂直平分线上,则∠APC的度数为 ( )
A.115° B.116° C.117° D.118°
5.如图,已知∠MON=70°,OB平分∠MON,射线OM上有一点A.
(1)尺规作图:作线段OA的垂直平分线,分别交OA、OB于点E、D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连结AD并延长,交射线ON于点C,求∠ACO的度数.
6.(2025宿迁期末)如图,在△ABC中,∠BAC=80°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数;
(2)若△APQ的周长为12,BC的长为8,求PQ的长.
7.(推理能力)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交AB于点E,交CB的延长线于点F,连结DE、AF.
(1)判断DE与AC的位置关系,并证明你所得的结论;
(2)求证:∠C=∠EAF.
【详解答案】
基础达标
1.A 2.= >
3.3 cm 4.D
5.= AC
6.证明:∵EG垂直平分BD,
∴BE=DE.
∴∠BEG=∠DEG.
∵∠ACB=90°,
∴EG∥AC.
∴∠BEG=∠BAC,∠DEG=∠AFE.
∴∠EAF=∠AFE.
∴AE=EF.
∴点E在AF的垂直平分线上.
能力提升
1.D 解析:A.若点P是线段AB的垂直平分线上的点,则PA=PB,故该说法正确,不符合题意;B.若PA=PB,QA=QB,则直线PQ是线段AB的垂直平分线,故该说法正确,不符合题意;C.若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上,故该说法正确,不符合题意;D.若PA=PB,则过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线,故该说法错误,符合题意.故选D.
2.B 解析:∵水厂到两个村庄P、Q的距离相等,
∴水厂应在线段PQ的垂直平分线上.
故选B.
3.B 解析:∵DE是BC边的垂直平分线,
∴DB=DC.
∵△ABD的周长为14 cm,
∴AB+AD+DB=14 cm.
∴AB+AD+DC=14 cm.
∴AB+AC=14 cm.
∵AC=8 cm,
∴AB=14-8=6(cm).
∵∠BAC=90°,
∴△ABC的面积=AB·AC
=×6×8
=24(cm2).
故选B.
4.B 解析:∵∠ABC=52°,
∴∠BMN+∠BNM=128°.
∵M在PA的垂直平分线上,N在PC的垂直平分线上,
∴AM=PM,PN=CN.
∴∠MAP=∠MPA,∠CPN=∠PCN.
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA,∠BNM=∠CPN+∠PCN,
∴∠MPA=∠BMN,∠CPN=∠BNM.
∴∠MPA+∠CPN=(∠BMN+∠BNM)=×128°=64°.
∴∠APC=180°-64°=116°.
故选B.
5.解:(1)如图,直线DE即为所求.
(2)∵直线DE为线段OA的垂直平分线,
∴DA=DO.
∴∠AOD=∠OAD.
∵∠MON=70°,OB平分∠MON,
∴∠AOD=∠MON=35°.
∴∠OAD=35°.
∴∠ACO=180°-∠AOC-∠OAC=180°-70°-35°=75°.
6.解:(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z,
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
∴AP=PB,AQ=CQ.
∴∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ=x+y.
∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=100°,
即x+y+z=80°,x+z+x+y=100°.
∴x=20°.
∴∠PAQ=20°.
(2)∵△APQ的周长为12,
∴AQ+PQ+AP=12.
∵AQ=CQ,AP=PB,
∴CQ+PQ+PB=12,
即CQ+BQ+2PQ=12,
BC+2PQ=12.
∵BC=8,∴PQ=2.
7.(1)解:DE∥AC.证明如下:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD.
∵EF垂直平分AD,
∴AE=DE.
∴∠BAD=∠EDA.
∴∠CAD=∠EDA.
∴DE∥AC.
(2)证明:∵EF垂直平分AD,
∴EA=ED,FA=FD.
在△AEF和△DEF中,
∴△AEF≌△DEF(SSS).
∴∠EAF=∠EDF.
∵DE∥AC,∴∠C=∠EDF.
∴∠C=∠EAF.
