第2课时 勾股定理的简单应用
勾股定理的简单应用
1.(数学文化)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地;送行二步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉;良工高士素好奇,算出索长有几 ”译文:“秋千静止的时候,踏板离地1尺,将它往前推送两步(两步=10尺)时,此时踏板升高离地5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问秋千绳索有多长 ”若设秋千绳索长为x尺,则可列方程为 ( )
A.x2+102=(x+1)2
B.x2=102+(x+4)2
C.x2+102=(x-4)2
D.x2=102+(x-4)2
2.如图,小渡家在B地,他计划周末骑自行车去公园A地游玩,且AB=1 700 m,C地有一处凉亭,且AC⊥BC,若AC=800 m,则小渡家到凉亭的直线距离为多少米
1.(新情境)某超市为了吸引顾客,在超市门口离地高4.5 m的墙上,装有一个由传感器控制的门铃A,如图1所示.人只要移至该门铃5 m及5 m以内时,即AC≤5 m,门铃就会自动发出语音“欢迎光临”,如图2所示.一个身高1.5 m的学生走到D处,即CD=1.5 m,门铃恰好自动响起,则BD的长为
( )
A.3 m B.4 m C.5 m D.7 m
2.如图是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯,水杯底面直径为10 cm,高度为12 cm,吸管长为25 cm(底端在杯子底上),露在水杯外面的吸管长度为a cm,则a的最小值为 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
3.(应用意识)为了积极宣传创建文明城市思想,某区政府采用了移动车进行广播,如图,小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处,小明家到公路MN的距离AB为600 m,假使广播车P周围1 000 m以内能听到广播宣传,广播车P以250 m/min的速度在公路MN上沿PN方向行驶时,假如小明此时在家,他是否能听到广播宣传 若能,请求出他共能听到多长时间的广播宣传;若不能,请说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.D
2.解:在Rt△ABC中,AB=1 700 m,AC=800 m,
∴BC==1 500(m).
答:小渡家到凉亭的直线距离为1 500 m.
能力提升
1.B 解析:由题意可知,BD=CE,BE=CD=1.5 m,AC=5 m,则AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m).
在Rt△ACE中,由勾股定理,得CE==4(m),
∴BD=CE=4 m.
即门铃恰好自动响起,则BD的长为4 m.
故选B.
2.B 解析:由题意可知,当吸管如图所示放置时,露在水杯外面的吸管长度最短,
∵水杯底面直径为10 cm,高度为12 cm,
∴AC=5 cm,BC=12 cm.
∴AB==13 cm.
∴露在水杯外面的吸管长度=25-13=12(cm),
即a的最小值为12.
故选B.
3.解:小明能听到广播宣传.
∵小明家A到公路MN的距离为600 m<1 000 m,
∴小明能听到广播宣传.
如图,假设当广播车行驶到点P小明开始听到广播宣传,行驶到点Q小明听不到广播宣传,
则AP=AQ=1 000 m,AB=600 m,
∴BP=BQ==800(m).
∴PQ=1 600 m.
∴小明听到广播宣传的时间为1 600÷250=6.4(min),
故他共能听到6.4 min的广播宣传.13.1 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形三边的关系
第1课时 勾股定理及其证明
勾股定理
1.(2025白银期中)在△ABC中,∠A=90°,则下列各式中不成立的是 ( )
A.BC2=AB2+AC2 B.AB2=AC2+BC2
C.AB2=BC2-AC2 D.AC2=BC2-AB2
2.(2025无锡期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=4,则AB2-BC2等于 ( )
A.4 B.16 C.20 D.25
3.如图,在△ABC中,AB=AC=5,AD=4,AD平分∠BAC,BC的长为 .
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.在边BC上有一点P,连结AP,且PA=PB,若AC=2,CB=5,求PA的长.
勾股定理的验证
5.(数学文化)意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S1,图2中空白部分的面积为S2,则下列等式成立的是 ( )
A.S2=c2 B.S2=c2+ab C.S1=a2+b2+ab D.S1=a2+b2+2ab
6.如图1的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形.
(1)请在图2中用图1的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形ABCD;
(2)如果图1中的直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,请你利用图2拼成的图形证明勾股定理.
1.如图,把一块含45°角的三角板放入2×4的小正方形网格中,三角板三个顶点均在格点上,直角顶点与数轴上表示-1的点重合,则数轴上点A所表示的数为 ( )
A. B.1.8
C.-1+ D.
2.如图,分别以Rt△ABC的三边为边向外侧作正方形,面积分别记为S1、S2、S3.若S3+S2-S1=20,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.5 B.10
C.15 D.20
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连结CD.若△ABC的周长为12,BC=3,则△BCD的周长为 ( )
A.12 B.10 C.8 D.6
4.(易错题)有一个直角三角形两边长为4和5,则第三边长为 ( )
A.3 B.
C.3或 D.3或
5.如图,正方形ABCD由4个全等的直角三角形构成,正方形ABCD的面积为49 cm2,若AF=4 cm,则正方形EFGH的面积是 cm2.
6.(数学文化)【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为b,较短直角边长为a,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为 .
【探究】同学们在探索过程中发现,当把“赵爽弦图”里的4个全等的直角三角形适当拼合,可以得到如图2的图形,设直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c,利用这个图形验证勾股定理.
【拓展】图1“赵爽弦图”中,若b=6,a=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图3所示的“数学风车”,直接写出这个风车的外围(实线)周长.
7.(几何直观)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以
1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s,当△ABP为直角三角形时,求t的值.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.B 3.6
4.解:设PA=x=PB,可得CP=5-x,
根据勾股定理,可得AC2+CP2=PA2,
∴22+(5-x)2=x2.
∴x=.
∴PA的长为.
5.C
6.(1)解:如图.
(2)证明:∵S正方形ABCD=(a+b)2,S正方形ABCD=4×ab+c2,
∴(a+b)2=4×ab+c2.
∴a2+b2=c2.
能力提升
1.C 解析:如图,
由题意可知,BA=BC,∠BDC=90°,BD=CD=2,
∴BC=.
∴BA=.
∴DA=BA-BD=-2.
∴数轴上点A所表示的数为-2+1=-1+.
故选C.
2.A 解析:∵Rt△ABC是以AC为斜边的直角三角形,
∴AC2-AB2=BC2.
∴S3-S1=S2.
∵S3+S2-S1=20,
∴S2=10.
∴阴影部分的面积为S2=5.
故选A.
3.C 解析:设AB=x,
∵△ABC的周长为12,
∴AB+AC+BC=12.
∵BC=3,∴AB+AC=9.
∴AC=9-x.
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,即x2=(9-x)2+32,
解得x=5,即AB=5.
∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD.
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=3+5=8.
故选C.
4.D 解析:当5是直角边时,则第三边=;
当5是斜边时,则第三边==3.
综上所述,第三边的长是或3.
故选D.
5.25 解析:∵正方形ABCD的面积为49 cm2,∴AB=7 cm.∵AF=4 cm,∴BF=3 cm.由勾股定理可知,FG=5 cm,则正方形EFGH的面积是25 cm2.
6.解:【感知】 5
【探究】 c2+2×ab=c2+ab,
a2+b2+2×ab=a2+b2+ab,
∴c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2=c2.
【拓展】 这个风车的外围周长是76.
解法提示:如图,由题意知,外延的4部分全等,且AD=AC=6,
∴CD=12.
∴BD==13.
∴这个风车的外围周长是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76.
7.解:在Rt△ABC中,
由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=52-32=16,
∴BC=4 cm.
根据题意,得BP=t cm.
①如图1,当∠BAP为直角时,
BP=t cm.CP=(t-4) cm,AC=3 cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
∴52+32+(t-4)2=t2.
解得t=;
②如图2,当∠APB为直角时,
图2
此时点P与点C重合,
BP=BC=4 cm,∴t=4.
∴当△ABP为直角三角形时,t=4或.3.反证法
反证法及步骤
1.命题“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,用反证法证明时,最终推出与
矛盾 ( )
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D.垂直的定义
2.请阅读以下关于解答“在△ABC中,AB=AC,求证:∠ABC<90°”的过程:
证明:假设∠ABC≥90°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB≥90°.
∴∠ABC+∠ACB≥180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾.
∴假设不成立.
∴∠ABC<90°.
这种证明方法是 ( )
A.综合法 B.反证法
C.枚举法 D.归纳法
3.如图,已知直线a∥c,b∥c.
求证:a∥b.
1.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与“三角形的内角和等于180°”矛盾,∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角(∠A、∠B、∠C)中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号为 ( )
A.③②① B.①③②
C.②③① D.③①②
2.牛顿曾说:“反证法是数学家最精良的武器之一”.用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时,应先假设 ( )
A.∠A=60° B.∠A<60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60°
3.某个命题的结论为“x、y、z三个数中至少有一个数为正数”,现用反证法证明,假设正确的是
( )
A.假设三个数都是正数
B.假设三个数都为非正数
C.假设三个数至多有一个为负数
D.假设三个数中至多有两个为非正数
4.(推理能力)用反证法求证:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角.
求证:∠ACD=∠A+∠B.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.B
3.证明:如图,假设直线a与b相交于点M,
则过点M有两条直线平行于直线c,
这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾,
∴a∥b.
能力提升
1.D 解析:反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:
假设三角形的三个内角(∠A、∠B、∠C)中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°;
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与“三角形的内角和等于180°”矛盾,∠A=∠B=90°不成立;
所以一个三角形中不能有两个直角.故选D.
2.D 解析:∠A与60°的大小关系有∠A>60°,∠A=60°,∠A<60°三种情况,
∴∠A>60°的反面是∠A≤60°.
∴用反证法证明“∠A>60°”时,应先假设∠A≤60°.
故选D.
3.B 解析:反证法证明“x、y、z三个数中至少有一个数为正数”,先假设三个数都为非正数.
故选B.
4.证明:假设∠ACD≠∠A+∠B.
∴∠ACD≠180°-∠ACB.
又∵∠ACD+∠ACB=180°,
即∠ACD=180°-∠ACB,
∴假设不成立.
∴原命题成立,即∠ACD=∠A+∠B.2.直角三角形的判定
勾股定理的逆定理
1.(2025达州期末)下列条件中能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A.a=2,b=3,c=4 B.a=3,b=4,c=5
C.a=3,b=5,c=7 D.a=4,b=5,c=6
2.如图,在边长为1个单位长度的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ( )
A.AB、CD、EF
B.CD、EF、GH
C.AB、EF、GH
D.AB、CD、GH
3.下列条件中,不能够判断一个三角形是直角三角形的是 ( )
A.∠A=∠B+∠C
B.a2∶b2∶c2=5∶12∶13
C.a∶b∶c=5∶12∶13
D.a=5,b=12,c=13
4.如图,△ABC内部有一点D,且∠ADC=90°,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3.
(1)判断△ABC的形状;
(2)求四边形ABCD的面积.
勾股数
5.(数学文化)我国是最早了解勾股定理的国家,它被记载于我国著名的《周髀算经》中,下列各组数中,是“勾股数”的是 ( )
A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6
6.如果m表示大于1的整数,设a=2m,b=m2-1,c=2m2+2m,d=m2+1,其中任选三个数能构成勾股数的为 ( )
A.a、b、c B.a、b、d C.a、c、d D.b、c、d
1.如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将探究勾股数的过程列成表格,观察表中每列数的规律,可知x+y的值为 ( )
a 3 8 15 24 … x
b 4 6 8 10 … 16
c 5 10 17 26 … y
A.67 B.98 C.128 D.73
2.如图,某海域有相距10 n mile的两个小岛A和C,甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8 n mile到达B岛,然后再从B岛走了6 n mile到达C岛,此时甲船位于B岛的 ( )
A.北偏东20°方向上
B.北偏西20°方向上
C.北偏西30°方向上
D.北偏西40°方向上
3.若5,a,12是一组勾股数,则a的值为 ( )
A.13 B.
C.或13 D.11
4.如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,则△ABC的面积为 .
5.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A、B、P是网格线的交点).
6.(新定义试题)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.若正整数a、n满足a2+n2=(n+1)2,这样的三个整数a、n、n+1(如:3,4,5或5,12,13)我们称它们为一组“完美勾股数”,当n<115时,共有
组这样的“完美勾股数”.
7.如图,在△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,AD⊥AB交BC的延长线于点D.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)求线段AD的长.
8.(五育文化)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八年级(1)班、八年级(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八年级(1)班试验基地的三边长分别为5 m,12 m,13 m时,小明很快就给出这块试验基地的面积,请你写出求解过程;
(2)如图所示,八年级(2)班的劳动实验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m,请帮助他们求出该实验基地的面积.
9.(推理能力)如图,M是等边三角形ABC内的一点,连结AM、BM、CM,以BM为边作∠MBN=60°,且BN=BM,连结CN.
(1)猜想AM与CN之间的数量关系,并说明理由.
(2)若AM∶BM∶CM=3∶4∶5,连结MN,试判断△MNC的形状,并说明理由.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.C 3.B
4.解:(1)∵∠ADC=90°,AD=4,CD=3,∴根据勾股定理,得AC2=AD2+CD2=42+32=25,
∵AB=13,BC=12,
AC2+BC2=25+122=169,AB2=132=169,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(2)四边形ABCD的面积为
S△ABC-S△ACD=×5×12-×3×4=24.
5.C 6.B
能力提升
1.C 解析:由表格可知c=a+2,
∴y=x+2.
∵x、16、y是勾股数,
∴x2+162=y2,即x2+162=(x+2)2.
解得x=63.
∴y=63+2=65.
∴x+y=63+65=128.
故选C.
2.B 解析:如图,由题意,得∠DAB=70°,AB=8 n mile,BC=6 n mile,AC=10 n mile,∵AB2+BC2=82+62=100,AC2=102= 100,∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形.∴∠ABC=90°.∵AD∥BE,∴∠ABE=180°-∠DAB=110°.∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=20°.
∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上.故选B.
3.A 解析:分两种情况讨论:
①a为最长边,a==13,13是正整数,符合题意;
②12为最长边,a=,不是整数,不能构成勾股数,不符合题意.
故选A.
4.30 解析:∵AB2=BC2+AC2,
∴△ABC是直角三角形.
∴∠C=90°.
∴S△ABC=×12×5=30.
5.45 解析:如图,延长AP交格点于D,连结BD,
则PD2=BD2=12+22=5,
PB2=12+32=10,
∴PD2+BD2=5+5=10=PB2.
∴∠PDB=90°.
∵PD=BD,
∴∠DPB=∠DBP=(180°-90°) ÷2=45°.
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°.
6.7 解析:∵n<115,a2=(n+1)2-n2=2n+1,
∴a2<2×115+1=231.
大于3且小于231的非偶数完全平方数有9,25,49,81,121,169,225,一共7个.
∴共有7组这样的“完美勾股数”.
7.(1)证明:在△ABC中,
∵BC2+AC2=82+62=100=102=AB2,
∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°.
∴AC⊥BD.
(2)解:设CD=x,在△ABD中,
∵AB⊥AD,
∴∠BAD=90°.
∴AD2=BD2-AB2=(8+x)2-102.
∵在△ADC中,∠ACD=90°,
∴AD2=AC2+CD2=62+x2.
∴(8+x)2-102=62+x2,即64+16x-100=36.解得x=.
∴AD==.
8.解:(1)∵52+122=25+144=169,132=169,
∴52+122=132.
∴这个三角形是直角三角形.
∴三角形的面积为×5×12=30(m2).
(2)如图,过点A作AD⊥BC于点D,
设BD=x m,则CD=(14-x)m,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,
∴AB2-BD2=AC2-CD2,即152-x2=132-(14-x)2.
解得x=9,
在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AD==12(m),
∴S△ABC=×14×12=84(m2).
∴该实验基地的面积为84 m2.
9.解:(1)猜想:AM=CN.理由如下:
∵∠ABC=∠MBN=60°,
∴∠ABM=∠ABC-∠MBC=∠MBN-∠MBC=∠CBN.
在△ABM和△CBN中,
∴△ABM≌△CBN(SAS).
∴AM=CN.
(2)△MNC是直角三角形.理由如下:
∵AM∶BM∶CM=3∶4∶5,
∴设AM=3k=CN,BM=4k,CM=5k(k>0).
∵BM=BN,∠MBN=60°,
∴△MBN是等边三角形.
∴MN=BM=4k.
∵MN2+CN2=16k2+9k2=25k2=CM2,
∴△MNC是直角三角形.
