13.2 勾股定理的应用 同步练习(含答案)2025-2026学年数学华东师大版(2024)八年级上册

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名称 13.2 勾股定理的应用 同步练习(含答案)2025-2026学年数学华东师大版(2024)八年级上册
格式 zip
文件大小 409.9KB
资源类型 教案
版本资源 华东师大版
科目 数学
更新时间 2025-08-26 16:15:25

文档简介

第2课时 勾股定理在数学中的应用
用勾股定理解决数学问题
1.(2025济南市中区期中)如图,正方形小方格的边长为1,则网格中的线段长为有理数的有 (  )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
2.如图,在△ABC中,AB⊥AC,AB=5 cm,BC=13 cm,BD是AC边上的中线,则△BCD的面积是 (  )
A.15 cm2 B.30 cm2
C.60 cm2 D.65 cm2
3.如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,以数轴上表示数1的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是 (  )
A.1 B.2.41
C. D.1+
4.(2025常州天宁区期中)如图,∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°,AB=BC=CD=1,OA=2,则OD2=   .
用勾股定理的逆定理解决数学问题
5.若一个三角形的三边长分别为5,12,13,则此三角形的最长边上的高为    .
6.(2025九江柴桑区月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC边上一点,连结BD,已知BC=15,CD=9,BD=12.
(1)判断△BCD的形状,并说明理由;
(2)求AD的长.
1.已知a、b、c分别是△ABC的三边,且满足3(a-13)2+2|b-12|+c2-10c+25=0,则△ABC是 (  )
A.以a为斜边的直角三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.非直角三角形
2.如图是一个长方体盒子,其长、宽、高分别为4,2,9,用一根细线绕侧面绑在点A、B处,不计线头,细线的最短长度为 (  )
A.12 B.15 C.18 D.21
3.(2025本溪期中)如图,△ABD和△ABC的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上,则∠BAC的度数为 (  )
A.120° B.135° C.150° D.165°
4.如图,网格中每个小正方形的边长都是1,点A、B、C、D都在小正方形的顶点上.若EF=m,且AB、CD、EF三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形,则m的值为    .
5.如图所示,△ABC的三边分别是a、b、c,并且满足a2+b2-12a-16b+100=0,c=10.
(1)请判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求出最长边AB上的高CD.
6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B'重合,AE为折痕,求B'E的长.
7.(几何直观)如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P、Q两点同时出发,经过3 s时,△BPQ的面积是多少
【详解答案】
基础达标
1.D 2.A 3.D
4.7 解析:∵∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°,∴在Rt△OAB中,由勾股定理,得OB2=OA2+AB2=22+12=5.在Rt△OBC中,由勾股定理,得OC2=OB2+CB2=5+12=6.在Rt△OCD中,由勾股定理,得OD2=OC2+CD2=6+12=7.
5.
6.解:(1)△BCD是直角三角形.
理由如下:在△BCD中,BC=15,CD=9,BD=12,
∵CD2+BD2=92+122=225,BC2=152=225,
∴CD2+BD2=BC2.
∴△BCD是直角三角形.
(2)设AD=x,∵CD=9,
∴AC=x+9.
∵AB=AC,
∴AB=x+9.
在Rt△ABD中,BD2+AD2=AB2,
∴122+x2=(x+9)2.
∴x=.
即AD的长为.
能力提升
1.A 解析:∵3(a-13)2+2|b-12|+c2-10c+25=0,∴3(a-13)2+2|b-12|+(c-5)2=0,即a-13=0,b-12=0,c-5=0.∴a=13,b=12, c=5,即b2+c2=a2.∴∠A= 90°.∴△ABC是以a为斜边的直角三角形.故选A.
2.B 解析:如图所示:
连结AB',则AB'的长即为所用的最短细线长,
AA'=4+2+4+2=12,A'B'=AB=9,
由勾股定理,得AB'2=AA'2+A'B'2=122+92=225,则AB'=15.
故选B.
3.B 解析:如图,延长BA到点E,连结CE,
由图可知,CE2=12+22=5,AE2=22+12=5,AC2=12+32=10,
∵5+5=10,
∴AE2+CE2=AC2.
∴△AEC是直角三角形.
∴∠AEC=90°.
∵EA=EC,
∴∠EAC=∠ECA.
∴∠EAC=∠ECA=(180°-∠AEC)=45°.
∴∠BAC=180°-∠EAC=135°.
故选B.
4.或 解析:∵以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形,AB=,CD=,EF=m,
当AB为斜边时,CD2+EF2=AB2,
∴8+m2=13.
∵m>0,
∴m=;
当EF为斜边时,CD2+AB2=EF2,
∴8+13=m2.
∵m>0,
∴m=.
故m的值为或.
5.解:(1)△ABC为直角三角形.理由如下:∵a2+b2-12a-16b+100=0,
∴(a-6)2+(b-8)2=0,
即a=6,b=8.
∵a2+b2=62 +82=100=102=c2,
∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.
(2)S△ABC=AC·BC=AB·CD,
即ab=c·CD,
∴CD==4.8.
6.解:根据折叠,可得BE=B'E,AB'=AB=3,
设BE=B'E=x,则EC=4-x,
∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC==5.
∴B'C=5-3=2.
在Rt△B'EC中,由勾股定理,得x2+22=(4-x)2,
解得x=1.5.
∴B'E的长为1.5.
7.解:∵AB∶BC∶CA=3∶4∶5,
∴设AB=3x cm,BC=4x cm,AC=5x cm.
∵△ABC的周长为36 cm,
即AB+BC+AC=36 cm,
∴3x+4x+5x=36.解得x=3.
∴AB=9 cm,BC=12 cm,AC=15 cm.
∵AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形.
经过3 s,BP=9-3×1=6(cm),
BQ=2×3=6(cm),
∴S△BPQ=BP·BQ=×6×6=18(cm2).13.2 勾股定理的应用
第1课时 勾股定理在现实生活中的应用
利用勾股定理解决实际问题
1.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面3 m处撕裂折断,旗杆顶部落在离旗杆底部4 m处,旗杆折断之前的高度是 (  )
A.5 m B.8 m C.10 m D.13 m
2.如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D,则橡皮筋被拉长了 (  )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
3.(2025贵阳观山湖区期末)如图,有两棵树,一棵高8 m,另一棵高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行 (  )
A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m
4.如图,在底面周长约为6 m的石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16 m,则雕刻在石柱上的巨龙至少为 (  )
A.20 m B.25 m C.30 m D.15 m
5.某消防队进行消防演练,在模拟现场,有一建筑物发生了火灾,消防车到达后,发现离建筑物的水平距离最近为12 m,即AD=BC=12 m,此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援,已知消防云梯的车身高AB是3.8 m.问:此消防车的云梯至少应伸长多少米
6.(2025银川兴庆区期末)如图,在离水面高度为8 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17 m,此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,问:船向岸边移动了多少米 (假设绳子一直保持是直的)
1.(易错题)如图是一扇高为2 m、宽为1 m的门框,李师傅有3块薄木板,尺寸如下:①号木板长
3 m、宽2.2 m;②号木板长2.5 m、宽2.5 m;③号木板长4 m、宽2.3 m.可以从这扇门通过的木板是 (  )
A.①号 B.②号 C.③号 D.均不能通过
2.如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是20 cm,长都是50 cm,宽都是40 cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短线路的长度是 (  )
A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm
3.如图,学校有一块直角三角形菜地,∠ABC=90°,BC=12 m.为方便劳作,准备在菜地中间修建一条小路.测量发现,∠ADE=∠AED,BD=EF=1 m,CF=8 m,则AE的长为 (  )
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
4.如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为    cm.(杯壁厚度不计)
5.如图所示的是一块草坪,已知AD=12 m,CD=9 m,∠ADC=90°,AB=39 m,BC=36 m,若每铺1 m2草坪需要花费40元,则铺这块草坪共需花费多少元
6.(创新意识)在综合实践课上,甲、乙两组同学分别设计方案,检测背景墙面(如图所示)边AD和边BC是否分别垂直于边AB.
甲组:
工具:卷尺,测量得边AD长为1 m,边AB长为2.4 m,点B和点D之间的距离是2.6 m.
乙组:
工具:20 cm的刻度尺.
(1)请你依据甲组测量数据判断:边AD垂直于边AB吗 说明理由.
(2)请你帮乙组借用现有的工具设计一个方案:检验边BC是否垂直于边AB 简要说明设计方案.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.A 3.D 4.A
5.解:由题意可知,AB=CD=3.8 m,AD=12 m,PC=12.8 m,∠ADP=90°,
∴PD=PC-CD=9 m.
在Rt△ADP中,AP==15 m.
答:此消防车的云梯至少应伸长15 m.
6.解:∵∠CAB=90°,BC=17 m,AC=8 m,
∴AB==15(m).
∵此人以1 m/s的速度收绳,7 s后船移动到点D的位置,
∴CD=17-1×7=10(m).
∴AD==6(m).
∴BD=AB-AD=9(m).
答:船向岸边移动了9 m.
能力提升
1.A 解析:∵,2.2<,<2.3,<2.5,
∴可以从这扇门通过的木板是①号木板.
故选A.
2.C 解析:把这个台阶示意图展开为平面图形如图,
∵AB==
130(cm),
∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短线路AB的长度为130 cm.
故选C.
3.B 解析:∵∠ADE=∠AED,
∴AD=AE.
设AE=x m,则AD=x m,
∴AB=AD+BD=(x+1)m,AC=AE+EF+CF=(9+x)m.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,
即(x+1)2+122=(9+x)2,
解得x=4,
即AE=4 m.
故选B.
4.10 解析:如图,
将杯子侧面展开,作点B关于EF的对称点B',
连结B'A,则B'A即为最短路程,
B'A==10(cm).
5.解:如图,连结AC,
根据勾股定理,得AC==15 m.
在△ABC中,AB2=1 521=BC2+AC2=1 296+225=1 521,
∴△ABC是直角三角形.
∴S草坪=S△ABC-S△ACD
=BC·AC-CD·AD
=×36×15-×9×12
=216(m2),
∴铺这块草坪共需花费216×40=8 640(元).
6.解:(1)甲组:边AD垂直于边AB.理由如下:
∵AD2+AB2=12+2.42=6.76,BD2=2.62=6.76,
∴AD2+AB2=BD2.
根据勾股定理的逆定理,
可得△ABD为直角三角形,∠DAB=90°,
∴边AD垂直于边AB.
(2)设计方案:在BC上量取BE=3 cm,在AB上量取BF=4 cm,
根据勾股定理的逆定理,
如果EF=5 cm,则边BC垂直于边AB,否则就不垂直.(答案不唯一)