第12章全等三角形 评估测试卷 （含答案）2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 第12章全等三角形 评估测试卷 （含答案）2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 302.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-26 16:07:42 | ||
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文档简介
第12章 全等三角形 评估测试卷
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.(2025兰州新区期末)下列语句是命题的是 ( )
A.画线段CD
B.内错角相等吗
C.用量角器画∠AOC=90°
D.对顶角相等
2.下列命题中,逆命题是真命题的为 ( )
A.直角都相等
B.如果a>0,b>0,那么a+b>0
C.全等三角形的面积相等
D.直角三角形的两个锐角互余
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为 ( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
4.如图,已知AB=CD,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,给出下列条件:①∠B=∠C;②AB∥CD;③BE=CF;④AF=DE.其中选择一个就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ( )
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④
5.如图,在△ABC中,∠B=60°,DE为AC的垂直平分线.若∠BCE=50°,则∠A= ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
6.如图,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40 n mile到达C地,则A、C两地相距 ( )
A.30 n mile B.40 n mile C.50 n mile D.60 n mile
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于PB+PE的最小值的是 ( )
A.BC B.CE C.AD D.AC
8.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个“筝形”,其中AD=CD,AB=CB,在探究“筝形”的性质时,得到如下结论:①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③点O到四条边的距离都相等;④AO=OC.其中正确的结论有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,则这个等腰三角形的顶角等于 ( )
A.15°或75° B.30° C.150° D.150°或30°
10.如图,在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、AC边上的动点,BD=2AE,连结DE,以DE为边在△ABC内作等边三角形DEF,连结CF,当D从点A向B运动(不运动到点B)时,∠ECF大小的变化情况是 ( )
A.不变 B.变小
C.变大 D.先变大后变小
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.命题“任意两个直角都相等”的条件是 ,结论是 .
12.对于命题“若a>b,则ac>bc”,能说明它是假命题的反例是c= .(写出一个即可)
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5 cm,则AE= cm.
14.如图,△ABD≌△ACD,BD、AC的延长线交于点E.若AE=7,AB=5,BE=4,则△CDE的周长为 .
15.如图,△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .
16.(2025合肥包河区期末)在四边形ABCD中,BC∥AD,CA平分∠BCD,O为对角线的交点,CD=AO,BC=OD,则∠ABC= .
三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)如图,在△ABC中,请用尺规作图法在BC边上求作点M,使点M到∠BAC两边的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)
18.(6分)下面定理有逆定理吗 如果有,请写出逆定理,并证明;如果没有,请写出它的逆命题.
在三角形中,大角所对的边较大.
19.(6分)如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=85°,∠B=60°,AB=8,EH=2.
(1)求∠F的度数与DH的长;
(2)求证:AB∥DE.
20.(8分)如图,点C在BE上,AB⊥BE,DE⊥BE,给出以下四个等量关系:①AC⊥DC,②AB=CE,③BC=ED,④AC=CD.请你以其中两个为条件,另一个为结论,组成一个真命题,并证明.
(1)条件: ,结论: ;(填序号)
(2)写出你的证明过程.
21.(10分)小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度,经过实地测量,绘制如图,点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间的距离为池塘的长度),点A、D在直线l的异侧,且AB∥DE,∠A=∠D,测得AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=120 m,BF=38 m,求池塘FC的长度.
22.(10分)在△ABC中,∠B=∠C,D、E分别是线段BC、AC上的一点,且AD=AE.
(1)如图1,若∠BAC=90°,D为BC的中点,则∠2的度数为 ;
(2)如图2,用等式表示∠1与∠2之间的数量关系,并给予证明.
四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.(8分)如图,点D、E分别在AB、AC上,∠ADC=∠AEB=90°,BE、CD相交于点O,OB=OC.
求证:∠1=∠2.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°.
∵∠DOB=∠EOC,
∴∠B=∠C.……第一步
又∵OA=OA,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1=∠2.……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第 步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
24.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AN垂直平分BC,交BC于点N,点M是CD的中点.
(1)证明:AM是线段CD的垂直平分线;
(2)若∠MAN=70°,求∠BAD的度数.
25.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB、AC于点E、F,连结BD.
求证:(1)△ABD是等边三角形;
(2)BE=AF.
26.(10分)(2025上海杨浦区期末)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,D是边AB上一点(不与点A、B重合),E是线段CD的延长线上一点,∠BEC=∠BAC.
(1)求证:∠EBA=∠DCA;
(2)小华在研究这个问题时,提出了一个新的猜想:点D在运动的过程中(不与点A、B重合),∠AEC与∠ABC是否会相等 小丽思考片刻后,提出了自己的想法:可以在线段CE上取一点H, 使得CH=BE,连结AH,然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等.你能否根据小丽同学的想法,说明∠AEC=∠ABC的理由
27.(12分)在△ABC中,AB=AC,在△ABC的外部作等边三角形ACD,E为AC的中点,连结DE并延长交BC于点F,连结BD.
(1)如图1,若∠BAC=100°,求∠BDF的度数.
(2)如图2,∠ACB的平分线交AB于点M,交EF于点N,连结BN.
①补全图2;
②若BN=DN,求证:MB=MN.
【详解答案】
1. D 解析:A.画线段CD,没有做出判断,不是命题;B.内错角相等吗 没有做出判断,不是命题;C.用量角器画
∠AOC=90°,没有做出判断,不是命题;D.对顶角相等,做出了判断,是命题.故选D.
2.D 解析:A.直角都相等,逆命题是相等的角是直角,是假命题,不符合题意;B.如果a>0,b>0,那么a+b>0,逆命题是如果a+b>0,那么a>0,b>0,是假命题,不符合题意;C.全等三角形的面积相等,逆命题是面积相等的三角形全等,是假命题,不符合题意;D.直角三角形的两个锐角互余,逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形,是真命题,符合题意.故选D.
3.C 解析:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵∠A=40°,
∴∠B=∠ACB==70°.
∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∴∠ACD=∠A+∠B=40°+70°=110°.
故选C.
4.D 解析:∵BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,∴∠AEB=∠DFC=90°.①∠B=∠C,由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故①符合题意;②由AB∥CD,推出∠A=∠D,由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故②符合题意;③BE=CF,由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故③符合题意;④由AF=DE得到AE=DF,由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故④符合题意,
∴可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③④.
故选D.
5.C 解析:∵∠B=60°,∠BCE=50°,
∴∠A+∠ECA=180°-60°-50°=70°.
∵DE为AC的垂直平分线,∴EC=EA.
∴∠A=∠ECA=35°.
故选C.
6.B 解析:由题意,得∠ABC=60°,AB=BC,
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=AB=40 n mile.
故选B.
7.B 解析:如图,连结PC,
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC.
∴PB=PC.
∴PB+PE=PC+PE.
∵PE+PC≥CE,
∴P、C、E在同一条直线上时,PB + PE的值最小,最小值为CE的长度.故选B.
8.B 解析:在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SSS).
∴∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
∵AD=CD,
∴DB⊥AC,AO=OC.
∵∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,
∴点O到BA和BC的距离相等,点O到AD和CD的距离相等,但是点O到AD和AB的距离不一定相等,故①②④正确,③错误.
故选B.
9.D 解析:如图1,AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=60°,则∠A=30°;
如图2,AB=AC,BD⊥AC,
∠ABD=60°,∴∠BAD=30°,
∴∠BAC=180°-30°=150°.
故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°.故选D.
10.A 解析:在AC上截取CN=AE,连结FN,如图所示.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,AB=AC.
∵BD=2AE,
∴AD=EN.
∵△DEF是等边三角形,
∴DE=EF,∠DEF=60°.
∵∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,
∠NEF=180°-∠DEF-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,
∴∠ADE=∠NEF.
在△ADE和△NEF中,
∴△ADE≌△NEF(SAS).
∴AE=NF,∠FNE=∠A=60°.
∴FN=CN.
∴∠NCF=∠NFC.
∵∠FNE=∠NCF+∠NFC=60°,
∴∠NCF=30°,
即∠ECF=30°.
故选A.
11.两个角是直角 这两个角相等
解析:“任意两个直角都相等”的条件是两个角是直角,结论是这两个角相等.
12.-1(答案不唯一) 解析:当c=-1时,由a>b,得到ac13.3 解析:∵∠ACB=90°,
∴∠ECF+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠BCD+∠B=90°.
∴∠ECF=∠B(等角的余角相等).
在△FCE和△ABC中,
∴△FCE≌△ABC(ASA).
∴AC=FE.
∵AE=AC-CE,BC=2 cm,EF=5 cm,
∴AE=5-2=3(cm).
14.6 解析:∵△ABD≌△ACD,
∴AC=AB=5,CD=BD.
∵AE=7,
∴CE=AE-AC=2.
∵BE=4,
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=BD+DE+CE=BE+CE=6.
15.4∶5∶6 解析:如图,过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F.
∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的角平分线,
∴OD=OE=OF.
∵△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40,50,60,
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO==AB∶BC∶AC=40∶50∶60=4∶5∶6.
16. 126° 解析:如图,
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠DCA.
∵BC∥AD,
∴∠BCA=∠DAC.
∴∠DCA=∠DAC.
∴DA=DC.
∵CD=AO,
∴AD=AO,∴∠AOD=∠ADO=∠BOC.
∵∠CBD=∠ADB,
∴∠COB=∠CBO,∴CB=CO.
∵CB=OD,∴CO=OD.
∴∠OCD=∠ODC,∠AOD=∠ADO=2∠OCD=2∠BCA.
∴3∠BCA+∠ADO=180°.
∴∠BCA=36°,∠ADO=72°.
∴∠DBC=∠DCB=72°.
∴BD=CD=AD.
∴∠DAB=∠DBA.
又∵∠BDA=72°,
∴∠DBA==54°.
∴∠ABC=72°+54°=126°.
17. 解:如图,点M即为所求.
18.解:在三角形中,大角所对的边较大,有逆定理,逆定理是:在三角形中,大边所对的角较大.
已知:在△ABC中,AC>AB,
求证:∠B>∠C.
证明:在AC上截取AD,使AD=AB,连结BD,如图.
∵AD=AB,∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ADB是△DBC的外角,
∴∠ADB>∠C.
∴∠ABD>∠C.
∴∠ABC>∠C.
19.(1)解:∵∠A=85°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°.
∵△ABC≌△DEF,AB=8,
∴DE=AB=8,∠F=∠ACB=35°.
∵EH=2,∴DH=8-2=6.
(2)证明:∵△ABC≌△DEF,
∴∠DEF=∠B.
∴AB∥DE.
20.(1)解:条件:②③,结论:④
(答案不唯一).
(2)证明:∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°.
在△ABC和△CED中,
∴△ABC≌△CED(SAS).
∴AC=CD.
21. (1)证明:∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)解:∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF.
∴BF+FC=EC+FC.
∴BF=EC.
∵BE=120 m,BF=38 m,
∴FC=BE-BF-EC=44 m.
答:池塘FC的长度是44 m.
22.解:(1)22.5°
(2)∠1=2∠2.证明如下:
∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE.
∵∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1,
∴∠B+∠1=∠2+∠C+∠2,
∵∠B=∠C,
∴∠1=2∠2.
23.(1)解:二
(2)证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△DOB和△EOC中,
∴△DOB≌△EOC(AAS).
∴OD=OE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL).
∴∠1=∠2.
24.(1)证明:∵AN垂直平分BC,
∴AB=AC.
∵AB=AD,∴AC=AD.
∵点M是CD的中点,
∴AM⊥CD.
∴AM是线段CD的垂直平分线.
(2)解:∵AB=AC,AN⊥BC,
∴∠BAC=2∠CAN.
∵AC=AD,AM⊥CD,
∴∠CAD=2∠CAM.
∵∠MAN=70°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD
=2∠CAN+2∠CAM
=2∠MAN
=2×70°
=140°.
25.证明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°.
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(ASA).
∴BE=AF.
26.(1)证明:∵∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°,∠BAC+∠ADC+∠DCA=180°,
∴∠BEC+∠BDE+∠EBA=∠BAC+∠ADC+∠DCA.
又∵∠BEC=∠BAC,∠BDE=∠ADC,
∴∠EBA=∠DCA.
(2)解:在线段CE上取一点H,使得CH=BE,连结AH,如图所示.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC).
由(1)可知∠EBA=∠DCA,
在△ABE和△ACH中,
∴△ABE≌△ACH(SAS).
∴AE=AH,∠BAE=∠CAH.
∴∠BAE+∠DAH=∠CAH+
∠DAH,
即∠EAH=∠BAC.
∵AE=AH,
∴∠AEC=∠AHD=(180°-∠EAH)=(180°-∠BAC).
∴∠AEC=∠ABC.
27.(1)解:∵在等边三角形ACD中,
∠CAD=∠ADC=60°,AD=AC,
又∵E为AC的中点,
∴∠ADE=∠ADC=30°.
∵AB=AC,
∴AD=AB.
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°,
∴∠ADB=∠ABD=10°.
∴∠BDF=∠ADF-∠ADB=20°.
(2)①解:补全图形,如图所示.
②证明:如图,连结AN.
∵CM平分∠ACB,
∴设∠ACM=∠BCM=α.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2α.
在等边三角形ACD中,
∵E为AC的中点,
∴DN⊥AC.
∴NA=NC.
∴∠NAC=∠NCA=α.
∴∠DAN=60°+α.
在△ABN 和△ADN 中,
∴△ABN≌△ADN(SSS).
∴∠ABN=∠ADN=30°,
∠BAN=∠DAN=60°+α.
∴∠BAC=60°+2α.
在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴60°+2α+2α+2α=180°.
∴α=20°.
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=10°.
∴∠MNB=∠NBC+∠NCB=30°.
∴∠MNB=∠MBN.
∴MB=MN.
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.(2025兰州新区期末)下列语句是命题的是 ( )
A.画线段CD
B.内错角相等吗
C.用量角器画∠AOC=90°
D.对顶角相等
2.下列命题中,逆命题是真命题的为 ( )
A.直角都相等
B.如果a>0,b>0,那么a+b>0
C.全等三角形的面积相等
D.直角三角形的两个锐角互余
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为 ( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
4.如图,已知AB=CD,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,给出下列条件:①∠B=∠C;②AB∥CD;③BE=CF;④AF=DE.其中选择一个就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ( )
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④
5.如图,在△ABC中,∠B=60°,DE为AC的垂直平分线.若∠BCE=50°,则∠A= ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
6.如图,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40 n mile到达C地,则A、C两地相距 ( )
A.30 n mile B.40 n mile C.50 n mile D.60 n mile
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于PB+PE的最小值的是 ( )
A.BC B.CE C.AD D.AC
8.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个“筝形”,其中AD=CD,AB=CB,在探究“筝形”的性质时,得到如下结论:①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③点O到四条边的距离都相等;④AO=OC.其中正确的结论有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,则这个等腰三角形的顶角等于 ( )
A.15°或75° B.30° C.150° D.150°或30°
10.如图,在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、AC边上的动点,BD=2AE,连结DE,以DE为边在△ABC内作等边三角形DEF,连结CF,当D从点A向B运动(不运动到点B)时,∠ECF大小的变化情况是 ( )
A.不变 B.变小
C.变大 D.先变大后变小
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.命题“任意两个直角都相等”的条件是 ,结论是 .
12.对于命题“若a>b,则ac>bc”,能说明它是假命题的反例是c= .(写出一个即可)
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5 cm,则AE= cm.
14.如图,△ABD≌△ACD,BD、AC的延长线交于点E.若AE=7,AB=5,BE=4,则△CDE的周长为 .
15.如图,△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .
16.(2025合肥包河区期末)在四边形ABCD中,BC∥AD,CA平分∠BCD,O为对角线的交点,CD=AO,BC=OD,则∠ABC= .
三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)如图,在△ABC中,请用尺规作图法在BC边上求作点M,使点M到∠BAC两边的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)
18.(6分)下面定理有逆定理吗 如果有,请写出逆定理,并证明;如果没有,请写出它的逆命题.
在三角形中,大角所对的边较大.
19.(6分)如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=85°,∠B=60°,AB=8,EH=2.
(1)求∠F的度数与DH的长;
(2)求证:AB∥DE.
20.(8分)如图,点C在BE上,AB⊥BE,DE⊥BE,给出以下四个等量关系:①AC⊥DC,②AB=CE,③BC=ED,④AC=CD.请你以其中两个为条件,另一个为结论,组成一个真命题,并证明.
(1)条件: ,结论: ;(填序号)
(2)写出你的证明过程.
21.(10分)小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度,经过实地测量,绘制如图,点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间的距离为池塘的长度),点A、D在直线l的异侧,且AB∥DE,∠A=∠D,测得AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=120 m,BF=38 m,求池塘FC的长度.
22.(10分)在△ABC中,∠B=∠C,D、E分别是线段BC、AC上的一点,且AD=AE.
(1)如图1,若∠BAC=90°,D为BC的中点,则∠2的度数为 ;
(2)如图2,用等式表示∠1与∠2之间的数量关系,并给予证明.
四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.(8分)如图,点D、E分别在AB、AC上,∠ADC=∠AEB=90°,BE、CD相交于点O,OB=OC.
求证:∠1=∠2.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°.
∵∠DOB=∠EOC,
∴∠B=∠C.……第一步
又∵OA=OA,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1=∠2.……第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第 步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
24.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AN垂直平分BC,交BC于点N,点M是CD的中点.
(1)证明:AM是线段CD的垂直平分线;
(2)若∠MAN=70°,求∠BAD的度数.
25.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB、AC于点E、F,连结BD.
求证:(1)△ABD是等边三角形;
(2)BE=AF.
26.(10分)(2025上海杨浦区期末)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,D是边AB上一点(不与点A、B重合),E是线段CD的延长线上一点,∠BEC=∠BAC.
(1)求证:∠EBA=∠DCA;
(2)小华在研究这个问题时,提出了一个新的猜想:点D在运动的过程中(不与点A、B重合),∠AEC与∠ABC是否会相等 小丽思考片刻后,提出了自己的想法:可以在线段CE上取一点H, 使得CH=BE,连结AH,然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等.你能否根据小丽同学的想法,说明∠AEC=∠ABC的理由
27.(12分)在△ABC中,AB=AC,在△ABC的外部作等边三角形ACD,E为AC的中点,连结DE并延长交BC于点F,连结BD.
(1)如图1,若∠BAC=100°,求∠BDF的度数.
(2)如图2,∠ACB的平分线交AB于点M,交EF于点N,连结BN.
①补全图2;
②若BN=DN,求证:MB=MN.
【详解答案】
1. D 解析:A.画线段CD,没有做出判断,不是命题;B.内错角相等吗 没有做出判断,不是命题;C.用量角器画
∠AOC=90°,没有做出判断,不是命题;D.对顶角相等,做出了判断,是命题.故选D.
2.D 解析:A.直角都相等,逆命题是相等的角是直角,是假命题,不符合题意;B.如果a>0,b>0,那么a+b>0,逆命题是如果a+b>0,那么a>0,b>0,是假命题,不符合题意;C.全等三角形的面积相等,逆命题是面积相等的三角形全等,是假命题,不符合题意;D.直角三角形的两个锐角互余,逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形,是真命题,符合题意.故选D.
3.C 解析:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵∠A=40°,
∴∠B=∠ACB==70°.
∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∴∠ACD=∠A+∠B=40°+70°=110°.
故选C.
4.D 解析:∵BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,∴∠AEB=∠DFC=90°.①∠B=∠C,由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故①符合题意;②由AB∥CD,推出∠A=∠D,由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故②符合题意;③BE=CF,由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故③符合题意;④由AF=DE得到AE=DF,由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故④符合题意,
∴可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③④.
故选D.
5.C 解析:∵∠B=60°,∠BCE=50°,
∴∠A+∠ECA=180°-60°-50°=70°.
∵DE为AC的垂直平分线,∴EC=EA.
∴∠A=∠ECA=35°.
故选C.
6.B 解析:由题意,得∠ABC=60°,AB=BC,
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=AB=40 n mile.
故选B.
7.B 解析:如图,连结PC,
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC.
∴PB=PC.
∴PB+PE=PC+PE.
∵PE+PC≥CE,
∴P、C、E在同一条直线上时,PB + PE的值最小,最小值为CE的长度.故选B.
8.B 解析:在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SSS).
∴∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
∵AD=CD,
∴DB⊥AC,AO=OC.
∵∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,
∴点O到BA和BC的距离相等,点O到AD和CD的距离相等,但是点O到AD和AB的距离不一定相等,故①②④正确,③错误.
故选B.
9.D 解析:如图1,AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=60°,则∠A=30°;
如图2,AB=AC,BD⊥AC,
∠ABD=60°,∴∠BAD=30°,
∴∠BAC=180°-30°=150°.
故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°.故选D.
10.A 解析:在AC上截取CN=AE,连结FN,如图所示.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,AB=AC.
∵BD=2AE,
∴AD=EN.
∵△DEF是等边三角形,
∴DE=EF,∠DEF=60°.
∵∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,
∠NEF=180°-∠DEF-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,
∴∠ADE=∠NEF.
在△ADE和△NEF中,
∴△ADE≌△NEF(SAS).
∴AE=NF,∠FNE=∠A=60°.
∴FN=CN.
∴∠NCF=∠NFC.
∵∠FNE=∠NCF+∠NFC=60°,
∴∠NCF=30°,
即∠ECF=30°.
故选A.
11.两个角是直角 这两个角相等
解析:“任意两个直角都相等”的条件是两个角是直角,结论是这两个角相等.
12.-1(答案不唯一) 解析:当c=-1时,由a>b,得到ac
∴∠ECF+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠BCD+∠B=90°.
∴∠ECF=∠B(等角的余角相等).
在△FCE和△ABC中,
∴△FCE≌△ABC(ASA).
∴AC=FE.
∵AE=AC-CE,BC=2 cm,EF=5 cm,
∴AE=5-2=3(cm).
14.6 解析:∵△ABD≌△ACD,
∴AC=AB=5,CD=BD.
∵AE=7,
∴CE=AE-AC=2.
∵BE=4,
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=BD+DE+CE=BE+CE=6.
15.4∶5∶6 解析:如图,过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F.
∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的角平分线,
∴OD=OE=OF.
∵△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40,50,60,
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO==AB∶BC∶AC=40∶50∶60=4∶5∶6.
16. 126° 解析:如图,
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠DCA.
∵BC∥AD,
∴∠BCA=∠DAC.
∴∠DCA=∠DAC.
∴DA=DC.
∵CD=AO,
∴AD=AO,∴∠AOD=∠ADO=∠BOC.
∵∠CBD=∠ADB,
∴∠COB=∠CBO,∴CB=CO.
∵CB=OD,∴CO=OD.
∴∠OCD=∠ODC,∠AOD=∠ADO=2∠OCD=2∠BCA.
∴3∠BCA+∠ADO=180°.
∴∠BCA=36°,∠ADO=72°.
∴∠DBC=∠DCB=72°.
∴BD=CD=AD.
∴∠DAB=∠DBA.
又∵∠BDA=72°,
∴∠DBA==54°.
∴∠ABC=72°+54°=126°.
17. 解:如图,点M即为所求.
18.解:在三角形中,大角所对的边较大,有逆定理,逆定理是:在三角形中,大边所对的角较大.
已知:在△ABC中,AC>AB,
求证:∠B>∠C.
证明:在AC上截取AD,使AD=AB,连结BD,如图.
∵AD=AB,∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ADB是△DBC的外角,
∴∠ADB>∠C.
∴∠ABD>∠C.
∴∠ABC>∠C.
19.(1)解:∵∠A=85°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°.
∵△ABC≌△DEF,AB=8,
∴DE=AB=8,∠F=∠ACB=35°.
∵EH=2,∴DH=8-2=6.
(2)证明:∵△ABC≌△DEF,
∴∠DEF=∠B.
∴AB∥DE.
20.(1)解:条件:②③,结论:④
(答案不唯一).
(2)证明:∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°.
在△ABC和△CED中,
∴△ABC≌△CED(SAS).
∴AC=CD.
21. (1)证明:∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)解:∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF.
∴BF+FC=EC+FC.
∴BF=EC.
∵BE=120 m,BF=38 m,
∴FC=BE-BF-EC=44 m.
答:池塘FC的长度是44 m.
22.解:(1)22.5°
(2)∠1=2∠2.证明如下:
∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE.
∵∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1,
∴∠B+∠1=∠2+∠C+∠2,
∵∠B=∠C,
∴∠1=2∠2.
23.(1)解:二
(2)证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△DOB和△EOC中,
∴△DOB≌△EOC(AAS).
∴OD=OE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL).
∴∠1=∠2.
24.(1)证明:∵AN垂直平分BC,
∴AB=AC.
∵AB=AD,∴AC=AD.
∵点M是CD的中点,
∴AM⊥CD.
∴AM是线段CD的垂直平分线.
(2)解:∵AB=AC,AN⊥BC,
∴∠BAC=2∠CAN.
∵AC=AD,AM⊥CD,
∴∠CAD=2∠CAM.
∵∠MAN=70°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD
=2∠CAN+2∠CAM
=2∠MAN
=2×70°
=140°.
25.证明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°.
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(ASA).
∴BE=AF.
26.(1)证明:∵∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°,∠BAC+∠ADC+∠DCA=180°,
∴∠BEC+∠BDE+∠EBA=∠BAC+∠ADC+∠DCA.
又∵∠BEC=∠BAC,∠BDE=∠ADC,
∴∠EBA=∠DCA.
(2)解:在线段CE上取一点H,使得CH=BE,连结AH,如图所示.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC).
由(1)可知∠EBA=∠DCA,
在△ABE和△ACH中,
∴△ABE≌△ACH(SAS).
∴AE=AH,∠BAE=∠CAH.
∴∠BAE+∠DAH=∠CAH+
∠DAH,
即∠EAH=∠BAC.
∵AE=AH,
∴∠AEC=∠AHD=(180°-∠EAH)=(180°-∠BAC).
∴∠AEC=∠ABC.
27.(1)解:∵在等边三角形ACD中,
∠CAD=∠ADC=60°,AD=AC,
又∵E为AC的中点,
∴∠ADE=∠ADC=30°.
∵AB=AC,
∴AD=AB.
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°,
∴∠ADB=∠ABD=10°.
∴∠BDF=∠ADF-∠ADB=20°.
(2)①解:补全图形,如图所示.
②证明:如图,连结AN.
∵CM平分∠ACB,
∴设∠ACM=∠BCM=α.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2α.
在等边三角形ACD中,
∵E为AC的中点,
∴DN⊥AC.
∴NA=NC.
∴∠NAC=∠NCA=α.
∴∠DAN=60°+α.
在△ABN 和△ADN 中,
∴△ABN≌△ADN(SSS).
∴∠ABN=∠ADN=30°,
∠BAN=∠DAN=60°+α.
∴∠BAC=60°+2α.
在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴60°+2α+2α+2α=180°.
∴α=20°.
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=10°.
∴∠MNB=∠NBC+∠NCB=30°.
∴∠MNB=∠MBN.
∴MB=MN.