第二十四章 圆 单元测试 （含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试
一、选择题
1.如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D，若∠BOC＝45°，OB＝2，则AB的长为（　　）
A. B.2 C. D.4
2.如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　）
A.25° B.40° C.50° D.65°
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC 的度数是（　　）
A.110° B.100° C.120° D.125°
4.如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（　　）
A.12° B.22° C.24° D.44°
5.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC，BD∥OA交⊙O于点D，连接AD，若∠ABD＝20°，则∠BAD的度数为（　　）
A.50° B.55° C.60° D.65°
6.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB=3，则圆片的面积为（　　）
A.π B.3π C.9π D.12π
7.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），B的坐标为（1，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A.（3，2） B.（3，1） C.（4，1） D.（4，2）
8.如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（　　）
A. B. C.4 D.6
9.已知：如图，△ABC．
求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
④∵∠A+∠B＝180°，
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
10.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.
11.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　）
A. B. C. D.
12.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（3，0）、B两点，∠BAO＝30°，圆心P的坐标为（﹣1，0），⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
13.已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则的长为 　 　．
14.如图，有一个直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC；则图中阴影部分的面积是 　 　．
15.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是　 　（“相等”或“不等”）．
16.已知：⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OD＝3：5，则AC的长为 　 　．
17.如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 　 　．
三、解答题
18.如图，AB，CD是⊙O的两条弦.
（1）如果AB=CD，那么 ， .
（2）如果=，那么 ， .
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， .
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE和OF相等吗？为什么？
19.如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．
20.在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm．
（1）若以A为圆心，6 cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　．
21.如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，DB平分∠ADC，连接OC，且OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半径．
22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．
（2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）．
人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，在⊙O中，点A，B，C在圆上，且OC⊥AB，垂足为D，若∠BOC＝45°，OB＝2，则AB的长为（　　）
A. B.2 C. D.4
【答案】D
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴=且AB＝2BD，
∴∠AOC=∠BOC=45°
∴∠AOB=90°
∵OB＝2，
∴OB2+OA2＝AB2，
∴2OB2＝AB2，
∴AB＝4．
故选：D．
2.如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　）
A.25° B.40° C.50° D.65°
【答案】B
【解析】∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC
∴∠OCA＝90°
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确．
故选：B．
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC 的度数是（　　）
A.110° B.100° C.120° D.125°
【答案】A
【解析】解：∵∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝55°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝110°．
故选：A．
4.如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（　　）
A.12° B.22° C.24° D.44°
【答案】C
【解析】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°，
∴∠AOC＝156°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°，
故选：C．
5.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OA、OC，BD∥OA交⊙O于点D，连接AD，若∠ABD＝20°，则∠BAD的度数为（　　）
A.50° B.55° C.60° D.65°
【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OD，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝40°，
∵OA＝OD，
∴，
∵BD∥OA，
∴∠OAB＝∠ABD＝20°，
∴∠BAD＝∠OAD﹣∠OAB＝50°，
故选：A．
6.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB=3，则圆片的面积为（　　）
A.π B.3π C.9π D.12π
【答案】C
【解析】解：连接OC，OB，
∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，
∴∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB，
∵∠CAB=60°+30°=90°，
∴四边形ABOC是正方形，
∴OB=AB=3，
∴圆片的面积=π×32=9π
故选：C．
7.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣1，3），B的坐标为（1，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A.（3，2） B.（3，1） C.（4，1） D.（4，2）
【答案】B
【解析】解：如图，建立直角坐标系，
该圆弧所在圆的圆心是弦BC，弦AB垂直平分线的交点O′，坐标是（3，1）．
故选：B．
8.如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（　　）
A. B. C.4 D.6
【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，OB，OC，
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，
∵A是弧BC的中点，
∴＝，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝4．
故选：C．
9.已知：如图，△ABC．
求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
④∵∠A+∠B＝180°，
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【答案】D
【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设△ABC中有两个（或三个）直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
2、∵∠A+∠B＝180°，
3、∴∠A+∠B+，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾．
4、因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
故选：D．
10.如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.
【答案】A
【解析】解：如图，连接BI，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵点I为等边△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°，
∴AD是△ABC外接圆的直径，
∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°，
∴△DBI是等边三角形，
∴DI＝BI，
∵∠IAB＝∠IBA，
∴AI＝BI，
∴DI＝AI＝AD＝2，
∴BD＝DI＝2，
∴线段DB的长为2，
故选：A．
11.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，连接AC.
∵CD为直径，CD⊥AB，A，O，E共线且AE⊥BC于E.
∴直线CD垂直平分线段AB，直线AE垂直平分线段BC
∴AC=BC=AB
∴△ABC为等边三角形
∵AC=AB=BC，且AE⊥BC，
∴∠BAE=∠30°（三线合一）
∵AO＝1，
∴OF＝AO＝，
由勾股定理，得AF＝OF＝，
同理CE＝，OE＝，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，
由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，
∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+××＝．
故选：B．
12.如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（3，0）、B两点，∠BAO＝30°，圆心P的坐标为（﹣1，0），⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】解：如图，当圆与直线AB相切时，切点是D和E，
连接P′D，P′′E，
∴P′D⊥AB，P′′E⊥AB，
∵∠BAO＝30°，
∴AP′＝2P′D＝2，
同理：AP′′＝2，
∴P′的横坐标是3﹣2＝1，P′′的横坐标是3+2＝5，
∴P的横坐标的范围是大于1且小于5，
∴横坐标为整数的点P的坐标是（2，0），（3，0），（4，0），共有3个．
故选：B．
二、填空题
13.已知，如图等边△ABC中，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB，AC于点E，F．若BC＝10，则的长为 　 　．
【答案】
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，BC＝10，
∴BD＝5，AB＝10，
∴AD＝＝5，
∴的长为＝．
故答案为：．
14.如图，有一个直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC；则图中阴影部分的面积是 　 　．
【答案】2π
【解析】解：如图，连接BC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC＝4，
又∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝2．
∴S阴影部分＝S⊙O﹣S扇形ABC＝π×22﹣＝2π．
故答案为：2π．
15.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是　 　（“相等”或“不等”）．
【答案】相等
【解析】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝EB，CF＝DF，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，AE＝CF，
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴OE＝OF．
故答案为：相等．
16.已知：⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OD＝3：5，则AC的长为 　 　．
【答案】4或2
【解析】连接OA，
∵OE：OD＝3：5，
设OD＝5x，OE＝3x，
则OD＝OC＝5x，
∵CD＝10，
∴OE＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，AE＝＝＝4，
当如图1时，CE＝OC+OE＝5+3＝8，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝4；
当如图2时，CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝2．
综上所述，AC的长为4或2．
17.如图，点M坐标为（0，1），点A坐标为（1，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，则线段OD的最大值为 　 　．
【答案】
【解析】解：∵OM⊥AB，点A坐标为（1，0），
∴OA＝OB＝1，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∴当BC是⊙M的直径时，线段OD取得最大值，如图，
∵点M坐标为（0，1），
∴OM＝1，
在Rt△OBM中，BM＝，
∴BC＝2BM＝2，
∴OD＝＝，
即线段OD的最大值为．
故答案为：．
三、解答题
18.如图，AB，CD是⊙O的两条弦.
（1）如果AB=CD，那么 ， .
（2）如果=，那么 ， .
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， .
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE和OF相等吗？为什么？
【答案】解：（1）如果AB=CD，那么=，∠AOB=∠COD；
（2）如果=，那么∠AOB=∠COD；AB=CD；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么=，AB=CD；
（4）OE与OF相等．理由如下：
∵OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，
∴AE=BE，CF=DF，
而AB=CD，
∴AE=CF，
∵OE=，OF=，
∵OA=OC
∴OE=OF．
故答案为： =，∠AOB=∠COD；∠AOB=∠COD，AB=CD； =，AB=CD．
【解析】
19.如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．
【答案】（1）证明：∵B，C是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接CD，AD，
∵∠BDC＝25°，，
∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，
∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，
∴∠BEC＝∠AED＝130°．
【解析】
20.在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm．
（1）若以A为圆心，6 cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 　 　．
【答案】解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝6 cm，AD＝8 cm，
∴AC＝10 cm，
∵⊙A的半径为6 cm长，
∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；
（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是6 cm＜r＜10 cm．
故答案为：6 cm＜r＜10 cm．
【解析】
21.如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，DB平分∠ADC，连接OC，且OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴，
∵OC⊥BD，
∴，
∴，
∴AB＝CD；
（2）解：连接OB，OC与BD交于E，
∵OC⊥BD，
∴BE＝DE＝×8＝4，
∴CE＝＝＝3，
设⊙O半径为r，
∴OE＝r﹣3，
∵OB2＝OE2+BE2，
∴r2＝42+（r﹣3）2，
∴r＝，
∴⊙O的半径是．
【解析】
22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．
（2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）如图所示，连接OD，
∵D为的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴OD的长是圆心O到EF的距离，
∵AB＝90cm，
∴．
（2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G．
∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，
由（1）得∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，
∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，
∴，解得OD＝6，
在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，，
∴，
∴．
【解析】