河南省南阳市内乡县高级中学2025-2026学年高一上学期开学第一次诊断性测试数学试卷（答案不全）

1113790010210800高中一年级上学期开学第一次诊断性测试数 学 试 题
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（每题5分）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.通过北师大版必修一教材页的详细介绍，我们把称为取整函数．那么“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.若关于的不等式的解集是，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. ， D. ，
5.已知函数 f(x+1) 的定义域为 [1,3] ,则 f(2x) 的定义域为（??? ）
A.?[1,2]???????????????????????????B.?[1,3]?????????????????????????C.?[2,4]????????????????????????????????????D.?[2,6]
6.已知,使是真命题,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题6分）
9.下列命题正确的是( ).
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“，”的否定是“，”
C.设，则“且”是“”的必要不充分条件
D.设，则“”是“”的必要不充分条件
10.已知，，，则下列结论成立的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知，则满足的关系有( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（每题5分）
12.设,若,则________.
13.已知集合，集合，若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为__________.
14.如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为______．
解答题
15（13分）已知集合，．
（1）若且，求实数的取值范围；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．




16（15分）已知函数满足，函数满足.
(1)求函数和的解析式；
(2)求函数的值域.



17（15分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：．
（1）设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系；
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？



18（17分）f(x)=ax2-(1-2a)x-2
（1）若对任意的x都有f(x)≥-x-3成立，求a的范围
（2）解关于x的不等式f（x）<0


19（17分）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值.
提示：基本不等式，
(1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值；
(2)求函数的最小值；
(3)当时，求函数的最小值.

1.B．2．解：若[x]＝[y]，设[x]＝[y]＝m，则x＝m+a（0≤a＜1），y＝m+b（0≤b＜1），
∴x﹣y＝a﹣b∈（﹣1，1），∴|x﹣y|＜1，
反之，令x＝1.1，y＝0.9，则满足|x﹣y|＝0.2＜1，但[x]＝1，[y]＝0，[x]≠[y]，
∴[x]＝[y]是|x﹣y|＜1的充分不必要条件．故选：A．
3．解：A＝{1，2，3，4，5}，＝{5，4，3，0}，
则A∪B＝{0，1，2，3，4，5}≠A，故A错误；A∩B＝{3，4，5}≠A，故B错误；
A﹣B＝{1，2}，故C正确；B﹣A＝{0}，故D错误．故选：C．
4．D．5．A.6.C．7.C．
35966401308108.解：函数f（x）＝的图象如图所示：

由f（x）在（﹣∞，2]上关于x＝1对称，且fmax（x）＝2，
当x∈（2，+∞）时，f（x）＝＝1﹣是增函数，
且f（x）＝＝1﹣∈（0，1），所以x1+x2＝2，x3∈（2，+∞），
所以x1+x2+x3∈（4，+∞），又f（4）＝，故f（x1+x2+x3）∈（，1）．
故选：A．
9.解：“a＞1”?“”，反之不成立，所以“a＞1”是“”的充分不必要条件，所以A正确；
命题“?x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1”，满足命题的否定形式，所以B正确；
设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”?“x2+y2≥4”，反之不成立，所以设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，所以C不正确；
设a，b∈R，则“a≠0”推不出“ab≠0”，反之成立，所以前者是后者的必要不充分条件，所以D正确；故选：ABD．
10.解：对于A，，当且仅当a＝b＝时，取等号，故A正确；对于B，，故，当且仅当a＝b＝时，取等号，故B正确；对于C，由a＞0，b＞0，a+b＝1，可知（1﹣a）+（2﹣b）＝3﹣（a+b）＝2，且1﹣a＞0，2﹣b＞0，
，
不等式取等号的条件是1﹣a＝2﹣b＝1，即a＝0，b＝1，与题设a+b＝1矛盾，故的最小值大于2，C不正确；
对于D，，故＞1，最小值大于1，故D不正确．故选：AB．
11.因为，所以==，即不满足A选项；
==，=，即满足B选项，不满足C选项，
，，即满足D选项．故选：BD
12．解：当a∈（0，1）时，f（x）＝，若f（a）＝f（a+1），可得＝2a，解得a＝，则f（a）＝f（）＝＝．
当a∈[1，+∞）时．f（x）＝，若f（a）＝f（a+1），
可得2（a﹣1）＝2a，无解．故答案为：．13.{a|a＜3}．
456374529845014.解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，在△ADF中：6＝9b2+h2≥2＝6bh，即bh≤1，
当且仅当9b2＝h2，即h＝，b＝时等号成立，
S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．故答案为：4．
15.解：（1）（﹣1，+∞）；（2）（﹣∞，﹣4]．
16.解：（1）令，即x＝1﹣2m，所以f（m）＝1﹣2m，即f（x）＝1﹣2x，
因为g（x）+2g（﹣x）＝3﹣x①，g（﹣x）+2g（x）＝3+x②，由①②解得，g（x）＝1+x．
（2）因为，令，
所以，因为t≥0，所以，
所以该函数的值域为．
17.解：(1)依题意可知每件的销售利润为（x﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x+600）件，
所以每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系为ω＝（x﹣20）（﹣10x+600）（20≤x≤60）；(2)由每月获得的利润不小于3000元，即（x﹣20）（﹣10x+600）≥3000，
即x2﹣80x+1500≤0，即（x﹣30）（x﹣50）≤0，解得30≤x≤50，
又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以30≤x≤40，
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
则p＝（24﹣20）（﹣10x+600）＝﹣40x+2400，由30≤x≤40，
得800≤p≤1200，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．
19.（1），，
知，当且仅当时，取到最小值 ；
（2）由，，
知，当且仅当时，取到最小值6 ；
（3）由，，
知；
当且仅当时，取到最小值.