2025-2026学年人教版九年级数学上册21.1 一元二次方程 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
情 境 导 入
21.1 一元二次方程
请同学们仔细观察下面图片，并列出方程.
要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
A
B
C
2m
设雕像下部高x m，依题意得方程
x2=2(2-x)
整理，得
x2+2x-4=0
新 课 探 究
21.1 一元二次方程
问题1：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形
100cm
50cm
3600cm2
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm.
根据题意得，
整理，得
（100-2x）（50-2x）=3600
x2-75x+350=0
任务一 一元二次方程的概念
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情境导入
课堂小结
问题2： 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛
x（x-1）场。
整理，得 x2-x-56=0
可列方程
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课堂小结
观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
共同特点：（1）等号两边都是整式.
（2）只含一个未知数;
（3）未知数的最高次数是2.
(1) x2+2x-4=0 (2)x2-75x+350=0 (3)x2-x-56=0
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课堂小结
像上述方程这样，等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程（必须满足三个特征）.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
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课堂小结
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
C
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
提示
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课堂小结
例2 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
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课堂小结
(2) 2x2-5xy＋6y=0
(5) x2＋2x- 3=1+x2
(1) 7x2-6x=0
解：(1)、(4)是一元二次方程
(1)二次项系数为7，一次项系数为-6，常数项为0.
(4)二次项系数为，一次项系数为0，常数项为0.
(3) 2x2 - -1 =0
－
1
3x
(4) =0
－
y2
2
下列方程哪些是一元二次方程 如果是，请写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
练一练
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课堂小结
任务二 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
【解析】
3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
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课堂小结
知识点
三角形的三边关系
1. 填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
练习
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情境导入
课堂小结
三角形的三边关系
2.关于x的方程 是一元二次方程，则（ ）
A.a ≠±3 B.a=3 C.a=-3 D.a=±3
【解析】由题意，得 且a-3≠0，
解得a=-3.
C
3. 已知方程5x +mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______．
练习
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你运用了哪些数学思想？
3.你总结了哪些学习经验？
4.还有什么感悟和思考？
21.1 一元二次方程
情境导入
课堂小结
新课探究
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) ，其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
根
使方程左右两边相等的未知数的值.
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2－3x＝x2＋2
B．ax2＋bx＋c＝0
C．3x2－＋2＝0
D．2x2＝1
D
课后练习
2．将一元二次方程x(x＋4)＝8x＋12化为一般形式，正确的是( )
A．x2＋4x＋12＝0　 B．x2＋4x－12＝0
C．x2－4x－12＝0　 D．x2－4x＋12＝0
C
3．(人教9上P4)将关于x的一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项的值分别是( )
A．5，4，1　 B．5，4，－1
C．5，－4，1　 D．5，－4，－1
D
4．(人教9上P4)下列哪些数是一元二次方程x2＋x－12＝0的根？为什么？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
解：当x＝－4时，有x2＋x－12＝(－4)2＋(－4)－12＝0；
当x＝3时，有x2＋x－12＝32＋3－12＝0．
故方程x2＋x－12＝0的根为－4或3．

5．(2024深圳模拟)已知x＝1是关于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0的一个根，则k的值为　 　．
　5　
6．填空：
(1)关于x的方程(k－1)x2－3x＋2＝0是一元二次方程，则k的取值范围是　 　；
(2)要使xk＋1＋x＋2＝0是关于x的一元二次方程，则k＝
　 　．
　1　
　k≠1　
小结：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），等式的右边为0，等式的左边的各项系数都带符号.
7．(人教9上P3、北师9上P32改编)把方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一般形式，得　 　；其中二次项系数是　 　，一次项是　 　，常数项是　 　．
　－10　
　－8x　
　3　
　3x2 －8x－10＝0　
方程 一般形式 a b c
3x2－5x＝1
(x＋2)(x－1)＝6
1
3
－8
－1
－5
1
x2＋x－8＝0
3x2－5x－1＝0
8．(人教9上P4改编、北师9上P32)把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数a、一次项系数b和常数项c：
9．(核心教材母题：人教9上P4、北师9上P35)根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x．
解：根据题意，得x(x－2)＝100，
化为一般形式，得x2－2x－100＝0．
10．(核心教材母题：人教9上P4、北师9上P35)根据下列问题列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：有一根1 m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06 m2的矩形？
解：设围成矩形的长为x m，则宽为(0.5－x)m，
根据题意，得x(0.5－x)＝0.06，
化为一般形式，得x2－0.5x＋0.06＝0．
小结：代入后使方程左右两边相等的值即为方程的根.
11．方程x2－3x－4＝0的根是( )
A．0，3　 B．1，－4
C．－1，4　 D．－2，3
C
12．(2024晋城模拟)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝2，x2＝－4，则关于y的一元二次方程a(y＋1)2＋b(y＋1)＋c＝0的解是( )
A．y1＝2，y2＝－4　 B．y1＝－1，y2＝－5
C．y1＝3，y2＝－3　 D．y1＝1，y2＝－5
D
小结：（1）先将根代回到方程中，得到一个关于所求字母的方程，再求解这个方程即可；（2）不宜直接求字母的值时，注意用整体代入法.
13．(1)(人教9上P4改编)(2024泸州一模)已知x＝1是方程x2－3x＋c＝0的一个根，则实数c的值是　 　；
(2)(2024宿迁一模)若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 024－6a＋2b的值为　 　．
　2 020 　
　2　
★14． 0.45 已知m为方程x2＋3x－10＝0的根，求m3＋2m2－13m＋10的值．
解：∵m为方程x2＋3x－10＝0的根，
∴m2＋3m－10＝0，∴m2＋3m＝10，
∴原式＝m3＋3m2－m2－3m－10m＋10
＝m(m2＋3m)－(m2＋3m)－10m＋10
＝10m－10－10m＋10＝0．
THANK YOU