2025-2026学年人教版九年级数学上册：21.2 第1课时 直接开平方法 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第1课时 直接开平方法
21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
情 境 导 入
第1课时 直接开平方法
复习回顾
1.16的平方根是______.
2.x2=25，x=_______.
3.判断：任何数都有平方根. ___.
4.一个正数有______个平方根.
5.a2+2ab+b2=_________；
a2–2ab+b2=_________.
±4
±5
×
非负数有平方根
2
(a+b)2
(a-b)2
新 课 探 究
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程
由此可得
x2=25
开平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
10×6x2=1500，
第1课时 直接开平方法
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情境导入
课堂小结
解:(1)根据平方根的意义，得x1=3, x2=-3.
(2)根据平方根的意义，得x1=x2=0.
(3)根据平方根的意义，得x2=-4,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1)x2=9 (2)x2=0 (3)x2+4=0
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课堂小结
一般的，对于可化为方程x2=p, (I)
(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根；
(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根；
(3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
【定义】利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
总结归纳
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课堂小结
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程
(1) x2=6；
(2) x2－121=0.
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=121.
直接开平方，得
x=±11，
∴x1=11, x2=－11.
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情境导入
课堂小结
对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5？
探究
在解方程x2=25时得x=±5.
由此想到：由方程(x+3)2=5 ②
得
即 ③
于是方程(x+3)2=5的两个根为
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
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课堂小结
典例精析
例2 用直接开平方法解下列方程：
(1)2x2-50=0 (2)(x+1)2=4
解：(1)2x2=50
x2=25
x=±5
x1=5，x2=-5.
(2)(x+1)2=2
x+1=±2
x1=1,x2=-3.
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课堂小结
练一练
1.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一 个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程（ ）
A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4
2.方程3x2+9=0的根为（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根
3.若8x2-16=0，则x的值是 .
D
D

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课堂小结
4. 解下列方程：
(1)x2-144＝0； (2)2x2＝200；
(3)(x＋1)2=4 .
解：x1＝12, x2＝－12；
解：x1＝10, x2＝－10；
解：x1＝1, x2＝－3.
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
第1课时 直接开平方法
情境导入
课堂小结
新课探究
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
1．解方程：
(1)x2＝9； (2)4x2＝8．
(1)x＝±3
(2)x＝±
课后练习
2．解方程：(2x＋3)2＝25．
x1＝1，x2＝－4
小结：将方程化为x2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
4．【例1】(人教9上P5)解方程：
(1)x2＝25； (2)x2－7＝0．
解：(1)x2＝25，所以x1＝5，x2＝－5．
(2)x2＝7，所以x1＝，x2＝－．
5．解方程：
(1)x2＝36； (2)x2－8＝0．
(2)x＝±2
(1)x＝±6
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求解.
6．【例2】(人教9上P6)解方程：
(1)9x2＝4； (2)(2024柳州一模)2x2－8＝0．
解：(1)x2＝，所以x1＝，x2＝－．
(2)2x2＝8，x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．
小结：（1）中化为（mx+n）2=p（p≥0）的形式；（2）中这类等号两边均为含平方的多项式的形式，直接开平方后，不要随意去括号.
7．【例4】解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0； (2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(1)(2x－3)2＝9，所以2x－3＝±3，
所以x1＝3，x2＝0．
(2)2x－1＝±(x－3)，所以x1＝－2，x2＝．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
8．(人教9上P6、北师9上P36改编)解方程：
(1)(x－2)2＝4； (2)(x＋6)2－9＝0．
解：(1)(x－2)2＝4，所以x－2＝±2，
所以x1＝4，x2＝0．
(2)(x＋6)2＝9，所以x＋6＝±3，
所以x1＝－3，x2＝－9．
9．解方程：
(1)4x2－20＝0； (2)x2－18＝0．
(2)x＝±6
(1)x＝±
10．(人教9上P6)解方程：
(1)(2－x)2＝8； (2)3(x－1)2－6＝0．
(1)x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)x1＝1＋，x2＝1－
11．解方程：
(1)2(2x－1)2－50＝0；(2)(2x＋3)2＝(3x＋2)2．
解：(1)2(2x－1)2＝50，(2x－1)2＝25，
2x－1＝5或2x－1＝－5，
解得x1＝3，x2＝－2．
(2)开方得2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝－3x－2，解得x1＝1，x2＝－1．
★12． 0.50 (2024杭州一模改编)已知一元二次方程(x－2)2＝3的两根为a，b，则2a＋b的值为
　 　．
6＋或6－
THANK YOU