2025-2026学年人教版九年级数学上册 21.2 第4课时 用公式法解一元二次方程 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第4课时 用公式法解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
情 境 导 入
第4课时
用公式法解一元二次方程
用配方法解下列方程：2x2+4x+1=0.
解：移项，得 2x2+4x=-1
二次项系数化为1，得 x2+2x=-
配方，得 x2+2x+1=- +1
即 (x+1)2=
开方，得 x+1= ,x+1=-
∴x1= -1,x2=- -1.
复习回顾
新 课 探 究
探究
用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
方程两边都除以a，得
移项，得
配方，得
即
问题：接下来能用直接开平方解吗？
第4课时
用公式法解一元二次方程
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情境导入
课堂小结
即
一元二次方程的求根公式
∵a ≠0,4a2>0，
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情境导入
课堂小结
∵a ≠0,4a2>0，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
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课堂小结
的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
直接利用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法.
当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)的实数根可写为
归纳
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解：a=1，b=-4，c=-7
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)
=44>0
典例精析
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知
(3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x.
解：方程化为5x2-4x-1=0
a=5，b=-4，c=-1
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
=36>0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=1，b=-8，c=17
Δ= b2－4ac
=(-8)2-4×1×17
=-4＜0
方程无实数根
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总结归纳
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: △=b2-4ac的值;
4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
公式法解方程的步骤
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练习
1.利用公式法解下列一元二次方程
(1)x2-3x-1=0
(2)2x2+x-6=0
(3)x2+4=3x
(4)5x2-3x=x+1
(5)x2-6x+13=4
原方程无实根
x1=x2=3
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课堂小结
2.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
∴b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
∴△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
第4课时
用公式法解一元二次方程
情境导入
课堂小结
新课探究
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
1．用公式法解下列一元二次方程：
(1)x2－x－2＝0．
解：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
b2－4ac＝　 　＝　 　＞0．
x＝＝ 　＝ 　，
即x1＝　 　，x2＝　 　．
　－1　
　2　
　
　
　9　
　 (-1)2 －4×1×(－2)　
　－2　
　－1　
　1　
课后练习
(2)2x2－4x＋2＝0．
解：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
b2－4ac＝　 　＝　 　．
x＝＝ 　，
即x1＝x2＝　 　．
　1　

　0　
　(－4) 2 －4×2×2　
　2　
　－4　
　2　
2．用公式法解下列一元二次方程：
(1)(2024重庆模拟)x2－5x＋1＝0；
解：(1)a＝1，b＝－5，c＝1，
b2－4ac＝(－5)2－4×1×1＝21＞0，
x＝，
即x1＝，x2＝．
(2)x2－3x＋4＝0．
解：(2)a＝1，b＝－3，c＝4，
b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝2＞0，
x＝，
即x1＝2，x2＝．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
小结：确定各项系数a，b，c的值时，不要漏掉前面的符号.
4．【例2】(北师9上P43)(2024鞍山模拟)用公式法解方程：2x2－4x－1＝0．
解：a＝2，b＝－4，c＝－1，b2－4ac＝24＞0，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，用求根公式求解.
5．【例3】用公式法解方程：(x－2)2＝x－3．
解：整理，得　 　．
a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
b2－4ac＝　 　＝　 　＜0．
故方程　 　实数根．
　无　
　－3　
　(－5)2－4×1×7　
　7　
　－5　
　1　
　x2－5x＋7＝0　
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
6．【例4】(创新题)某数学小组对关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0提出了问题：若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
解：存在．若使方程为一元二次方程，则m＋1≠0，即m≠－1，且m2＋2＝2，即m2＝0，m＝0，∴m＝0，当m＝0时，方程变为x2－2x－1＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，
∴x＝＝1±，∴x1＝1＋，x2＝1－．
因此，该方程是一元二次方程时，m＝0，两根为x1＝1＋，x2＝1－．
7．(人教9上P12、北师9上P56改编)用公式法解方程：x2－x－＝0．
x＝
8．(人教9上P25)用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
★10． 若a2＋5ab－b2＝0(ab≠0)，求的值．
解：∵a2＋5ab－b2＝0，∴－1＝0，
令t＝，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝，
∴的值为．
0.50
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