2025-2026学年人教版九年级数学上册 21.2 第5课时 因式分解法 课件 (共31张PPT)

(共31张PPT)
第5课时 因式分解法
第二十一章 一元二次方程
情 境 导 入
第5课时 因式分解法
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
直接开平方法
配方法
公式法
复习回顾
新 课 探 究
1.把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫作把这个多项式__________.
2.因式分解常用的方法有____________________.
3.将下列各式分解因式：
(1) 7x2-28x (2) 2(a-3)2-a+3 (3) (y+3)2-(3y-3)2
因式分解
提公因式法、
公式法
解：(1)原式=7x(x-4)
(2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7)
(3)原式=[(y+3)+(3y-3)][(y+3)-(3y-3)]
=(y+3+3y-3)(y+3-3y+3)=4y(6-2y)=8y(3-y)
第5课时 因式分解法
新课探究
情境导入
课堂小结
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2.
问题：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.
10x-4.9x2=0
①
新课探究
情境导入
课堂小结
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
方程①的右边为0，左边可以因式分解,得
　　　 x(10-4.9x)=0.
怎么解上面这个一元二次方程呢？
如果ab=0，那么a=0，或b=0.
x=0,或10-4.9x=0 ②
所以，方程①的两个根是 x1=0，x2=
这两个根中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
思考
新课探究
情境导入
课堂小结
这种解法是如何使二次方程降为一次的？
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
思考
新课探究
情境导入
课堂小结
典例精析
例1 用因式分解法解下列方程：
(1)x(x-2)+x-2=0； (2)5x2-2x- =x2-2x+
解：（1）因式分解，得
于是得
x-2=0，或x＋1=0,
x1=2，x2=-1.
（2）移项、合并同类项，得
因式分解，得
(2x+1)(2x-1)=0.
于是得
2x＋1=0，或2x-1=0，
(x-2)(x＋1)=0.
4x2-1=0
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情境导入
课堂小结
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
∴ x 1= 0 , x2=
分析：该式左右两边可以提取公因式，
所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
典例精析
新课探究
情境导入
课堂小结
总结归纳
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.
新课探究
情境导入
课堂小结
解： 因式分解，得
（1） x2+x=0
x ( x+1 ) = 0.
于是得 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0 , x2=－1.
解：因式分解，得
（2）x2- 2x=0
x（x-2）=0
于是得 x=0 或 x-2 =0
x1=0，x2=2
1.解下列方程：
练习
新课探究
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课堂小结
解：将方程化为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
于是得 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－11 ) = 0.
于是得 2x + 11 = 0 或 2x－ 11 = 0，
x1=-5.5 ， x2=5.5 .
（3）
（4）
新课探究
情境导入
课堂小结
解：将方程化为
因式分解，得
6x2 － x －2 = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
解：将方程化为
因式分解，得
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
x1= ， x2=-
（5）
（6）
新课探究
情境导入
课堂小结
2.用合适的方法法解下列一元二次方程.
(1)(5x)2-9=16；
(2)x2+4x+5=2；
(3)2x2-3x-2=0；
(4)(x-2)(x-3)=12；
(1)x1=1， x2=-1.
(2)x1=-1，x2=-3.
(3)x1=2， x2=-0.5.
(4)x1=-1，x2=6.
新课探究
情境导入
课堂小结
十字相乘法
拓展提升
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
整式的乘法
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.
新课探究
情境导入
课堂小结
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
解方程：x2+5x-6=0.
解：因式分解得
(x+6)(x-1)=0.
∴x+6=0,或x-1=0.
∴x1=-6,x2=1.
新课探究
情境导入
课堂小结
总结归纳
解法选择基本思路：
1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0( ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也比较简单.
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
第5课时 因式分解法
情境导入
课堂小结
新课探究
平方差公式
因式分解法
通过因式分解实现降次来解一元二次方程
提公因式法
公式法
十字相乘法
完全平方公式
1．把下列各式进行因式分解：
(1)x2－2x＝　 　；
(2)(x－2)2＋3(x－2)＝　 　；
(3)x2－4＝　 　；
(4)x2－6x＋9＝　 　．
　(x－3)2　
　(x＋2)(x－2)　
　(x－2)(x＋1)　
　x(x－2)　
课后练习
2．填空与选择：
(1)解方程：(x＋1)(x－2)＝0．
解：(x＋1)(x－2)＝0，
则有　 　＝0或　 　＝0，
x1＝　 　，x2＝　 　．
(2)方程x(x－1)＝0的解是( )
A．x＝1　 B．x＝0
C．x1＝1，x2＝0　 D．没有实数根
C
　2　
　－1　
　x－2　
　x＋1 　
3．填空与选择：
(1)(2024柳州一模)解方程：x2－4x＝0．
解：因式分解，得　 　＝0，
则有　 　＝0或　 　＝0，
x1＝　 　，x2＝　 　．
(2)方程x2＝－5x的适当解法是( )
A．直接开平方法 B．配方法
C．因式分解法 D．公式法
(3)(2024常州模拟)方程x(x－1)＝x的解是　 　．
　x1＝0，x2＝2　
C
　4　
　0　
　x－4　
　x　
　x(x－4)　
小结：解没有常数项的一元二次方程，首选因式分解法.
4．【例1】(人教9上P14改编)解方程：5x2－2x＝0．
解：x(5x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝．
5．【例2】(人教9上P14、北师9上P47改编)解方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
解：(1)(x－2)(x＋1)＝0，
所以x1＝2，x2＝－1．
(2)(x＋3)2＝3(x＋3)．
解：(2)(x＋3)(x＋3－3)＝0，即x(x＋3)＝0，
所以x1＝0，x2＝－3．
小结：公因式也可以是一个多项式，注意符号.
6．【例3】解方程：(拓展)
(1)x2＋3x－4＝0；
解：(1)(x＋4)(x－1)＝0，
所以x1＝－4，x2＝1．
(2)(北师9上P48)(x－2)(x－3)＝12．
解：(2)x2－5x＋6＝12，即x2－5x－6＝0，
(x－6)(x＋1)＝0，所以x1＝6，x2＝－1．
小结：解形如x2+（a+b）x+ab=0的一元二次方程，可将其左边因式分解，化为（x+a）（x+b）=0的形式.
小结：方程的根和三角形边长相结合的时候注意分类讨论，并验证是否符合题意.
7．【例4】三角形的两边长分别为3和6，第三边长为方程x2－7x＋10＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：方程x2－7x＋10＝0，
可化为(x－2)(x－5)＝0，解得x＝2或5，
∴第三边长为2或5．
∵边长为2，3，6不能构成三角形，
而3，5，6能构成三角形，
∴三角形的周长为3＋5＋6＝14．
8．(北师9上P47)解方程：5x2＝4x．
x1＝0，x2＝
9．(人教9上P14改编、北师9上P47改编)解方程：
(1)(2x－3)2－2x＋3＝0；
(1)x1＝2，x2＝
(2)4(2x－1)2＝8x－4．
(2)x1＝1，x2＝
10．解方程：(拓展)
(1)(2023广州)x2－6x＋5＝0；
(1)x1＝1，x2＝5
(2)(2x－1)2－2(2x－1)－3＝0．
(2)x1＝0，x2＝2
★11． 0.55 方程x2－mx＋m＋1＝0的一个根为x＝2．
(1)求m的值及另一根；
(2)若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
解：(1)∵方程x2－mx＋m＋1＝0的一个根为x＝2，
∴22－2m＋m＋1＝0，∴m＝5，
∴一元二次方程为x2－5x＋6＝0，
解得x＝2或x＝3，
∴m＝5，方程的另一根为x＝3．
(2)当等腰三角形的三边长为2，2，3时，周长为7；
当等腰三角形的三边长为2，3，3时，周长为8．
THANK YOU