2025-2026学年人教版九年级数学上册 21.2 第6课时 一元二次方程的根与系数的关系 课件（31张ppt）

第6课时 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
情 境 导 入
第6课时
一元二次方程的根与系数的关系
从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0 ?
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2. ?
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1+x2=-p，x1x2=q.
思考
情 境 导 入
算一算 解下列方程并完成填空：
(1)x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元二次方程
两 根
关 系
x1
x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
想一想 方程 的两根x1和x2与系数a,b,c
有什么关系？
-4
1
2
3
-1
x1+x2=-3
x1 · x2=-4
x1+x2=5
x1 · x2=6
x1 · x2=12
?
新 课 探 究
第6课时
一元二次方程的根与系数的关系
根据求根公式可知，
由此可得
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
=?????????
?
=?????????
?
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方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
总结归纳
注意：满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
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韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.
????历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.
韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.
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例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积.
(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，
　　　　　
注意：(1)不是一般式的，要化成一般式.
(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0.
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例5 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1+x2=1+x2=6，
即：x2=5.
由于x1x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
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三角形的三边关系
1.不解方程，求下列方程两根的和与积：
(1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x
(3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1
?
练习
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三角形的三边关系
练习
2.方程 x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的两个实数根 x1，x2 满足x12＋x22＝4，则k的值为________．
k＝1
解析：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
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三角形的三边关系
练习
解：(1)∵一元二次方程 ，
∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根.
3．已知关于的一元二次方程 ．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且 x1-x2=2，求a的值．
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练习
3．已知关于的一元二次方程 ．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且 x1-x2=2，求a的值．
(2)依题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
(3a+1)(a-1)=0，
解得 ， .
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
第6课时
一元二次方程的根与系数的关系
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根与系数的关系
（韦达定理）
内容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
应用
1．(1)若x1，x2是关于x的一元二次方程2x2－6x－1＝0的两个实数根，则
a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．?
x1＋x2＝－ba＝　 　；?
x1·x2＝? 　＝　 　．?
?
?
　3　
　－1　
　－6　
　2　
－12
?
ca
?
课后练习
(3)(2024江西模拟)设x1，x2是关于x的方程x2－12x＋1＝0的两个根，则x1＋x2－x1x2＝　 　．
(2)(2023天津)若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则( )
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
C．x1x2＝76 D．x1x2＝7
?
　11　
A
答：k的值为　 　，方程的另一个根为　 　．?
　－3　
1＋x2＝－k,1·x2＝　?????　,
解得k＝　????　,x2＝　?????　．
?
　2　
2．已知关于x的方程x2＋kx－3＝0，若该方程的一个根为1，求k的值及方程的另一个根．
解：设方程的另一个根为x2，则
－3
?
2
?
－3
?
3．(人教9上P15改编)如果关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么
x1＋x2＝　 　，x1·x2＝　 　．?
请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若x1，x2是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2＝　 　，x1·x2＝　 　；?
(2)若2和3是方程x2＋px＋q＝0的两根，则
p＝　 　，q＝　 　．?
　6　
　－5　
　－3　
　2　
　q　
小结：直接运用公式，注意符号的正确性.
　－p 　
(2)若方程x2－x－4＝0的两个实数根为α，β，则α＋β＝
　 　，α·β＝　 　，?
(α＋1)(β＋1)＝　 　；?
(3)若3和5是方程x2＋px＋q＝0的两根，则p＝　 　，
q＝　 　．?
　15　
　－8　
　－2　
　－4 　
　1　
4．【例2】若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为4和5，则这个方程为　 　．?
　x2－9x＋20＝0 　
5．【例3】若一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，则
1x1＋1x2的值是? 　．
?
小结：对所求式子变形，使其与x1+x2，x1x2有关.
12
?
小结：解决这类问题有两种方法：（1）把已知的根代入方程求出字母的值，得到一元二次方程，解这个方程；（2）设方程的另一个根，根据根与系数的关系列出方程组求解.
6．(北师9上P51改编)关于x的一元二次方程2x2＋ax－4＝0的一个根是1，则a的值为　 　，该方程的另一个根为　 　．?
　－2　
　2　
7．(2024襄阳)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
解：(1)Δ＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k＞0，解得k＞2．
(2)∵方程的两个根为α，β，
∴αβ＝3－k，∴k2＝3－k＋3k，
解得k1＝3，k2＝－1(不合题意，舍去)，
∴k的值为3．
小结：先求出αβ，再代入已知关系式，解方程求字母的值，特别要注意字母k的取值范围.
8．(1)(人教9上P16、北师9上P50改编)已知关于x的一元二次方程x2－3x＝15的两实数根为x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．3　 B．－3 C．1　 D．－1
A
9．若某一元二次方程的两根为－3和6，写出一个满足题意的方程为　 　．
　x2－3x－18＝0(答案不唯一)　
10．若方程x2－x－3＝0的两个实数根为α，β，则α2＋β2＝
　 　．?
　7 　
??
?

11．关于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有两根，其中一根为x＝1，则m的值为　 　，这两根的积为　 　，该方程的另一个根为　 　．?
－13
?
　－1　
－13
?
★12． 0.50 (2024泸州一模)已知关于x的方程x2－(m＋3)x＋3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若两根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝19，求m的值．
?
(1)证明：∵Δ＝［－(m＋3)］2－4×3m
＝m2－6m＋9＝(m－3)2，
∵(m－3)2≥0，∴Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根．
(2)解：∵x1＋x2＝m＋3，x1·x2＝3m，x12＋x22－x1x2＝19，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝19，
∴(m＋3)2－3×3m＝19，
整理得m2－3m－10＝0，解得m＝5或m＝－2．
?
THANK YOU