2024-2025学年山东省淄博市淄川区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市淄川区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）．
1．（4分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
2．（4分）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．（4分）如图，直线a∥b，c，d是截线且交于点A，若∠1＝60°，∠2＝100°，则∠A＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（4分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（4分）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（　　）
A．38° B．39° C．40° D．44°
7．（4分）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
8．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（4分）如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2两点之间的距离可能是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．7
10．（4分）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．6
11．（4分）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　）
A．87° B．84° C．75° D．72°
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，面积标记为S1，以CD为底边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，面积标记为S2，…，按此规律继续作下去，则Sn的值为（　　）
A． B． C．2n﹣3 D．2n﹣2
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）．
13．等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角的度数为 　 　 ．
14．请列举三个最简单的轴对称图形：　 　 ．
15．如图，△ABC≌△DEF，FA＝1，AC＝3，则AD＝　 　 ．
16．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠MCD＝　 　 °．
17．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为 　 　 ．
18．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD．请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积为　 　 ．
19．如图，已知△ABC的面积为8，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，则△ADC的面积是 　 　 ．
20．如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为　 　 ．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）．
21．（1）画出图中三角形的三条高．
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．结合图形，请你写出至少6个正确的结论．
（3）利用一个点、一条线段、一个正三角形、一个正方形设计一个轴对称图形，并说明你希望表达的含义．
22．（1）如图，已知△ABC≌△A1B1C1，D，D1分别是BC，B1C1上的点，且BD＝B1D1．AD与A1D1相等吗？为什么？
（2）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．试说明：BE+DE＝AC．
（3）如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C＝3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，点D，E在BC上．
①求∠ADE的度数；
②写出图中所有的等腰三角形．
23．一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
24．在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A可以摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小球从OA摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝24cm，OA＝OB＝OC＝30cm．
（1）试说明OE＝BD；
（2）求AD的长．
25．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）请求出何时△PBQ是直角三角形？
2024-2025学年山东省淄博市淄川区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C A B D B B D B C A
题号 12
答案 A
1．解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项正确，符合题意；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意；
C、42+62≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意；
D、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误，不符合题意．
故选：A．
2．解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故A不符合题意；
B、钝角三角形，三条高线交于三角形的外部，故B不符合题意；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，故C符合题意；
D、能确定C正确，故D不符合题意．
故选：C．
3．解法一：如图，∵∠2是△ABC的外角，
∴∠A＝∠2﹣∠1＝100°﹣60°＝40°，
故选：A．
解法二：如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝60°，∠2＝∠4＝100°，
∴∠5＝180°﹣∠4＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠5＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
故选：A．
4．解：作PE⊥OA于E，如图，
∵CP∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°，
在Rt△EPC中，PEPC4＝2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD＝PE＝2．
故选：B．
5．解：选项A中：（a+b）（a+b）ab×2c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项A不符合题意；
选项B中：（a+b）2ab×4+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项B不符合题意；
选项C中：cab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；
选项D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D符合题意；
故选：D．
6．解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD∠ACB，
∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣54°﹣48°＝78°，
∴∠BCD＝39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°，
故选：B．
7．解：如图，设大树高为AB＝10m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC10m，
故选：B．
8．解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．
9．解：如图，连接OP1，OP2，根据对称性可得：OP1＝OP2＝OP＝3，
由条件可知P1P2＜6，
在△OP1P2中，
∵∠P1OP2最大，
∴P1P2＞OP1＝3，
即3＜P1P2＜6，选项中只有B选项符合条件．
故选：B．
10．解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝2，QD＝1.5，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5，
∴QD＝DQ′＝1.5，
∴CQ′＝BP＝2，
∴AP＝AQ′＝5，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5，
∴PE+QE的最小值为5．
故选：C．
11．解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
12．解：如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：，，，，…，
∴．
故选：A．
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）．
13．解：当50°的内角是等腰三角形的底角时，
它的顶角的度数为：180°﹣50°﹣50°＝80°；
当50°的内角是等腰三角形的顶角时，
它的底角的度数为：，符合要求；
故答案为：80°或50°．
14．解：最简单的轴对称图形是等腰三角形，角和线段，
故答案为：等腰三角形，角和线段（答案不唯一）．
15．解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴AD＝FC，
∵FA＝1，AC＝3，
∴AD＝FC＝AC﹣FA＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
16．解：由三角形内角和定理可得：
∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA
＝180°﹣45°﹣75°
＝60°，
∵CM是∠ACB的平分线，
∴，
∴∠CMD＝180°﹣∠AMC
＝180°﹣（1800﹣∠CAB﹣∠ACM）
＝∠CAB+∠ACM
＝45°+30°
＝75°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDM＝90°，
∴∠MCD＝90°﹣75°＝15°，
故答案为：15．
17．解：设AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+32＝（10﹣x）2．
18．解：∵AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠AGB＝90°．
∵∠EAF+∠BAG+∠BAE＝180°，
∴∠EAF+∠BAG＝90°．
∵∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG．
在△EFA和△AGB中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS），
∴AF＝BG＝3，EF＝AG＝6．
∵BC⊥CD，BG⊥FH，DH⊥FH，
∴∠BGC＝∠BCD＝∠CHD＝90°，
∵∠BCG+∠BCD+∠HCD＝180°，
∴∠BCG+∠HCD＝90°．
∵∠CDH+∠HCD＝90°，
∴∠BCG＝∠CDH．
在△BGC和△CHD中，
，
∴△BGC≌△CHD（AAS），
∴BG＝CH＝3，GC＝HD＝4，
则FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16．
∵EF⊥FH，DH⊥FH，
∴梯形EFDH的面积为：．
∴阴影部分面积为：
梯形EFHD的面积﹣S△EFA﹣S△AGB﹣S△BGC﹣S△CHD
，
＝80﹣9﹣9﹣6﹣6
＝50，
故答案为：50．
19．解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADCS△ABC8＝4，
故答案为：4
20．解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，
∴FG是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
设AF＝FC＝x，
在Rt△ABF中，有勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
即CF＝5，BF＝8﹣5＝3，
∴△ABF的面积为3×4＝6，
故答案为：6．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）．
21．解：（1）如图：
（2）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD是中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，△ADB≌△ADC（SAS），，
故正确结论为：BD＝DC，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，△ADB≌△ADC，（答案不唯一）；
（3）如图：
表示一个台灯．
22．解：（1）AD与A1D1相等，理由如下：
∵△ABC≌△A1B1C1，
∴AB＝A1B1，∠B＝∠B1，
在△ABD和△A1B1D1中，
，
∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），
∴AD＝A1D1；
（2）BE+DE＝AC，理由如下：
由条件可知AE＝BE，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CE，
∴BE+DE＝AE+CE，
即BE+DE＝AC；
（3）①由条件可知∠BAC＝108°，∠B＝36°，∠C＝36°，
∵AD，AE将∠BAC三等分，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝72°；
②由条件可知∠ADE＝∠AED＝∠BAE＝∠CAD＝72°，
∴AD＝BD，AD＝AE，AE＝CE，AB＝AC，AB＝BE，AC＝CD，
∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形．
23．解：（1）由题意，得AB2＝AC2+BC2，得
AC24（米）．
（2）由A′B′2＝A′C2+CB′2，得
B′C15（米）．
∴BB′＝B′C﹣BC＝15﹣7＝8（米）．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
24．解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD＝24cm，
∵OA＝30cm，
∴AD＝OA﹣OD＝30﹣24＝6（cm）．
25．解：（1）不变，∠CMQ＝60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
∴AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°；
（2）设时间为t秒，则AP＝BQ＝tcm，PB＝（4﹣t）cm，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，即4﹣t＝2t，t，
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t，
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
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