2024-2025学年山东省淄博市沂源县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市沂源县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）下列各式，，，中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（4分）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．6x2y3＝2x2 3y3 B．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1 D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6
3．（4分）已知一组数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1，则这组数据的众数是（　　）
A．﹣3 B．5 C．﹣3和5 D．1和3
4．（4分）下列因式分解中，正确的是（　　）
A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
B．ax+ay+a＝a（x+y）
C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
D．4x2+9＝（2x+3）2
5．（4分）如图是我市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法错误的是（　　）
A．最大值与最小值的差是10
B．中位数是24
C．众数是28
D．平均数是
6．（4分）计算210+（﹣2）11的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．210 D．﹣210
7．（4分）若x﹣y＝2xy，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．﹣2
8．（4分）如果将一组数据中的每个数都减去25，那么所得的一组新数据（　　）
A．众数改变，方差改变
B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变
D．中位数不变，平均数不变
9．（4分）“五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为x人，则可得方程（　　）
A．2 B．3
C．3 D．3
10．（4分）分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　）
A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2
C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果。
11．（4分）因式分解x2﹣3x﹣10＝　 　 ．
12．（4分）多项式x2﹣4和x2+4x+4的公因式是　 　 ．
13．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　 　 ．
14．（4分）计算93﹣8×92的结果是　 　 ．
15．（4分）若分式方程4的解为整数，则整数a＝　 　 ．
三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（16分）因式分解
（1）（m+n）2﹣n2；
（2）x3y2+2x2y+x；
（3）x（a﹣b）+y（b﹣a）；
（4）81a4﹣72a2b2+16b4．
17．（15分）计算
（1）；
（2）；
（3）．
18．（8分）解分式方程：
19．（8分）甲乙两支篮球队进行了5场比赛，比赛成绩绘制成了统计图（如图）．
（1）请根据统计图填写表
平均数 中位数 方差
甲
乙 90 87 70.8
（2）如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，从平均分、方差以及获胜场数这三个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？
20．（9分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．
平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率
一班 7.2 2.11 7 6 92.5% 20%
二班 6.85 4.28 8 8 85% 10%
根据图表信息，回答问题：
（1）用方差推断，　 　 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，　 　 班的阅读水平更好些；
（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？
21．（10分）某地修筑水渠，某工程队出色地完成了任务．这是记者与工程队总指挥的一段对话：
——你们是用9天完成4800米长的水渠任务的？
——是的，我们修筑600米后，采用新的修筑模式，这样每天修筑长度是原来的2倍．
求工程队原来每天修筑水渠多少米？
22．（12分）【阅读材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
（1）因式分解：4+5（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
23．（12分）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：22 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；
再如：．
解决下列问题：
（1）分式是 　 　 分式（填“真”或“假”）；
（2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求m2+n2+mn的最小值．
2024-2025学年山东省淄博市沂源县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C B D D C D B
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．解：分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
符合分式的定义，是分式，符合题意；
分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
即属于分式的有1个，
故选：A．
2．解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：∵数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1，
∴1+0﹣3+5+x+2﹣3＝7×1，
解得x＝5，
则这组数据为1，0，﹣3，5，5，2，﹣3，
∴这组数据的众数为﹣3和5，
故选：C．
4．解：A、x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y），选项错误，不符合题意；
B、ax+ay+a＝a（x+y+1），选项错误，不符合题意；
C、a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b），选项正确，符合题意；
D、4x2+9无法分解因式，选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．解：求出最大值与最小值的差，中位数，众数，平均数分析如下：
A、由图可知，这7日最高温度为30℃，最低温度为20℃，
∴最大值与最小值的差是30﹣20＝10（℃），故A正确，不符合题意；
B、将这7天的温度按大小排序为：20℃，22℃，24℃，26℃，28℃，28℃，30℃，
∴中位数为26℃，故B不正确，符合题意；
C、∵28℃出现了2次，出现次数最多，
∴众数为28℃，故C正确，不符合题意；
D、，故D正确，不符合题意；
故选：B．
6．解：210+（﹣2）11
＝210﹣211
＝210﹣210×2
＝210×（1﹣2）
＝﹣210，
故选：D．
7．解：∵x﹣y＝2xy，即y﹣x＝﹣2xy，
∴2．
故选：D．
8．解：如果将一组数据中的每个数都减去25，
易得，所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少25，
而根据方差公式s[（x1）2+…+（xn）2]可知，每个数和平均数的差不变，方差不变，
故选：C．
9．解：设参加游玩的同学为x人，
根据题意得：3．
故选：D．
10．解：去分母得：2＝x﹣1﹣m，
解得：x＝m+3，
由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1，
则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果。
11．解：利用十字相乘法因式分解可得：
x2﹣3x﹣10＝（x﹣2）（x+5）．
故答案为：（x﹣2）（x+5）．
12．解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），x2+4x+4＝（x+2）2，
∴两个多项式的公因式是x+2．
故答案为：x+2．
13．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
14．解：原式＝92×9﹣8×92
＝92×（9﹣8）
＝92×1
＝81．
故答案为：81．
15．解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），
整理得﹣2ax＝﹣4，
整理得ax＝2，
∵x，a为整数，
∴a＝±1或a＝±2，
∵x＝±1为增根，
∴a≠±2，
∴a＝±1．
故答案为：±1．
三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16．解：（1）（m+n）2﹣n2
＝[（m+n）+n][（m+n）﹣n]
＝m（m+2n）；
（2）x3y2+2x2y+x
＝x（x2y2+2xy+1）
＝x（xy+1）2；
（3）原式＝x（a﹣b）﹣y（a﹣b）
＝（a﹣b）（x﹣y）；
（4）原式＝（9a2﹣4b2）2
＝（3a+2b）2（3a﹣2b）2．
17．解：（1）
；
（2）原式
；
（3）原式
．
18．解：原方程可化为，
方程两边同乘以（2﹣x），得
x﹣1＝1﹣2（2﹣x），
解得：x＝2．
检验：当x＝2时，原分式方程的分母2﹣x＝0．
∴x＝2是增根，原分式方程无解．
19．（1）
平均数 中位数 方差
甲 90 91 28.4
乙 90 87 70.8
（2）甲乙两队平均数相同，甲队胜3场，乙队胜2场，甲队成绩较好，甲队方差小，乙队方差大，说明甲队成绩稳定，因此选派甲球队参赛更能取得好成绩．
20．解：（1）从方差看，二班成绩波动较大，从众数、中位数上看，一班的成绩较好，
故答案为：二，一．
（2）乙同学的说法较合理，众数和中位数是反映一组数据集中发展趋势和集中水平，由于二班的众数、中位数都比一班的要好．
21．解：设原来每天修筑x米，根据题意得，
，
整理得，18x＝5400，
解得；x＝300，
经检验：x＝300是原方程的根．
所以工程队原来每天修筑水渠300米，
答：工程队原来每天修筑水渠300米．
22．（1）解：设x﹣y＝A，
原式＝4+5A+A2
＝（A+1）（A+1）
＝（x﹣y+4）[（x﹣y）+1]
＝（4+x﹣y）（1+x﹣y）．
（2）解：设a+b＝B，
原式＝B（B﹣4）+4
＝B2﹣4B+4
＝（B﹣2）2
＝（a+b）2﹣4（a+b）+4
＝[（a+b）﹣2]2
＝（a+b﹣2）2；
（3）证明：原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1
设n2+3n＝C，
（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（C+2）C+1
＝C2+2C+1
＝（C+1）2
＝（n2+3n+1）2．
∴代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
23．解：（1）由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，
∴分式是假分式．
故答案为：假．
（2）由题意得，2，
又∵的值为整数，
∴x+1＝±1．
∴x＝0或x＝﹣2．
（3）由题意得，5x﹣1，
∴5x﹣1＝5m﹣11，﹣x﹣2＝n﹣6．
∴m＝x+2，n＝﹣x+4．
∴m2+n2+mn＝（x+2）2+（﹣x+4）2+（x+2）（﹣x+4）
＝x2+4x+4+x2﹣8x+16﹣x2+2x+8
＝x2﹣2x+28
＝（x﹣1）2+27．
∴当x＝1时，m2+n2+mn取最小值为27．
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