人教A版高中数学必修第二册基础练习作业-第八章8.4.1 平面（含解析）

第八章8.4.1 平面
一、单选题
1.两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.给出以下结论，其中正确的个数是( )
①在空间中，若四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
②如果直线平面，直线平面，，，，，则．
③已知三个平面，，两两相交，并且它们的交线仅交于一点，那么平面，，可将空间分成八部分．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
3.给出下列四个说法，其中正确的是( )
A. 线段在平面内，则直线不在平面内
B. 三条平行直线共面
C. 两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点
D. 空间三点确定一个平面
4.已知，是两个平面，，是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
5.三个平面，，两两均相交，则这三个平面的交线总共可能有( )条．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3
6.下列各图是正方体或正四面体，，，，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
A. B. C. D.
二、多选题
7.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是( )
A. ，，三点共线 B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面
8.如图，正方体中，若，，分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则( )
A. ，，，四点共面 B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面
9.下列说法错误的是( )
A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线
B. 若点，，，共面，点，，，共面，则点，，，，共面
C. 若直线，共面，直线，共面，则直线，共面
D. 依次首尾相接的四条线段共面
三、填空题
10.在正方体中，设平面，则，，三点的关系为______．(填“共线”或“不共线”)
11.在如图所示的正方体中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是______．(把正确图形的序号都填上)
12.在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱的中点，在棱上，满足，在棱上，满足，，，四点共面，则的值为______．
四、解答题
13.如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面．
(1) 设为棱的中点，证明：，，，四点共面；
(2) 若，求六面体的体积．
14.如图，在直角梯形中，，，是直角梯形所在平面外一点，画出平面和平面的交线．
15.如图所示，是正方体的棱的延长线上一点，，分别是棱，的中点，试分别画出过下列各点和直线的平面与正方体表面的交线。
(1) 过点及；
(2) 过三点，，。
一、单选题
1.答案：B
解析：由题意，当直线与平面所成的角相等时，两条直线可能平行、相交或异面，则充分性不成立。举例如图，
圆锥母线与底面所成角相等。当两条直线平行时，此时与平面所成的角相等的，必要性成立，所以两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的必要不充分条件。 故选：B。
2.答案：B
解析：①错误，平行四边形四个顶点中，任意三点不共线，但这四点共面；②直线即直线，因为，，，，所以，，所以正确；③正确，如墙角。
3.答案：C
解析：对于A，线段在平面内，则直线一定在平面内，故A错误；对于B，三条平行直线不一定共面，比如正方体中，三条平行线，，不共面，故B错误；对于C，两平面有一个公共点，则这两平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C正确；对于D，空间中不共面的三点确定一个平面，故D错误。
4.答案：B
解析：对于A，若，，，则与相交或平行，故A错误；对于B，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。若，，则，又，则，故B正确；对于C，若，，，则与相交或或，故C错误；对于D，若，，则或，故D错误。 故选：B。
5.答案：D
解析：当三个平面交于一条直线时，交线的条数是1，当三个平面两两相交，交线不重合时，有3条交线，综上：可知空间中三个平面两两相交交线的条数是1或3。
6.答案：D
解析：在A中易证，，，，四点共面。在B中，如图①，，，，四点共面，证明如下：取的中点，可证，交于直线延长线上一点，，，，四点共面，设为。可证，，，，四点共面，设为。，都经过不共线的，，三点，与重合，，，，四点共面。
在C中易证，，，，四点共面。在D中，连接，，如图②，平面，平面且，直线与为异面直线，，，，四点不共面。
二、多选题
7.答案：ABC
解析：在题图中，连接，（图略），则，又平面，三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，，，均正确，不正确。
8.答案：ACD
解析：因为在正方体中，，，分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面内，故A正确；因为，，在平面内，不在平面内，所以，，，四点不共面，故B错误；由已知可知，所以，，，四点共面，故C正确；连接并延长，交于点，则为的中点，连接，则，所以，，，四点共面，故D正确。
9.答案：BCD
解析：A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；B中，如图，两个相交平面有三个公共点，，，但，，，，不共面，所以B不正确；C显然不正确；D不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形。
三、填空题
10.答案：共线
解析：如图所示，连接，，。
平面，，平面。平面，平面。平面平面，，，，三点共线。
11.答案：①③
解析：在图①中，连接，（图略），则由正方体的性质得，根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图①符合题意，同理可知图③中，故四点共面，而图②④中四点均不共面。
12.答案：
解析：如图，延长，交的延长线于点，连接，与的交点即为。
理由如下：设，，共面，因，则，平面，又因平面，故，，三点共线，即。在平行四边形中，，所以，因，可得。取的中点，连接，因，则，所以是的中点，又是棱的中点，则，则，所以是的中点，故有，又，所以，故。
四、解答题
13.答案：
(1) 解：连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；
(2) 设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则。
14.答案：解：很明显，点是平面和平面的一个公共点，即点在平面和平面的交线上。由于，则分别延长和交于点，如图所示，
，平面，平面。同理，可证平面。点在平面和平面的交线上，则连接，直线就是平面和平面的交线。
15.答案：
(1) 画法如下：连接交于点，连接交于点，连接，则，，，为所求平面与正方体表面的交线，如图①所示。
(2) 画法如下：连接交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点，连接交于点，连接，，则，，，，为所求平面与正方体表面的交线，如图②所示。