黑龙江省绥化市哈尔滨市师范大学青冈实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷（含答案）

哈师大青冈实验中学2025—2026学年度开学考试
高二数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.设表示复数z的共轭复数，若复数z满足，则
A. B. C. D.
2.从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，将数据从小到大排序（单位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为
A.171 B.172 C.173 D.174
3.田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为
A. B. C. D.
4.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则
A. B. C. D.
5.在中，若，则范围是
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为
A. B. C. D.
7.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量（单位：克）与药物功效（单位：药物单位）之间满足.检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为
A.18药物单位 B.15药物单位 C.20药物单位 D.10药物单位
8.在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是
A. B. C. D.
二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分）
9.已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是
A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B.z可能为实数
C. D.的实部为
10.如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是
A.A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为
11.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有
A.存在点，使得平面平面
B.过三点的平面截正方体所得的截面的面积为
C.当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为
D.的最小值为
三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)
12.若复数满足①；②，则在复平面内所对应的图形的面积为 .
13.若均为单位向量，且，则的值范围是
14.如图，在正方体中，点O为线段的中点，设点P在线段上，直线与平面所成角为，则的取值范围是
四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本题13分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A.
(2)若，，求的周长.
16.（本题15分）
在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点.
(1)若，求x－y的值；
(2)求的取值范围；
(3)若为线段的中点，直线与相交于点M，求·.
17.（本题15分）
某区政府为了解本区居民对区政府反诈工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分)，根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图，已知评分在[80，100]的居民有600人
满意度评分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数;
(2)定义满意度指数=(满意程度的平均分)/100，若<0.8，则反诈工作需要进行大调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区反诈工作是否带要进行大调整 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(3)为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民评分在[40，50).[50，60)中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任反诈工作的监督员，列出抽取的所有基本事件并求这2人中仅有一人对反诈工作的评分在[40，50)内的概率.
18.（本题17分）
如图，正方体，棱长为a，E，F分别为、上的点，且.
（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？
（2）求三棱锥的体积最大时，二面角的正切值；
（3）求异面直线与所成的角的取值范围.
19.（本题17分）
在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）.
(1)已知.
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立.
若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B A C A D B D BCD ACD BC
12． 13． 14．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果；
（2）设，（），将用表示，根据数量积公式，转化为二次函数，即可求出结果；
（3）先根据向量共线和三点共线可知存在实数，使得，存在使得，化简整理，根据系数相等可得，再与进行数量积运算即可得到结果．
【详解】（1）解：（1）∵，所以
∵，
又，
∴，∴；
（2）解：设，（）
因为在三角形中，，，，
∴，
∴
；
又，所以，
故的取值范围为
（3）解：∵三点共线，
∴存在实数，使得，
∵为的中点，
∴，
又三点共线，∴存在使得，
∴，
∴，解得，
.
17．(1)0.025;1000；
(2)不需要；
(3).
【分析】(1)频率分布直方图中面积表示频率，且频率和为1；总人数等于频数比所占频率.
(2)第一步求平均数，第二步计算满意度指数，判断是否满足标准.
(3)利用分层抽样，计算各组人数，利用列举法罗列所有基本事件，求比值即可.
【详解】（1）解得.
（2）第一步求平均分
第二步满意度指数 所以不需要.
（3）第一步求解在[40，50)的总人数 ,在[50，60)中的总人数,共抽取6人，所以在[40，50)的抽2人,记为；在[50，60)中抽4人，记为.所以抽取的所有基本事件有 共15个基本事件，其中仅有一人对反诈工作的评分在[40，50)内的基本事件有8个，所以概率为.
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）直接将三棱锥的体积用表示出来，再求二次函数的最大值；
（2）取中点O，由（1）知，E，F为中点时，三棱锥的体积最大，连接，说明即为二面角的平面角，再求出的正切值；
（3）在上取点H使，则（或补角）是异面直线与所成的角，再解三角形，用表示出，从而求出异面直线与所成的角的取值范围.
【详解】解：（1）因为正方体，所以平面
所以，
当时，三棱锥的体积最大.
（2）取中点O，由（1）知，E，F为中点时，三棱锥的体积最大.
所以，因此，，
所以就是二面角的平面角.
在中，
在中，，
三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为.
（3）在上取点H使，则在正方形中，
所以，，所以，
所以（或补角）是异面直线与所成的角.
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
因为，所以，所以，
所以，所以
所以异面直线与所成的角的取值范围为.
【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，几何法求二面角的余弦值，求异面直线所成的角，还结合考查了求函数的最值和取值范围，属于中档题.
19．(1)① ；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可；
（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解.
【详解】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则．
②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则．
记事件为“三次收到的数字之和为2”，
则．
因为，
所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则．
记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则．
根据题意可得，即，
因为，所以，
解得，故的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.