人教A版高中数学必修第二册基础练习作业-第八章8.6.2 直线与平面垂直（含解析）

8.6.2 直线与平面垂直
一、单选题
1.若直线 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 垂直的直线（ ）
A. 只有一条
B. 有无数条
C. 是平面内的所有直线
D. 不存在
2.在正方体 中，，则点 到平面 的距离为（ ）
A.
B.
C. 2
D. 1
3.在四面体 中， 平面 ，，若 ，则 的长度为（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
4.在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， 平面 ，且 ，则 与平面 所成角的大小为（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.在三棱锥 中，已知 平面 ，，，。点 是 的中点。下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面
6.在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，，，。点 是 的中点。下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B.
C.
D. 平面
二、多选题
7.下列说法正确的有（ ）
A. 过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
B. 过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
C. 过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
D. 过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
8.在正三棱锥 中，侧棱长为 3，底面边长为 2， 和 分别为棱 和 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与 所成角的正切值为
B. 与 所成角的正切值为
C. 与面 所成角的余弦值为
D. 与面 所成角的余弦值为
9.设 ， 为不重合的两条直线，， 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若 且 ，则
B. 若 且 ，则
C. 若 且 ，则
D. 若 且 ，则
三、填空题
10.在长方体 中，，则点 到平面 的距离为________。
11.在等腰梯形 中，，，，四边形 为平行四边形， 平面 ， 为线段 的中点。若要证明 平面 ，可补充条件____ （写出一个满足要求的条件即可）。
12.在正方体 中，，则直线 与平面 所成角的正弦值为________。
四、解答题
13.在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，，， 和 分别是 和 的中点。求证：。
在三棱锥 中， 平面 ，，，， 为棱 的中点。求证： 平面 。
15.在长方体中，，，，为的中点，为的中点。
(1) 证明：平面；
(2) 求点到平面的距离。
一、单选题
1.答案：B
解析：即使直线与平面不垂直，平面内仍存在无数条直线与该直线垂直（如平面内与直线的投影垂直的直线）。
2.答案：A
解析：正方体中，对角线 平面 ，点 到平面的距离为对角线长度的一半。，故距离为 。
3.答案：C
解析：由勾股定理，，。
4.答案：B
解析： 与平面 所成角为 ，，，故夹角为 。
5.答案：A
解析：由于 平面 ，根据线面垂直的性质， 和 。
在 中，，，，满足 ，因此 是直角三角形，且 ，即 。
由于 和 ，且 ，根据线面垂直的判定定理， 平面 。
由于 平面 ，且 平面 ，因此 。
又因为 （因为 平面 ），且 ，根据线面垂直的判定定理， 平面 。
6.答案：A
解析：以点 为坐标原点，、、 分别为 、、 轴正方向，建立空间直角坐标系。
则各点坐标为：，，，，。
计算向量 。
平面 的法向量为 。
计算 ，因此 不垂直于平面 。
但是，由于 平面 ，且 在 上，因此 与 共线，即 。
因此， 平面 。
二、多选题
7.答案：ABC
解析：A、B正确：线面垂直的唯一性定理；
C正确：过平面外一点可作无数条直线平行于平面内任意直线；
D错误：过直线外一点可作无数条直线与已知直线垂直（异面垂直或相交垂直）。
8.答案：BC
解析：取 中点 ，连接 ，则 与 所成角为 ，计算得 ；
与面 所成角的正弦值为 ，余弦值为 。
9.答案：BD
解析：B正确：垂直于同一平面的直线平行；
D正确：垂直于同一直线的平面平行；
A、C错误：可能异面或相交。
三、填空题
10.答案：
解析：同单选题第2题，点 到平面 的距离为 。
11.答案示例：
解析：需证明 垂直平面 内两条相交直线（如 和 ），补充 后，结合 即可得证。
12.答案：
解析：直线 与平面 所成角为 ，正弦值为 。
四、解答题
13.证明：
连接 和 。在 和 中，，，所以 ，即 是等腰三角形。
又因为 是 的中点，所以 。
又因为 ，且 是 的中点，所以 。
因为 ，所以 平面 。
因为 平面 ，所以 。
14.证明：
在 中，，，，
∴ ，即 。
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 。
∵ ，∴ 平面 。
15.证明：(1)以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系。
已知，，，为的中点，为的中点，则各点坐标为：，，，，。
所以，，。
根据向量数量积公式，计算向量数量积：
，所以，即。
，所以，即。
因为，且平面，平面，根据直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直，所以平面。
解：(2)由(1)知是平面的一个法向量，。
根据点到平面（平面的法向量为，平面内一点为）的距离公式，则点到平面的距离。
。
。
所以，即点到平面的距离为。