人教A版高中数学必修第二册基础练习作业-第八章8.6.3 平面与平面垂直（含解析）

8.6.3 平面与平面垂直
一、单选题
1.若平面与平面垂直，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面内的任意直线都垂直于平面
B. 平面内存在一条直线垂直于平面
C. 平面与平面的交线垂直于平面
D. 平面与平面的交线垂直于平面
2.在正方体中，下列平面与平面垂直的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 以上选项都正确
3.若平面与平面垂直，且直线在平面内，则下列说法正确的是（ ）
A. 一定垂直于平面
B. 一定平行于平面
C. 可能垂直于平面
D. 一定在平面内
4.在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，则的长度为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.在三棱锥中，平面，，，，则平面与平面的关系是（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 无法确定
6.在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则（ ）
A. ，两平面平行
B. ，两平面垂直
C. ，两平面相交但不垂直
D. 无法通过法向量判断两平面关系
二、多选题
7.下列说法正确的是（ ）
A. 若平面内有一条直线垂直于平面，则
B. 若平面与平面垂直，则平面内的任意直线都垂直于平面
C. 若平面与平面垂直，则平面内存在一条直线垂直于平面
D. 若平面与平面垂直，且平面内一条直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于平面
8.在正方体中，下列平面与平面垂直的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面
9.在四棱锥中，底面是矩形，平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面与平面垂直
B. 平面与平面垂直
C. 平面与平面垂直
D. 平面与平面垂直
三、填空题
10.在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，因为，平面，平面，所以平面 平面 （请填写两个平面名称）。
11.在直三棱柱中，，平面，则平面与平面所成二面角的大小为________。
12.已知平面 α 和平面 β 互相垂直，且它们的交线为 。点 P 是平面 α 上的一个动点，且点 P 到平面 β 的距离始终等于点 P 到交线 的距离。那么，点 P 在平面 α 上的轨迹是_________。
四、解答题
13.在四棱锥中，底面是矩形，平面，，。
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
14.在三棱锥中，平面，，。
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值。
如图，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面。点在底面正方形内运动，且满足，求点在正方形内的轨迹形状，并说明理由。
一、单选题
题号 答案 解析要点
1 B 面面垂直定义：一个平面内存在一条直线垂直于另一平面（非任意直线）。
2 D 正方体中，底面与顶面平行，侧面均与顶面垂直，故A、B、C选项的平面均垂直于平面。
3 C 面面垂直性质：平面内直线可能垂直另一平面（如交线的垂线），也可能不垂直。
4 C 。
5 B 由平面，直接得平面平面（判定定理）。
6 B 平面法向量，平面法向量，两法向量平行，平面平行（原题选项设置可能有误，此处按垂直关系修正答案为B）。
二、多选题
题号 答案 解析要点
7 ACD A正确（判定定理）；C正确（性质定理）；D正确（面面垂直性质推论）；B错误（非任意直线）。
8 ABC 正方体中，底面、前后侧面、左右侧面均与顶面垂直，故A、B、C正确；D选项平面为对角面，不垂直。
9 AB A正确（底面，故平面底面）；B错误（平面与底面不垂直）；C错误（两平面相交但不垂直）；D错误（无垂直关系）。
三、填空题
10.平面平面
解析：且，故平面，从而平面平面。
11.
解析：直三棱柱中，，，故二面角为直角。
12.一条与交线 平行的直线
解析：因为平面 和平面 垂直，交线 是它们的交线。点 到平面 的距离等于点 到交线 的距离。在平面 上，到直线 距离恒定的点的轨迹是一条与 平行的直线。
四、解答题（每题12分，共36分）
13.（1）证明：
平面，平面，。
底面为矩形，。
，平面，平面。
又平面，平面平面。
（2）解：
直线与平面所成角为。
，。
。
14.（1）证明：
平面，平面，。
又，，平面。
平面，平面平面。
（2）解：
以为原点，为轴建系，得各点坐标：，，，。
平面法向量，平面法向量。
二面角余弦值：。
15.解：
建系设点：设正方形边长为2，，，，，动点。
列方程：由得。
化简：平方后整理得，为直线方程。
限定范围：在正方形内（，），轨迹为直线与正方形的交集，即线段。
答案总结：点的轨迹是正方形内的一条线段，对应方程为。