人教A版高中数学必修第二册第八章 立体几何初步 检测试卷（含解析）

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人教A版高中数学必修第二册第八章检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.(本题5分)一个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为3，则该三棱柱的体积为（ ）
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
2.(本题5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 、O ，过直线O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A. 12π B. 16π
C. 20π D. 24π
3.(本题5分)斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（ ）
A. 矩形的直观图一定是矩形
B. 等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C. 平行四边形的直观图一定是平行四边形
D. 菱形的直观图一定是菱形
4.(本题5分)已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为3，则该正四棱锥的体积为（ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 12
5.(本题5分)已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的体积为（ ）
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
6.(本题5分)下列说法中，错误的是（ ）
A. 平面内有无数条直线
B. 两个平面相交，它们的交线是一条直线
C. 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面
D. 两个平面平行，它们之间没有公共点
7.(本题5分)已知直线a∥平面α，直线b 平面α，则直线a与直线b的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或异面
8.(本题5分)在三棱锥中，，且直线与所成的角为，、分别为棱、的中点，则直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
9.(本题5分)如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与直线所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
10.(本题5分)已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
11.(本题6分)如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下列可能是该几何体的截面的为（ ）
A. B. C. D.
12.(本题6分)下列四个命题中，真命题是（ ）
A. 四边形可以确定一个平面
B. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
C. 若直线，相交，且平面，则直线不在平面内
D. 若直线平面，直线平面，则
13.(本题6分)如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点，点为线段上的一个动点，下列说法正确的是（ ）
A. 平面与底面的交线平行于
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与直线可能相交
D. 的最小值为
14.(本题6分)已知等边的边长为，、分别为边、的中点，将沿折起至，在四棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 当四棱锥体积最大时，平面平面
C. 在折起过程中存在某个位置使平面
D. 当四棱锥体积最大时，它的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
15.(本题5分)如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为______。
16.(本题5分)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且个顶点、、、在同一个平面内。已知球为该八面体的外接球，设该八面体的体积为，球的体积为，则______。
17.(本题5分)如图，在三棱锥中，，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为________；二面角的正弦值的最小值为________。
四、解答题（本大题共6小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.(本题10分)单位正方体中，过点作一个等腰三角形的截面，使它与底面成的角。
19.(本题10分)如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为，，从母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点。
(1)求这条绳长的最小值；
(2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离。
(本题10分)如图正方体，的棱长为，是线段的中点，平面过点、、。
(1)画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积；
(2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值。
(本题10分)如图，在四面体中，。若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直的概率为。
(1)证明：平面；
(2)若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值。
(本题10分)如图， 在正方体中，是的中点。
(1)求异面直线和所成角的大小；
(2)求证：平面；
(3)求和平面所成角的正弦值。
(本题11分)三余弦定理：设为平面内一点，过点的斜线在平面上的正投影为直线，为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则。三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理。
(1)证明三余弦定理；
(2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值；
(3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：。
答案解析
一、单项选择题
1.答案：A
解析：三棱柱体积公式为 ，底面为边长2的等边三角形，面积 ，高 ，故体积 。
2.答案：A
解析：截面为面积8的正方形，边长为 ，即圆柱的高和底面直径均为 ，半径 。表面积 。
3.答案：C
解析：斜二测画法中，平行关系保持不变，故平行四边形的直观图仍为平行四边形。矩形、等腰三角形、菱形的直观图可能因角度和比例变化不再保持原形状。
4.答案：A
解析：正四棱锥体积公式为 ，底面为边长2的正方形，面积 ，高 ，故体积 。
5.答案：A
解析：圆锥体积公式为 ，底面半径 ，高 ，故体积 。
6.答案：C
解析：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面的前提是直线和点确定的直线与已知直线共面（相交或平行）。若为异面直线，则无法确定唯一平面，故C错误。
7.答案：D
解析：直线 平面 ，则 与平面 无公共点，直线 ，故 与 无公共点，位置关系为平行或异面。
8.答案：C
解析：取中点，连接、，则，，故为与所成角的一半或补角的一半，即或，故选C。
9.答案：B
解析：
A正确：三棱锥底面积和高均为定值；
B错误：直线与所成角最小值为（非）；
C正确：将面与面展开，最小值为；
D正确：截面为等腰梯形，面积为。
10.答案：C
解析：建立空间直角坐标系，，，，，向量，，余弦值为，故选C。
二、多项选择题
11.答案：ABC
解析：截面可能为三角形、四边形（如矩形、梯形），但无法截出五边形，故选ABC。
12.答案：BC
解析：
A错误：空间四边形不能确定一个平面；
B正确：两两相交且不过同一点的三条直线必共面；
C正确：若且与相交，则；
D错误：与可能异面或相交。
13.答案：BD
解析：
A错误：交线与不平行；
B正确：到平面的距离为定值，体积不变；
C错误：与异面；
D正确：将面展开，最小值为。
14.答案：ABD
解析：
A正确：，故平面；
B正确：体积最大时，，即平面底面；
C错误：假设成立则，但，，矛盾；
D正确：球心为底面中心，半径，表面积。
三、填空题
15.答案：
解析：扇形弧长等于圆周长，即（扇形半径），圆锥母线长，底面半径，高。
16.答案：
解析：八面体可分解为两个正四棱锥，底面边长为，高为，体积。外接球半径，体积，故比值为。
17.答案：；
解析：
体积最大时，平面，体积；
二面角正弦值最小值对应平面角最小，通过空间向量计算得最小值为。
四、解答题
18.解：
过作截面与底面成角，可选取截面为（等腰三角形）。设截面与底面夹角为，底面中心为，则，解得，故截面存在且为等边三角形，边长为，面积为。
19.解析：
(1) 将圆台侧面展开为扇环，母线长，上底弧长，下底弧长，展开后对应圆心角，半径分别为和。绳长最小值为展开图中到的直线距离，即。
(2) 最短距离为展开图中扇形圆心到直线的距离减去上底半径，计算得，故最短距离为。
20.解：
(1) 截面为梯形（为中点），边长分别为、、、，高为，面积为。
(2) 较小部分为五面体，体积，较大部分体积，比值为。
21.解：
(1) 由概率知、、中两两垂直的有2对，又，故且，即平面。
(2) 体积，得，故。以为原点建立坐标系，直线的方向向量为，平面的法向量为，所求正弦值为。
22.解：
(1) 连接，则，为异面直线夹角，为等边三角形，故夹角为。
(2) 连接交于，连接，则，故平面。
(3) 设到平面的距离为，由等体积法得，故与平面所成角正弦值为。
23.解：
(1) 设，则，，而，故。
(2) 设直线与底面所成角为，则，解得，故正弦值为。
(3) 设棱长为，夹角为，则，，。由柯西不等式，，即。