专题训练六 整式加减运算中的“推理”问题
整式加减中的不含及无关问题
1.(2025保定期末)试说明:代数式x-2的值与x的取值无关.
2.已知关于x的多项式A,B,其中A=mx2+nx-1,B=x2-x+2(m,n均为有理数).
(1)化简2B-A.
(2)若化简2B-A的结果中不含x项和x2项,求m,n的值.
3.【问题呈现】
(1)已知代数式mx-y-3x+4y-1的值与x的取值无关,求m的值.
【类比应用】
(2)将7张长为a,宽为b的小长方形纸片(如图1)按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内,未被覆盖的两部分的面积分别记为S1,S2,当AB的长度变化时,S1-S2的值始终不变,求a与b的数量关系.
整式加减中的遮挡问题
4.小亮准备完成题目“化简:(▲x+6y+8)-(6y+5x+2)”时,发现系数“▲”印刷不清楚.
(1)小亮猜“▲”是3,请你化简:(3x+6y+8)-(6y+5x+2).
(2)小亮的老师说:“你猜错了,我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数.”那么原题中的“▲”是几
5.已知A,B都是关于x的多项式,A=3x2-5x+6,B=□-6,其中多项式B有一项被“□”遮挡住了.
(1)当x=1时,A=B,请求出多项式B被“□”遮挡的这一项的系数.
(2)若A+B是单项式,请求出多项式B.
整式加减中的错看问题
6.由于看错了运算符号,嘉淇把一个整式减去多项式2a-3b误认为加上这个多项式,得出的答案是a+2b.
(1)求该整式.
(2)求原题的正确答案.
7.(1)小刚在做“计算(5a2-3b2)-3(a2-b2)+(b2-a2)的值,其中a=2,b=-1”这道题时,把a=2,b=-1错看成“a=-2,b=1”,但他计算的结果也是正确的,请你说明这是怎么回事.
(2)李兵同学在计算A-(ab+2bc-4ac)时,由于马虎,将“A-”错看成了“A+”,求得的结果为3ab-2ac+5bc,请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果.
与代数式有关的新定义问题
8.如图1,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.如图2,填空:
(1)用含x的式子表示m= .
(2)当y=-2时,n的值为 .
9.定义新运算:A○B=A-3B.
(1)计算3○(-2)的值.
(2)当A=2x2-3xy-y,B=-x2+xy-y时,化简A○B.
(3)若(x+2)2+|y-1|=0,求(2)中A○B的值.
【详解答案】
1.解:x-2
=x-2x+y2+x+y2
=
=y2,
因为代数式的化简结果中不含有x,
所以代数式的值与x的取值无关.
2.解:(1)因为A=mx2+nx-1,
B=x2-x+2,
所以2B-A=2(x2-x+2)-(mx2+nx-1)
=2x2-2x+4-mx2-nx+1
=2x2-mx2-2x-nx+5
=(2-m)x2-(2+n)x+5.
(2)因为化简2B-A的结果中不含x项和x2项,
所以2-m=0,2+n=0,
解得m=2,n=-2.
3.解:(1)原式=(m-3)x+3y-1,
由题意得,含x项的系数为0,即m-3=0,
所以m=3.
(2)设AB=n,
则S1=a(n-3b)=an-3ab,
S2=2b(n-2a)=2bn-4ab,
所以S1-S2=an-3ab-2bn+4ab=(a-2b)·n+ab,
由题意得,含n项的系数为0,即a-2b=0,所以a=2b.
4.解:(1)(3x+6y+8)-(6y+5x+2)
=3x+6y+8-6y-5x-2
=-2x+6.
(2)(▲x+6y+8)-(6y+5x+2)
=▲x+6y+8-6y-5x-2
=(▲-5)x+6,
因为化简结果是一个固定的数,
所以▲-5=0,
解得▲=5.
5.解:(1)设多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为k,
当x=1时,A=3×12-5×1+6=3-5+6=4,B=k-6,
因为A=B,
所以k-6=4,
解得k=10,
即多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为10.
(2)A+B=3x2-5x+6+□-6=3x2-5x+□,
因为A+B为单项式,且□表示一项,
所以□=-3x2或□=5x,
所以多项式B为-3x2-6或5x-6.
6.解:(1)设该整式为A,
则A+(2a-3b)=a+2b,
所以A=a+2b-(2a-3b)=a+2b-2a+3b=-a+5b.
(2)原题的正确答案为(-a+5b)-(2a-3b)=-a+5b-2a+3b=-3a+8b.
7.解:(1)原式=5a2-3b2-3a2+3b2+b2-a2=a2+b2,
无论a取2还是-2,b取-1还是1,a2,b2的值相等,所以无论“a=2,b=-1”还是“a=-2,b=1”,计算的结果总相等.
(2)由题意得,A=(3ab-2ac+5bc)-(ab+2bc-4ac)=3ab-2ac+5bc-ab-2bc+4ac=2ab+2ac+3bc.
所以这道题的正确结果为A-(ab+2bc-4ac)=(2ab+2ac+3bc)-(ab+2bc-4ac)=2ab+2ac+3bc-ab-2bc+4ac=ab+6ac+bc.
8.(1)3x (2)1 解析:(1)根据约定的方法,得m=x+2x=3x.
(2)根据约定的方法,得y=m+n=(x+2x)+(2x+3)=5x+3.当y=-2时,5x+3=-2.解得x=-1.所以n=2x+3=-2+3=1.
9.解:(1)3○(-2)
=3-3×(-2)
=3+6
=9.
(2)因为A○B=A-3B,
A=2x2-3xy-y,
B=-x2+xy-y,
所以A○B
=2x2-3xy-y-3
=2x2-3xy-y+3x2-3xy+y
=5x2-6xy.
(3)因为(x+2)2+|y-1|=0,
所以x+2=0,y-1=0,
所以x=-2,y=1,
把x=-2,y=1代入5x2-6xy,得
5×(-2)2-6×(-2)×1=32.
所以(2)中A○B的值为32.专题训练七 整式运算中的数学思想
整体思想
题型1 整体代入
1.已知x-3y=4,那么代数式x-3y-3(y-x)-2(x-3)的值为 ( )
A.12 B.13
C.14 D.16
2.理解与思考:“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.例如:
如果x2+2x=1,求代数式x2+2x+2 025的值.
我们可以将x2+2x作为一个整体代入,
x2+2x+2 025=(x2+2x)+2 025=1+2 025=2 026.
请仿照上面的解题方法,解答下面的问题:
(1)如果x2+2x=-1,则代数式x2+2x+24的值为 .
(2)如果x2+2x=-1,求代数式2x2+4x+24的值.
(3)如果x-2y=3,求代数式2(3x2y+x-y)-3(2x2y-x+y)-5y的值.
题型2 整体合并
3.化简: 3(a-b)+(a+b)+.
4.先化简,再求值:
(a-b)2+9(a-b)+15(a-b)2-(a-b),其中a-b=.
题型3 整体代换
5.已知A=2x2-4xy+6y+3,B=x2-xy+1.
(1)计算:3A-(2A+B).
(2)若3A-(2A+B)的值与y的取值无关,求(1)中代数式的值.
题型4 整体加减
6.已知x2+xy=2,y2+xy=5,求x2+2xy+y2的值.
7.已知a2+2ab=-2,b2-2ab=6,求下列整式的值:
(1)a2+b2.
(2)3a2-2ab+4b2.
数形结合思想
8.(2025成都青羊区期中)已知有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,且|a|=1,|b|=2,|c|=4.
(1)求3b+2a-c的值.
(2)若A=a2-ab,B=a2+ab,求2A-B的值.
9.(2025承德兴隆县期中)如图,点A,B,C,D分别表示四个高铁车站的位置.
(1)用含a,b的代数式表示B,D两站之间的距离是 .(最后结果需化简)
(2)若已知B,D两站之间的距离是80 km,求A,B两站之间的距离.
10.小明同学家的住房户型呈长方形,平面图(单位:m)如图.现准备铺设地面,三间卧室铺设木地板,其他区域铺设地砖.
(1)a的值为 ,所有地面总面积为 m2.
(2)分别求铺设地面需要木地板多少平方米,需要地砖多少平方米.(用含x的代数式表示)
(3)已知卧室2的面积为15 m2,按市场价格,木地板单价为300元/m2,地砖单价为120元/m2,求小明家铺设地面的总费用为多少元.
【详解答案】
1.C 解析:原式=x-3y-3y+3x-2x+6=2x-6y+6,因为x-3y=4,所以原式=2(x-3y)+6=2×4+6=8+6=14.故选C.
2.解:(1)23
(2)因为x2+2x=-1,
所以2x2+4x+24
=2(x2+2x)+24
=2×(-1)+24
=-2+24
=22.
(3)因为x-2y=3,
所以2(3x2y+x-y)-3(2x2y-x+y)-5y
=6x2y+2x-2y-6x2y+3x-3y-5y
=6x2y-6x2y+2x+3x-2y-3y-5y
=5x-10y
=5(x-2y)
=5×3
=15.
3.解:原式=(a-b)+(a+b)
=(a-b)+(a+b)
=a-b+a+b
=
=4a-b.
4.解:原式=16(a-b)2+8(a-b),
当a-b=时,
原式=16(a-b)2+8(a-b)
=16×+8×
=1+2
=3.
5.解:(1)3A-(2A+B)
=3A-2A-B
=A-B
=(2x2-4xy+6y+3)-(x2-xy+1)
=2x2-4xy+6y+3-x2+xy-1
=2x2-x2-4xy+xy+6y+3-1
=x2-3xy+6y+2.
(2)由(1)得3A-(2A+B)
=x2-3xy+6y+2
=x2+(6-3x)y+2,
因为3A-(2A+B)的值与y的取值无关,
所以6-3x=0,
解得x=2,
所以3A-(2A+B)
=x2+(6-3x)y+2
=22+0×y+2
=4+0+2
=6,
即(1)中代数式的值为6.
6.解:x2+2xy+y2=x2+xy+xy+y2=(x2+xy)+(y2+xy),
由x2+xy=2和y2+xy=5,得原式=2+5=7.
7.解:(1)a2+b2=(a2+2ab)+(b2-2ab)=
-2+6=4.
(2)3a2-2ab+4b2=3(a2+2ab)+4(b2-2ab)=-6+24=18.
8.解:因为数轴上表示a,c的点在原点的左侧,表示b的点在原点的右侧,
所以a<0,c<0,b>0.
因为|a|=1,|b|=2,|c|=4,
所以a=-1,b=2,c=-4.
(1)当a=-1,b=2,c=-4时,
3b+2a-c=3×2+2×(-1)-(-4)=6-2+4=8.
(2)因为A=a2-ab,B=a2+ab,
所以2A-B
=2(a2-ab)-(a2+ab)
=2a2-2ab-a2-ab
=a2-3ab.
当a=-1,b=2时,
2A-B=(-1)2-3×(-1)×2=1+6=7.
9.解:(1)2a-3b
(2)由题意可知2a-3b=80,
所以AB=(5a-8b-70)-(a-2b)=4a-6b-70=160-70=90,
所以A,B两站之间的距离是90 km.
10.解:(1)3 136
(2)根据题意,得卧室2的长为
(10+7)-(x+4x-2+2x)=(19-7x)(m).
卧室铺设木地板,其面积为4×2x+4×7+3(19-7x)=(85-13x)(m2),
除卧室外,其他区域铺设地砖,则其面积为136-(85-13x)=(51+13x)(m2).
答:铺设地面需要木地板(85-13x) m2,需要地砖(51+13x) m2.
(3)因为卧室2的面积为15 m2,
所以卧室2的长为15÷3=5(m).
所以5+x+4x-2+2x=10+7.
解得x=2.
所以小明家铺设地面的总费用为
300(85-13x)+120(51+13x)
=25 500-3 900x+6 120+1 560x
=(31 620-2 340x)(元).
当x=2时,
原式=31 620-2 340×2
=31 620-4 680
=26 940(元).
答:小明家铺设地面的总费用为26 940元.
