专题训练九 一元一次方程的应用
古代问题(数学文化)
1.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有清酒一斗直粟十斗,醑(xǔ)酒一斗直粟三斗.今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何 ”意思是:一斗清酒价值10斗谷子,一斗醑酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清、醑酒各几斗 下面是甲、乙两种解答方案,则 ( )
甲:设换了清酒x斗,列方程为10x+3(5-x)=30……
乙:设用x斗谷子换清酒,列方程为=5……
A.只有甲对 B.只有乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
配套问题
2.某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名
利润问题
3.学校准备添置一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元,店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方实际订购了72套,每套减价3元,但商店获得了与售出60套课桌椅同样多的利润.
(1)求每套课桌椅的成本.
(2)求商店获得的利润.
数字问题
4.把1,2,3,4,5,…按如图所示的方式排列成一个表,用一个正方形框在表中任意框4个数,记左上角的一个数为x.
(1)另外三个数分别用含x的式子表示出来,从小到大依次是 , , .
(2)当被框住的4个数之和等于416时,x的值是多少
(3)能否框住这样的4个数,使它们的和等于324 若能,求出x的值;若不能,请说明理由.
方案选择问题
5.(2025衡水期末)某工厂准备在劳动节期间组织员工观看最新电影,票价为每张40元,经车间主任沟通,针对40人以上的团体票,售票员提供了两种优惠方案:
方案一:全体人员打八折;
方案二:5人免票,其他人员打九折.
(1)若工厂车间有50名工人,选择哪种方案更优惠
(2)车间主任说:“无论选择哪种方案,要付的钱都一样多.”则该工厂车间有多少名工人
比例问题
6.七年级(1)班与七年级(2)班参加比赛的人数相同,七年级(1)班有的同学获奖,七年级(2)班有20人没有获奖,已知七年级(1)班和七年级(2)班获奖的人数比是2∶3,那么七年级(2)班有多少人参加比赛
调配问题
7.某班学生分两组参加某项活动,甲组有36人,乙组有42人,后来由于活动需要,从甲组抽调了部分学生去乙组,结果乙组的人数是甲组人数的2倍少3人.从甲组抽调了多少学生去乙组
比赛积分问题
8.某足球协会举办一次足球赛,其记分规则及奖励方案(每人)如下表:
项目 胜一场 平一场 负一场
积分/分 3 1 0
奖金/元 1 500 700 0
当比赛进行到每队各比赛12场时,A队(11名球员)共积分22分,并且没有输一场.
(1)A队胜 场.
(2)若每赛一场每名球员均得出场费500元,则A队的某一名球员在这12场比赛中所得的奖金与他的出场费的和为 元.
数轴上两点运动问题
9.如图,在数轴上,点A表示的数是-16,线段AB的长为24,点M为线段AB的中点.点P,Q为数轴上的两个动点.点P从点A出发,沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动,到达点M停留2 s后继续保持原速向终点B运动.点Q从点B出发,沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点A运动.P,Q两点同时出发,设点P的运动时间为t(t>0)s.
(1)点B表示的数是 ;点M表示的数是 .
(2)当点P与点B重合时,求t的值.
(3)当线段PQ的长为10时,求t的值.
(4)当点P不与点Q重合时,直接写出QM=2PM时t的值.
【详解答案】
1.A 解析:甲:设换了清酒x斗,则换了醑酒(5-x)斗,列方程为10x+3(5-x)=30;乙:设用x斗谷子换清酒,则用(30-x)斗谷子换醑酒,列方程为=5,所以甲正确、乙错误.故选A.
2.解:设安排x名工人生产螺母,则安排(22-x)名工人生产螺栓,根据题意,得
2 000x=2×1 200(22-x),
解得x=12,
则22-x=10.
答:应安排10名工人生产螺栓,12名工人生产螺母.
3.解:(1)设每套课桌椅的成本为x元,
根据题意,得60×100-60x=72×(100-3)-72x,
解得x=82.
答:每套课桌椅的成本为82元.
(2)60×(100-82)=1 080(元).
答:商店获得的利润为1 080元.
4.解:(1)x+1 x+7 x+8
(2)根据题意,得
x+x+1+x+7+x+8=416,
解得x=100.
答:x的值是100.
(3)不能框住这样的4个数,使它们的和等于324,理由如下:
假设能框住这样的4个数,使它们的和等于324,
根据题意,得x+x+1+x+7+x+8=324,
解得x=77,
因为77÷7=11,
所以77位于第七列,不符合题意,
所以假设不成立,
所以不能框住这样的4个数,使它们的和等于324.
5.解:(1)因为方案一:全体人员打八折,
所以方案一的花费为50×40×0.8=1 600(元);
因为方案二:5人免票,其他人员打九折,
所以方案二的花费为(50-5)×40×0.9=1 620(元).
因为1 600<1 620,所以选择方案一更优惠.
(2)设该工厂车间有x名工人,
40x×0.8=(x-5)×40×0.9,
解得x=45.
所以该工厂车间有45名工人.
6.解:设七年级(2)班有x人参加比赛,根据题意,得x∶(x-20)=2∶3,
解得x=32.
答:七年级(2)班有32人参加比赛.
7.解:设从甲组抽调了x个学生去乙组,根据题意,得2(36-x)-3=42+x,
解得x=9.
答:从甲组抽调了9个学生去乙组.
8.(1)5 (2)18 400 解析:(1)设A队胜x场,则平了(12-x)场.依题意得3x+1×(12-x)=22,解得x=5.
(2)因为每场的出场费为500元,所以12场比赛的出场费为500×12=6 000(元),胜了5场,奖金为1 500×5=7 500(元),平了7场,奖金为700×7=4 900(元),所以奖金加出场费一共是6 000+7 500+4 900=18 400(元).
9.解:(1)8 -4
(2)根据题意,得4(t-2)=24,
解得t=8,
所以当点P与点B重合时,t的值为8.
(3)当点P到达点M时,则4t=12,
解得t=3,
所以当点P从点M出发时,t=3+2=5,
当t=3时,PQ=24-4×3-3×3=3<10,
当t=5时,PQ=4×3+3×5-24=3<10,
所以当PQ=10时,4t+3t+10=24或4(t-2)+3t-10=24,
解得t=2或t=6,
所以当线段PQ的长为10时,t的值为2或6.
(4)t的值为.
解析:由(3)可知,当3≤t≤5时,线段PM不存在,
当0解得t=;
当5解得t=,
综上所述,t的值为.专题训练八 一元一次方程的解法技巧
分子、分母含小数的一元一次方程
技巧1 巧化分母为1
1.解方程:.
技巧2 巧化同分母
2.解方程:=1.
技巧3 巧约分去分母
3.解方程:=3.
技巧4 巧化小数为整数
4.解方程:=1.
分子、分母为整数的一元一次方程
技巧1 巧用拆分法
5.观察下列等式:=1-,,,将以上三个等式两边分别相加得:=1-=1-.
(1)猜想并写出:= .
(2)解方程:+…+=2 024.
6.解方程:=2 025.
技巧2 巧用对消法
7.解方程:=3.
技巧3 巧通分
8.解方程:.
含括号的一元一次方程
技巧1 整体处理法
9.解方程:x-(x-9).
10.解方程:2(x+1)-(x-1)=2(x-1)+(x+1).
技巧2 边去分母边去括号
11.解方程:=1.
技巧3 由外向内去括号
12.解方程:-x=2.
13.解方程:x+1.
含绝对值符号的一元一次方程
14.阅读下列材料:
我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程.如:|x|=3,|4x-5|=1,|2a-1|=|5+7a|,…都是含有绝对值的方程.
怎样才能求出含有绝对值的方程的解
以方程|x|=3和|4x-5|=1为例来探求解法.
探究思路:
根据绝对值的意义,把绝对值的符号去掉,含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解.
探究结论:
1.解方程|x|=3.
解:根据绝对值的意义,得x=3或x=-3.
2.解方程|4x-5|=1.
分析:把4x-5看作一个整体.
解:根据绝对值的意义,得4x-5=1或4x-5=-1.
分别解这两个方程,得x=或x=1.
应用材料中的方法解下列方程:
(1)=3.
(2)|2a-1|=|5+7a|.
【详解答案】
1.解:去分母,得2(4x-1.6)-5(3x-5.4)=10(1.8-x),
去括号、移项、合并同类项,得3x=-5.8,
系数化为1,得x=-.
2.解:化为同分母,得,
去分母,得0.1x-0.16+0.5x=0.06,
解得x=.
3.解:原方程可化为=3,
约分,得(5x-10)-(2x+2)=3,
去括号,得5x-10-2x-2=3,
移项、合并同类项,得3x=15,
系数化为1,得x=5.
4.解:整理,得=1.
去分母(方程两边同乘21),得30x-7(17-20x)=21.
去括号,得30x-119+140x=21.
移项、合并同类项,得170x=140.
系数化为1,得x=.
5.解:(1)
(2)因为+…+=2 024,
所以x1-+…+=2 024,
所以x=2 024,
所以x=2 024,
解得x=2 025.
6.解:因为=2 025,
所以=2 025,
化简,得=2 025,
合并同类项,得x=2 025,
系数化为1,得x=.
7.解:原方程可化为,
即,
所以x=.
8.解:方程两边分别通分后相加,得
,
化简,得,
解得x=-.
9.解:x-(x-9).
去中括号,得x-x+(x-9)=(x-9),
即x-x=0,
x=0,
解得x=0.
10.解:移项,得2(x+1)-(x+1)=2(x-1)+(x-1),
即(x+1)=(x-1),
去分母,得3(x+1)=5(x-1),
去括号,得3x+3=5x-5,
移项、合并同类项,得2x=8,
系数化为1,得x=4.
11.解:+8=1,
+8=9,
+6=7,
+4=5,
=1,
x+2=3,
解得x=1.
12.解:先去中括号,得-3-x=2,
即-1-3-x=2,
解得x=-8.
13.解:去中括号,得2-6=x+1,
去小括号,得x--6=x+1,
移项、合并同类项,得-x=,
系数化为1,得x=-15.
14.解:(1)根据绝对值的意义,得=3或=-3,
分别解这两个方程,得x=或x=-.
(2)根据绝对值的意义,得2a-1=5+7a或2a-1=-5-7a,
分别解这两个方程,得a=-或a=-.
