专题训练二 有理数的加减运算技巧
互为相反数的相结合
1.计算:-8+12+2 025-(-8)+(-12).
2.计算:(-2.01)+2.5+1-(-2.01)+.
3.计算:1+2+3+…+2 025+(-1)+(-2)+(-3)+…+(-2 025)+(-2 026).
同号的相结合(正正相加,负负相加)
4.计算:(-3)+(-4)-(+11)-(-19).
5.计算:-4.2+5.6-8.4+9.
同分母的相结合
6.计算:.
7.计算:+6.
8.计算:2.
凑整法
9.计算:2-0.6+2-2.5+10-1.
10.计算:-(-2.19)+5-(-7.81)+.
带化整分法(拆项法)
11.计算:-1+24+3.
12.计算:.
13.计算:-.
分组求和法
14.计算:2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69.
裂项相消法
15.观察下列各式:=1-,,,…
根据规律解答下列各题.
(1)= - .
(2)计算:+…+.
【详解答案】
1.解:原式=-8+12+2 025+8-12
=(-8+8)+(12-12)+2 025
=2 025.
2.解:原式=(-2.01+2.01)++1=1.
3.解:原式=[1+(-1)]+[2+(-2)]+[3+(-3)]+…+[2 025+(-2 025)]+(-2 026)=-2 026.
4.解:原式=-3-4-11+19
=(-3-4-11)+19
=-18+19
=1.
5.解:原式=(-4.2-8.4)+(5.6+9)
=-12.6+14.6
=2.
6.解:原式=+[]=.
7.解:原式=+6+
[+6]=-7+10=3.
8.解:原式=2+2-5+5
=
=8-3
=5.
9.解:原式=+(2+10)
=0+(-2)+12
=10.
10.解:原式=+2.19+5+7.81+
=[]+(2.19+7.81)+
=-8+10+
=2.
11.解:原式=-1--5-+24++3+
=(-1-5+24+3)+(-)
=21-
=20.
12.解:原式=+15
=-18-+15+-15--2-
=(-18+15-15-2)+(-)
=-20-
=-20.
13.解:原式=+4 049
=-2 024--2 025-+4 049+-1-
=(-2 024-2 025+4 049-1)+(-)
=-1-
=-.
14.解:原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)
=0+0+…+0
=0.
15.解:(1)
(2)原式=+…+
=×(+…+)
=×(1-+…+)
=
=
=.专题训练一 数轴的应用
数轴与有理数
1.如图,在数轴上,手掌遮挡住的点表示的数可能是 ( )
A.0.5 B.-0.5 C.-1.5 D.-2.5
2.a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.a,b,c都是正数
B.a,b,c都是负数
C.a,b是负数,c是正数
D.a,b是正数,c是负数
3.在一条可以折叠的数轴上,点A,B表示的数分别是-10,3,以点C为折点,将此数轴向右对折(如图1),若折叠后点A落在点B的右边(如图2),且A,B两点间的距离是1,则点C表示的数是 .
数轴与绝对值
4.(2024苏州中考)用数轴上的点表示下列各数,其中与原点距离最近的是 ( )
A.-3 B.1 C.2 D.3
5.如图,数轴上的A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,其中A,B两点间的距离与B,C两点间的距离相等,如果|a|>|c|>|b|,那么该数轴的原点的位置应该在 ( )
A.点A的左边 B.点B与C之间,靠近点B
C.点A与B之间,靠近点A D.点A与B之间,靠近点B
数轴与相反数
6.如图,在数轴上,点A,B分别表示数a,b,且a,b互为相反数,若点A与点B的距离为6,则点A表示的数为 ( )
A.6 B.3 C.0 D.-3
7.一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后,得到它的相反数,这个数是 ( )
A.4 B.-4 C.8 D.-8
8.如果a=-a,那么表示数a的点在数轴上的位置是 .
利用数轴探究问题
9.如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的四等分点处标上字母A,B,C,D,先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合,若将圆沿着数轴向左滚动,则圆周上字母所对应的点与数轴上的数字-2 025所对应的点重合的是 ( )
A.A B.B C.C D.D
10.(类比思想)(1)借助数轴,回答下列问题:
①从-1到1有3个整数,分别是 ;
②从-2到2有5个整数,分别是 ;
③从-3到3有7个整数,分别是 ;
④从-200到200有 个整数;
⑤从-n到n有 个整数(n≥1,且n为整数).
(2)根据以上规律,从-2.9到2.9有 个整数;从-10.1到10.1有 个整数.
(3)在单位长度为1 cm的数轴上随意画一条长为1 000 cm的线段AB,则线段AB盖住的整数点
有 个.
【详解答案】
1.B 解析:设手掌遮挡住的点表示的数为x,则-12.C 解析:根据a,b,c在数轴上对应的点的位置可知,a,b都是负数,c是正数.故选C.
3.-3 解析:由条件可知AB=13,因为折叠后点A在点B的右边,且AB=1,所以BC=6,所以点C表示的数是-3.
4.B 解析:因为|-3|=3,|1|=1,|2|=2,|3|=3,而3>2>1,所以1对应的点与原点距离最近,故选B.
5.B 解析:因为|a|>|c|>|b|,所以点A到原点的距离最大,点C其次,点B最小,又因为AB=BC,所以原点的位置是在点B与C之间,靠近点B.故选B.
6.D 解析:因为点A,B分别表示数a,b,且a与b互为相反数,所以A,B两点位于原点的两侧,且到原点的距离相等.因为点A与点B的距离为6,所以点A到原点的距离为×6=3.因为点A在原点左侧,所以点A表示的数为-3.故选D.
7.B 解析:一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后,得到它的相反数,即这个数和它的相反数在数轴上对应的点的距离是8个单位长度.且这两个点到原点的距离相等,这个点在原点的左侧,所以这个数是-4.故选B.
8.原点 解析:由题意得a=-a,所以a=0.故表示数a的点在数轴上的位置是原点.
9.C 解析:结合数轴,分析题意可知,圆在向左滚动过程中每四个点一循环,依次是A,B,C,D.因为A对应的点最初对应数轴上的1,1到-2 025有2 026个单位长度,2 026÷4=506……2,所以数字-2 025所对应的点将与圆周上字母C所对应的点重合.故选C.
10.解:(1)①-1,0,1 ②-2,-1,0,1,2
③-3,-2,-1,0,1,2,3 ④401
⑤(2n+1)
(2)5 21
(3)1 001或1 000
解析:①线段AB的端点与数轴上的整数点重合时,长为1 000 cm的线段AB盖住的整数点有1 001个;
②线段AB的端点与数轴上的整数点不重合时,长为1 000 cm的线段AB盖住的整数点有1 000个;
综上,在单位长度是1 cm的数轴上随意画一条长为1 000 cm的线段AB,线段AB盖住的整数点有1 001个或
1 000个.专题训练三 有理数运算的新考题型
有理数的运算
1.如图为小亮某次测试的答卷,每小题25分,他的得分应是 ( )
(1)-52=-25;
(2)数轴上到表示-1的点的距离为2的点表示的数是1;
(3)已知(m+6)2+|n-2|=0,则m+n=-8;
(4)几个非零有理数相乘,负因数的个数为奇数时积为负,这句话是正确的.
A.100分 B.75分 C.50分 D.25分
2.如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图,若输入的数a为1,则输出的结果是 ( )
A.- B.
C.- D.
3.(纠错题)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成有理数运算,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
(1)接力中,计算错误的学生有 .
(2)请给出正确的计算过程.
以数轴为载体的有理数运算
4.如图,已知数轴上点A,B对应的数分别为-5,1,点C到A,B的距离相等,点P为数轴上任意一点,且对应的数为m.
(1)若点P为原点,在图中标出点P的位置,并直接写出点C对应的数.
(2)若点P在B的右侧且满足AP=3PB,求-5,1与m这三个数的和.
5.如图,在一条不完整的数轴上,从左到右的点A,B,C把数轴分成①②③④四部分,点A,B,C表示的数分别是a,b,c,已知bc<0.
(1)请说明原点在第几部分.
(2)若AC=5,BC=3,b=-1,求a的值.
(3)若a=-1且a-b-c=-3,求-a+3b+2c-b的值.
【详解答案】
1.C 解析:(1)-52=-25,答案正确;(2)数轴上到表示-1的点的距离为2的点表示的数是1或-3,答案错误;(3)(m+6)2+|n-2|=0,则m=-6,n=2,故m+n=-4,答案错误;(4)几个非零有理数相乘,负因数的个数为奇数时积为负,这句话是正确的,答案正确;综上所述,一共有2道题正确,一道题25分,共计2×25=50(分).故选C.
2.A 解析:12×(-3)÷2=->-2,×(-3)÷2=-<-2,满足题意,输出结果,所以输出的结果为-.故选A.
3.解:(1)佳佳,昊昊
解析:因为(-1)2 025-(-3)2+3÷=-1-9+3÷,
所以佳佳计算错误;
因为-2 025-6+3÷-3÷=-2 025-6+3×-3×2,
所以昊昊计算错误,
因为-2 025-3×-3×2=-2 025-4-6=-2 035.
所以音音计算正确,
所以计算错误的学生有佳佳,昊昊.
(2)正确的计算过程如下:
(-1)2 025-(-3)2+3÷
=-1-9+3÷
=-1-9+3×4
=-1-9+12
=2.
4.解:(1)如图所示:
点C对应的数是-2.
(2)因为点P在B的右侧且满足AP=3PB,
所以点P对应的数为1+(1+5)÷(3-1)=4,即m=4,
所以-5,1与m这三个数的和为-5+1+4=0.
5.解:(1)因为bc<0,
所以b,c异号,
所以原点在第③部分.
(2)因为AC=5,BC=3,
所以AB=5-3=2,
因为b=-1,
所以a=-1-2=-3.
(3)因为a=-1,a-b-c=-3,即a-(b+c)=-3,
所以b+c=2,
所以-a+3b+2c-b
=-a+2b+2c
=-a+2(b+c)
=-(-1)+2×2
=5.
