浙江省宁波市江北实验中学2024-2025学年九年级上学期开学暑假作业检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024九上·江北开学考）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A项．中没有二次项，不是二次函数，不符题意；
B项．中是次，不是二次项，所以不是二次函数，不符题意；
C项．中的二次项没有排除的情况，所以不一定是二次函数，不符题意；
D项．展开后得：，符合二次函数定义，符合题意
故答案为：D
【分析】形如且为常数的函数，叫做二次函数，再对各选项逐一判定即可.
2．（2024九上·江北开学考）将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
故将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，
故向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
3．（2024九上·江北开学考）已知中最长的弦为，则的半径为（ ）．
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】B
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：中最长的弦长为，
的直径的长为，
的半径为．
故答案为：B．
【分析】利用圆中最长的弦是直径和在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果．
4．（2024九上·江北开学考）如图，为直径，弦于点，，，则长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图，连接，设为x
∵，CE=1，
，，
在中，
解得：
故
故答案为：C
【分析】连接，设为x，可表示出OE的长，利用垂径定理可求出AE的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的长.
5．（2024九上·江北开学考）把写成的形式是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对函数右边进行配方得：
，
故答案为：A．
【分析】对函数解析式进行配方，即可得到结论.
6．（2024九上·江北开学考）在抛物线上有、、三点，若抛物线开口向下，则、和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵y=a（x2-2x）-7=a（x-1）2-2a-7，
∴抛物线对称轴为，
∵点A（-4，y1）关于直线x=1的对称点为（6，y1）
∵抛物线的开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵2＜3＜6
∴.
故答案为：A
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数图象的对称性可得到点A关于直线x=1的对称点，再利用二次函数的增减性，可知当x＞1时，y随x的增大而减小，利用三个点的横坐标的大小，可得到、和的大小关系.
7．（2024九上·江北开学考）下列说法中，正确的是（ ）．
A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心
【答案】C
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故A选项错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意；
C、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故C选项正确，符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】同心圆的两个圆的半径不相等，可对A作出判断；在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对B作出判断；面积相等的圆的半径一定相等，可对C作出判断；利用垂径定理的推论，可对D作出判断.
8．（2024九上·江北开学考）如图，在矩形中，，取的中点，连接，以为半径，为圆心画弧交于；以为半径，为圆心画弧交于，则阴影部分面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在矩形中，，是的中点，
，，，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积
故答案为：A．
【分析】利用已知条件：AB，AD的长及线段AD的中点，可求出∠AEB、∠ABE、∠GBE的度数，利用勾股定理求出BE的长；然后根据扇形和三角形的面积公式可求出阴影部分的面积.
9．（2024九上·江北开学考）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，
点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点，
，，
点是弧的中点，
，
，
又，
，
，
故答案为：C．
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时是最小值；利用点A是半圆上的一个三等分点及轴对称的性质可求出∠AON、∠A'ON的度数，同时可证得PA=PA'，利用点是弧的中点，可求出∠BON的度数，即可求出∠A'ON=90°，利用勾股定理求出A'B的长，即可求出PA+PB的最小值.
10．（2024九上·江北开学考）若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵，
∴，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
而双曲线分布在第一、三象限，
∵，，
∴时，，解得：
时，，解得：，
∴实数的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】将已知不等式转化为，可将二次函数的值大于反比例函数的值，利用x的取值范围，分别求出x=和x=1时代入，解不等式 求出m的取值范围.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024九上·江北开学考）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用抛物线与x轴只有一个交点可得到b2-4ac=0，代入计算可求出m的值.
12．（2024九上·江北开学考）已知二次函数的图象过，对称轴直线，那么这个二次函数的图象一定经过除外的另一点，这点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：点关于直线的对称点的坐标为，
所以根据对称性，二次函数的图象一定还过点，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的对称性可求出点（-1，4）关于直线x=2对称，据此可得答案.
13．（2024九上·江北开学考）如图，正五边形内接于，是的直径，P是上的一点（不与点B，F重合），则的度数为 °．
【答案】54或126
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
∵正五边形的五个顶点把圆五等分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直径，
∴，
∵，
∴，
当P在上时，连接，
∵，
∴，
∴，
当P在上时，
由圆内接四边形的性质得．
∴的度数是或．
故答案为：54或126．
【分析】利用正五边形的性质可证得∠AOC=∠AOD，可证得∠COF=∠DOF，利用垂径定理可证得，据此可求出∠COD，∠COF的度数，再分情况讨论：当P在上时，连接，可求出∠BPF的度数；当P在上时，利用圆内接四边形的性质可求出∠BPF的度数；综上所述可得到符合题意的∠BPF的度数.
14．（2024九上·江北开学考）如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D（D在O右侧），当，时，CD ．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：解：过C作于H，连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，，又，
∴，
∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D，
∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是，
∴，则，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴．
故答案为：．
【分析】过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系可求出AD的长；再证明，则，利用等腰三角形的性质可求出AH、DH的长，即可求出OH的长；利用勾股定理求出CD的长.
15．（2024九上·江北开学考）已知二次函数，当时，y的最大值为19，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将二次函数转化为顶点式，即，
顶点形式为的抛物线顶点是，函数的对称轴是，
因为，对称轴位于其右侧，函数的最大值将出现在，
∴，
∴，
解之：．
故答案为：4 ．
【分析】将二次函数转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标及对称轴，利用x的取值范围，可得到函数的最大值将出现在，将x=3代入函数解析式求出k的值即可.
16．（2024九上·江北开学考）如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】连接，如图，
∵E是的中点，过圆心，
∴，
∴的中点E在以为直径的上，连接交于点E，此时最小，连接，
∵点F是的三等分点，且靠近点B，
∴，
又∵，
∴是正三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，利用垂径定理可证得，可得到BC的中点E在以为直径的上，连接交于点E，此时最小，连接，可得当P，E，F共线时，有最小值，根据圆的性质得到，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理可求出PF的长，然后求出EF的最小值.
三、解答题（17，18，19，20，21题6分， 22题，23题7分，24题8分，共52分）
17．（2024九上·江北开学考）已知二次函数经过点与．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到b与c的值；
（2）二次函数解析式的一般式转化成化为顶点式，即可得出顶点坐标．
（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为．
18．（2024九上·江北开学考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点对称的；
（2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．
【答案】（1）解：如图所示即为所求；
（2）解：如图所示即为所求，
，
点A到经过的路径长
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用关于原点对称点的坐标特点，分别作出A，B，C的对应点，，，然后画出．
（2）利用旋转的性质，分别作出A，B，C的对应点，，，画出，再利用勾股定理求出AB的长，然后根据弧长公式求出点A到经过的路径长．
（1）如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求，
，
点A到经过的路径长．
19．（2024九上·江北开学考）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由；
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
【答案】（1）解：设，则矩形的长，
依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，成立，
答：花园面积可能是，此时边的长为14米．
（2）∵，则，
依题意，得：，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y最大，最大为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设，则矩形的长，根据矩形的面积=矩形的长×宽可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设，则，根据矩形的面积=矩形的长×宽可得S与x之间的函数关系式，将函数关系式配成顶点式并根据二次函数的性质即可求解．
20．（2024九上·江北开学考）如图，在中，，是半径，是劣弧上的一点，且．
（1）求的度数．
（2）若．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：是劣弧上的一点，且，
劣弧的度数为，优弧的度数为，
（2）证明：连接，如图所示：
是半径，点在上，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
同理得：，
，
四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；圆周角定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求出∠ACB的度数.
（2）连接OC，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可求出∠AOC=∠BOC=60°，易证△AOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AO=AC=BC=BO，然后根据四条边都相等的四边形是菱形，可证得结论.
（1）解：是劣弧上的一点，且，
劣弧的度数为，优弧的度数为，
，；
（2）证明：连接，如图所示：
是半径，点在上，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
同理得：，
，
四边形是菱形．
21．（2024九上·江北开学考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）在对称轴上是否存在一点P，使得周长最小，若存在则求出P点坐标，若不存在请说明理由．
（2）在直线下方的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：存在，∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴令，得，
解得：，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵抛物线与y轴交于点C．
令，得，
∴点C的坐标是，
∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴设直线的解析式为，可得，
解得，
故直线的解析式为：，
∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，
∴当点P是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，
将代入中得：，
∴点P的坐标是
（2）解：存在．如图，过下方的抛物线上的点D作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，点D到的距离最大，从而使得的面积最大．
设过点D的直线的解析式为，
联立方程组，
消去y并整理得：，
此时，
∴，
故点D的横坐标，纵坐标，
∴
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由y=0可求出对应的y的值，可得到点A、B的坐标，由x=0可求出对应的y的值，据此可求出点C的坐标；同时可求出抛物线的对称轴；再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用轴对称的应用最短距离问题可知之和最小，即的周长最小，将x=1代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点P的坐标.
（2）依据题意可知，当过点D且平行于直线的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大，据此设出过点D的且与直线平行的直线解析式，然后联立抛物线解析式，消去y，令关于x的二次方程的判别式为0，即可求解．
（1）解：存在，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴令，得，
解得：，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵抛物线与y轴交于点C．
令，得，
∴点C的坐标是，
∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴设直线的解析式为，可得，
解得，
故直线的解析式为：，
∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，
∴当点P是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，
将代入中得：，
∴点P的坐标是；
（2）解：存在．
如图，过下方的抛物线上的点D作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，点D到的距离最大，从而使得的面积最大．
设过点D的直线的解析式为，
联立方程组，
消去y并整理得：，
此时，
∴，
故点D的横坐标，纵坐标，
∴．
22．（2024九上·江北开学考）如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
【答案】（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接正多边形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）如图1中，连接、．利用正方形的性质可求出∠AOD的度数，再利用圆周角定理可求出∠AED的度数.根
（2）如图2中，连接，，，，作于．利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，同时可证得∠DEC=∠AFB，利用AAS可证得△CDE≌△ABF，利用全等三角形的性质可求出CE的长；再利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形求出AD的长；同时可证得DH=EH，设DH=EH=x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，据此可求出DE的长.
（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
23．（2024九上·江北开学考）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数为，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线为，
又图象经过点，
，
，
二次函数为，
点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为，
又在的图象上，
，
或（舍去），
（2）解：，
由题意，当时，
最大值与最小值的差为，
，不符合题意，舍去；
当时，
最大值与最小值的差为，符合题意，
当时，
最大值与最小值的差为，
或，不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围为
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴方程，可求出b的值，将点A的坐标代入函数解析式可求出c的值，即可得到二次函数解析式；利用点的坐标平移规律，可得到平移后的点为，将此点代入二次函数解析式可求出符合题意的m的值.
（2）将函数解析式转化为顶点式，再分情况讨论：当时；当时；时， 根据最大值与最小值的差为，分别求出u符合题意的n的值，可得到n的额取值范围.
（1）解：二次函数为，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线为，
又图象经过点，
，
，
二次函数为，
点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为，
又在的图象上，
，
或（舍去），
；
（2）解：，
由题意，当时，
最大值与最小值的差为，
，不符合题意，舍去；
当时，
最大值与最小值的差为，符合题意，
当时，
最大值与最小值的差为，
或，不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围为．
24．（2024九上·江北开学考）如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
（1）的度数为 °；
（2）如图2，连结，取中点，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长；
（4）如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）120
（2）2
（3）解：如图所示，
直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
．
（4）证明：如图4，延长PD到M，使DM=CP，分别AM、AC、AD，则，由（1）知
，
，
，
过A作于，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
为定值．
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；圆与三角形的综合
【解析】【解答】
（1）连接，，
、，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
故答案为：120．
（2）
由题可得，为直径，且，
由垂径定理可得，，
连接，如图2，
又为的中点，
，且，
当，，三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为2，
故答案为：2．
【分析】
（1）由垂径定理知垂直平分，因为，所以也垂直平分，则，由于，所以可以证得三角形为等边三角形，得到；
（2）由于垂直平分，即是的中点，又是的中点，连接，则且，要求最大值，只需要求最大值，由于是劣弧上的一动点，故当，，三点共线，即为直径时，最大，此时最大；
（3）由垂径定理知，所以，又平分，所以，则由三角形外角的性质可得，所以，由（1）可得，，所以；
（4）由直径，可以得到垂直平分，所以，，延长PD到M，使DM=CP，由于圆内接四边形的外角等于它的内对角，则可以利用SAS证明，同全等的性质可以证明是顶角为的等腰三角形，过做于，由于，可以通过勾股定理或者三角函数证明，所以．
1 / 1浙江省宁波市江北实验中学2024-2025学年九年级上学期开学暑假作业检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024九上·江北开学考）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·江北开学考）将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·江北开学考）已知中最长的弦为，则的半径为（ ）．
A．2 B．3 C．6 D．12
4．（2024九上·江北开学考）如图，为直径，弦于点，，，则长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．（2024九上·江北开学考）把写成的形式是( )
A． B．
C． D．
6．（2024九上·江北开学考）在抛物线上有、、三点，若抛物线开口向下，则、和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·江北开学考）下列说法中，正确的是（ ）．
A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心
8．（2024九上·江北开学考）如图，在矩形中，，取的中点，连接，以为半径，为圆心画弧交于；以为半径，为圆心画弧交于，则阴影部分面积是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2024九上·江北开学考）如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·江北开学考）若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024九上·江北开学考）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
12．（2024九上·江北开学考）已知二次函数的图象过，对称轴直线，那么这个二次函数的图象一定经过除外的另一点，这点的坐标是 ．
13．（2024九上·江北开学考）如图，正五边形内接于，是的直径，P是上的一点（不与点B，F重合），则的度数为 °．
14．（2024九上·江北开学考）如图，是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D（D在O右侧），当，时，CD ．
15．（2024九上·江北开学考）已知二次函数，当时，y的最大值为19，则k的值为 ．
16．（2024九上·江北开学考）如图，是的直径，C为圆上一点，连接是的中点，，若F为弧上的三等分点，且靠近B点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（17，18，19，20，21题6分， 22题，23题7分，24题8分，共52分）
17．（2024九上·江北开学考）已知二次函数经过点与．
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
18．（2024九上·江北开学考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于原点对称的；
（2）请画出绕点B逆时针旋转后的，求点A到所经过的路径长．
19．（2024九上·江北开学考）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由；
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
20．（2024九上·江北开学考）如图，在中，，是半径，是劣弧上的一点，且．
（1）求的度数．
（2）若．求证：四边形是菱形．
21．（2024九上·江北开学考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）在对称轴上是否存在一点P，使得周长最小，若存在则求出P点坐标，若不存在请说明理由．
（2）在直线下方的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
22．（2024九上·江北开学考）如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
23．（2024九上·江北开学考）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
24．（2024九上·江北开学考）如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
（1）的度数为 °；
（2）如图2，连结，取中点，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长；
（4）如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A项．中没有二次项，不是二次函数，不符题意；
B项．中是次，不是二次项，所以不是二次函数，不符题意；
C项．中的二次项没有排除的情况，所以不一定是二次函数，不符题意；
D项．展开后得：，符合二次函数定义，符合题意
故答案为：D
【分析】形如且为常数的函数，叫做二次函数，再对各选项逐一判定即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
故将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为，
故向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
3．【答案】B
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：中最长的弦长为，
的直径的长为，
的半径为．
故答案为：B．
【分析】利用圆中最长的弦是直径和在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果．
4．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图，连接，设为x
∵，CE=1，
，，
在中，
解得：
故
故答案为：C
【分析】连接，设为x，可表示出OE的长，利用垂径定理可求出AE的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的长.
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对函数右边进行配方得：
，
故答案为：A．
【分析】对函数解析式进行配方，即可得到结论.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵y=a（x2-2x）-7=a（x-1）2-2a-7，
∴抛物线对称轴为，
∵点A（-4，y1）关于直线x=1的对称点为（6，y1）
∵抛物线的开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵2＜3＜6
∴.
故答案为：A
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数图象的对称性可得到点A关于直线x=1的对称点，再利用二次函数的增减性，可知当x＞1时，y随x的增大而减小，利用三个点的横坐标的大小，可得到、和的大小关系.
7．【答案】C
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故A选项错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意；
C、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故C选项正确，符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】同心圆的两个圆的半径不相等，可对A作出判断；在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对B作出判断；面积相等的圆的半径一定相等，可对C作出判断；利用垂径定理的推论，可对D作出判断.
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在矩形中，，是的中点，
，，，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积
故答案为：A．
【分析】利用已知条件：AB，AD的长及线段AD的中点，可求出∠AEB、∠ABE、∠GBE的度数，利用勾股定理求出BE的长；然后根据扇形和三角形的面积公式可求出阴影部分的面积.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，
点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点，
，，
点是弧的中点，
，
，
又，
，
，
故答案为：C．
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时是最小值；利用点A是半圆上的一个三等分点及轴对称的性质可求出∠AON、∠A'ON的度数，同时可证得PA=PA'，利用点是弧的中点，可求出∠BON的度数，即可求出∠A'ON=90°，利用勾股定理求出A'B的长，即可求出PA+PB的最小值.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵，
∴，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
而双曲线分布在第一、三象限，
∵，，
∴时，，解得：
时，，解得：，
∴实数的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】将已知不等式转化为，可将二次函数的值大于反比例函数的值，利用x的取值范围，分别求出x=和x=1时代入，解不等式 求出m的取值范围.
11．【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用抛物线与x轴只有一个交点可得到b2-4ac=0，代入计算可求出m的值.
12．【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：点关于直线的对称点的坐标为，
所以根据对称性，二次函数的图象一定还过点，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的对称性可求出点（-1，4）关于直线x=2对称，据此可得答案.
13．【答案】54或126
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，
∵正五边形的五个顶点把圆五等分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直径，
∴，
∵，
∴，
当P在上时，连接，
∵，
∴，
∴，
当P在上时，
由圆内接四边形的性质得．
∴的度数是或．
故答案为：54或126．
【分析】利用正五边形的性质可证得∠AOC=∠AOD，可证得∠COF=∠DOF，利用垂径定理可证得，据此可求出∠COD，∠COF的度数，再分情况讨论：当P在上时，连接，可求出∠BPF的度数；当P在上时，利用圆内接四边形的性质可求出∠BPF的度数；综上所述可得到符合题意的∠BPF的度数.
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：解：过C作于H，连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，，又，
∴，
∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D，
∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是，
∴，则，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴．
故答案为：．
【分析】过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系可求出AD的长；再证明，则，利用等腰三角形的性质可求出AH、DH的长，即可求出OH的长；利用勾股定理求出CD的长.
15．【答案】4
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将二次函数转化为顶点式，即，
顶点形式为的抛物线顶点是，函数的对称轴是，
因为，对称轴位于其右侧，函数的最大值将出现在，
∴，
∴，
解之：．
故答案为：4 ．
【分析】将二次函数转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标及对称轴，利用x的取值范围，可得到函数的最大值将出现在，将x=3代入函数解析式求出k的值即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】连接，如图，
∵E是的中点，过圆心，
∴，
∴的中点E在以为直径的上，连接交于点E，此时最小，连接，
∵点F是的三等分点，且靠近点B，
∴，
又∵，
∴是正三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】连接，利用垂径定理可证得，可得到BC的中点E在以为直径的上，连接交于点E，此时最小，连接，可得当P，E，F共线时，有最小值，根据圆的性质得到，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理可求出PF的长，然后求出EF的最小值.
17．【答案】（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到b与c的值；
（2）二次函数解析式的一般式转化成化为顶点式，即可得出顶点坐标．
（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为．
18．【答案】（1）解：如图所示即为所求；
（2）解：如图所示即为所求，
，
点A到经过的路径长
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用关于原点对称点的坐标特点，分别作出A，B，C的对应点，，，然后画出．
（2）利用旋转的性质，分别作出A，B，C的对应点，，，画出，再利用勾股定理求出AB的长，然后根据弧长公式求出点A到经过的路径长．
（1）如图所示即为所求；
（2）如图所示即为所求，
，
点A到经过的路径长．
19．【答案】（1）解：设，则矩形的长，
依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，成立，
答：花园面积可能是，此时边的长为14米．
（2）∵，则，
依题意，得：，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y最大，最大为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设，则矩形的长，根据矩形的面积=矩形的长×宽可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设，则，根据矩形的面积=矩形的长×宽可得S与x之间的函数关系式，将函数关系式配成顶点式并根据二次函数的性质即可求解．
20．【答案】（1）解：是劣弧上的一点，且，
劣弧的度数为，优弧的度数为，
（2）证明：连接，如图所示：
是半径，点在上，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
同理得：，
，
四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；圆周角定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求出∠ACB的度数.
（2）连接OC，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可求出∠AOC=∠BOC=60°，易证△AOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AO=AC=BC=BO，然后根据四条边都相等的四边形是菱形，可证得结论.
（1）解：是劣弧上的一点，且，
劣弧的度数为，优弧的度数为，
，；
（2）证明：连接，如图所示：
是半径，点在上，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
同理得：，
，
四边形是菱形．
21．【答案】（1）解：存在，∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴令，得，
解得：，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵抛物线与y轴交于点C．
令，得，
∴点C的坐标是，
∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴设直线的解析式为，可得，
解得，
故直线的解析式为：，
∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，
∴当点P是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，
将代入中得：，
∴点P的坐标是
（2）解：存在．如图，过下方的抛物线上的点D作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，点D到的距离最大，从而使得的面积最大．
设过点D的直线的解析式为，
联立方程组，
消去y并整理得：，
此时，
∴，
故点D的横坐标，纵坐标，
∴
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由y=0可求出对应的y的值，可得到点A、B的坐标，由x=0可求出对应的y的值，据此可求出点C的坐标；同时可求出抛物线的对称轴；再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用轴对称的应用最短距离问题可知之和最小，即的周长最小，将x=1代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点P的坐标.
（2）依据题意可知，当过点D且平行于直线的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大，据此设出过点D的且与直线平行的直线解析式，然后联立抛物线解析式，消去y，令关于x的二次方程的判别式为0，即可求解．
（1）解：存在，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴令，得，
解得：，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∵抛物线与y轴交于点C．
令，得，
∴点C的坐标是，
∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴设直线的解析式为，可得，
解得，
故直线的解析式为：，
∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，
∴当点P是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，
将代入中得：，
∴点P的坐标是；
（2）解：存在．
如图，过下方的抛物线上的点D作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，点D到的距离最大，从而使得的面积最大．
设过点D的直线的解析式为，
联立方程组，
消去y并整理得：，
此时，
∴，
故点D的横坐标，纵坐标，
∴．
22．【答案】（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接正多边形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）如图1中，连接、．利用正方形的性质可求出∠AOD的度数，再利用圆周角定理可求出∠AED的度数.根
（2）如图2中，连接，，，，作于．利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，同时可证得∠DEC=∠AFB，利用AAS可证得△CDE≌△ABF，利用全等三角形的性质可求出CE的长；再利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形求出AD的长；同时可证得DH=EH，设DH=EH=x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，据此可求出DE的长.
（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
23．【答案】（1）解：二次函数为，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线为，
又图象经过点，
，
，
二次函数为，
点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为，
又在的图象上，
，
或（舍去），
（2）解：，
由题意，当时，
最大值与最小值的差为，
，不符合题意，舍去；
当时，
最大值与最小值的差为，符合题意，
当时，
最大值与最小值的差为，
或，不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围为
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴方程，可求出b的值，将点A的坐标代入函数解析式可求出c的值，即可得到二次函数解析式；利用点的坐标平移规律，可得到平移后的点为，将此点代入二次函数解析式可求出符合题意的m的值.
（2）将函数解析式转化为顶点式，再分情况讨论：当时；当时；时， 根据最大值与最小值的差为，分别求出u符合题意的n的值，可得到n的额取值范围.
（1）解：二次函数为，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线为，
又图象经过点，
，
，
二次函数为，
点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，
平移后的点为，
又在的图象上，
，
或（舍去），
；
（2）解：，
由题意，当时，
最大值与最小值的差为，
，不符合题意，舍去；
当时，
最大值与最小值的差为，符合题意，
当时，
最大值与最小值的差为，
或，不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围为．
24．【答案】（1）120
（2）2
（3）解：如图所示，
直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
．
（4）证明：如图4，延长PD到M，使DM=CP，分别AM、AC、AD，则，由（1）知
，
，
，
过A作于，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
为定值．
【知识点】三角形外角的概念及性质；垂径定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；圆与三角形的综合
【解析】【解答】
（1）连接，，
、，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
故答案为：120．
（2）
由题可得，为直径，且，
由垂径定理可得，，
连接，如图2，
又为的中点，
，且，
当，，三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为2，
故答案为：2．
【分析】
（1）由垂径定理知垂直平分，因为，所以也垂直平分，则，由于，所以可以证得三角形为等边三角形，得到；
（2）由于垂直平分，即是的中点，又是的中点，连接，则且，要求最大值，只需要求最大值，由于是劣弧上的一动点，故当，，三点共线，即为直径时，最大，此时最大；
（3）由垂径定理知，所以，又平分，所以，则由三角形外角的性质可得，所以，由（1）可得，，所以；
（4）由直径，可以得到垂直平分，所以，，延长PD到M，使DM=CP，由于圆内接四边形的外角等于它的内对角，则可以利用SAS证明，同全等的性质可以证明是顶角为的等腰三角形，过做于，由于，可以通过勾股定理或者三角函数证明，所以．
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