黑龙江省大庆市2025年中考数学真题
1．（2025·大庆） -2025的绝对值是（ ）
A．2025 B． C．-2025 D．
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解： -2025的绝对值是2025
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值等于它的相反数，解答即可.
2．（2025·大庆） 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据定义：中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形； 轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．（2025·大庆） 近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 15000000000 =
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
4．（2025·大庆） 由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：
该几何体的主视图为：
故答案为：D.
【分析】根据几何体的主视图，即是从正面看得到的图形，解答即可.
5．（2025·大庆） 一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的体积
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据圆锥的体积公式， 计算即可解答.
6．（2025·大庆） 下列说法正确的是（ ）
A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式
B．64的平方根为8
C．若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；全面调查与抽样调查；方差；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，原说法不正确，故A不符合题意；
B、64的平方根为土8，原说法不正确，故B不符合题意；
C、多边形的每一个内角都是108° ，则每一个外角都是180°-108°=72° ，
∵多边形的外角和为360° ，这个多边形的边数为360° 72°=5，那么这个多边形是正五边形，原说法正确，故C符合题意；
D、甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，则方差越小越稳定，因而甲更稳定，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据调查方式调查某种灯泡的使用寿命适宜采用抽样调查，可判断A；64的平方根为土8，由此可判断B；先根据正多边形的每一个内角都是108°计算得到外角的度数，从而计算得到边长，可判断C；根据方差越小越稳定，可判断D；逐一判断即可解答.
7．（2025·大庆） 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴
由旋转可知∠BAD=120°，
∴∠CAD=90° ，
由旋转得： AD=AB=2，∠ADE=120° ，
∴∠ADC=60°，
∴∠ACD=30°，
∴CD=2AD=2X2=4，
故答案为：B.
【分析】
由等腰三角形的性质得∠BAC=30°；再由旋转的性质得∠CAD=90°，AD=AB=2，∠ADE=120°，从而得∠ADC=60°，∠ACD=30°， 故可得CD=2AD，计算即可解答.
8．（2025·大庆） 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；线段的中点；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：解：令点A坐标为(m，)
∵点E为OA的中点，
∴点E的横坐标为，
∵CD⊥x轴，
∴点C的横坐标为，
则点C坐标可表示为(，)
将正比例函数y=kx (k>0) 的图象向上平移 个单位后，所得直线的函数解析式为y=kx +，
将点A和点C坐标分别代入y=kx和y=kx+，解得m=2，
经检验m=2是原方程的解，且符合题意，则2k=1，
解得k=，
故答案为：C.
【分析】令点A坐标为(m，)，结合点E为OA的中点，用m表示出点E的横坐标，进一步用m表示出点C的坐标，再将A，C两点坐标分别代入所在直线的函数解析式，计算即可解答.
9．（2025·大庆） 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次方程；矩形的性质；矩形的判定；四边形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：作QEAB于点E，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形BCQE是矩形，
∴CQ=BE，
由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，
∴PH=20-AP-BH=20-3t，
∵QP=QH， QE⊥AB，
∴PE=HE=PH=10-
∴BE=AB-AP-PE=20-t-(10-)=10+
∵CQ=BE，
∴4t=10+
解得
故答案为：D.
【分析】由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，求得PH=20-3t，根据等腰三角形的性质得到PE=10-，再由线段的和差运算得到BE的值，再利用CQ=BE，列式计算即可解答.
10．（2025·大庆） 如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】
解：在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=3，∠BAC=∠BCA=45，
∴AC=AB=6，
∵EGAC， FHAC，
∴ ∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90 ，∠AEG=∠HFC=45，
∴△AGE，△HFC为等腰直角三角形，
∴AG=GE， HC=HF，
∵ AE=CF=
∴由勾股定理得AG=GE=HC=HF=1，BE=BF，GH=AC-AG-CH=4，
∴∠BEF=∠BFE=45° ，
∴∠BEF=45° ，
∴∠GEF=180°-45°-45°=90°，
∵∠EGH=∠FHG=90°，
∴四边形GEFH是矩形，
∴S0=EGGH=1X4=4，
∵S1+S2+S3=S0+S4， 3S0=S1+S2+S3+S4，
∴S4=4，
∵动点P在△ACD内部及边界上运动，
∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，
则△DMN是等腰直角三角形，
如图，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，
则DO=
∵S4=4
∴GHOQ=4， GH=4，
∴OQ=2，
∴DQ=OD-0Q=3-2=1，
∴MN=2，
即点P组成的图形长度为2，
故答案为：A.
【分析】由正方形的性质得AC=6，AG=CH=1，求出GE=1， GH=4，求出S0=4，根据图形得S1+S2+S3=S0+S4根据已知3S0=S1+S2+S3+S4解得S4=4，可得点P的运动轨迹是△ACD中平行于AC的一条线段MN，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，根据三角形面积公式求出OQ=2，得到DQ=1，从而求出MN=2，解答即可.
11．（2025·大庆）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．（2025·大庆）因式分解：x2-x= ．
【答案】x（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2-x=x（x-1）
答案为：x（x-1）
【分析】观察此多项式含有公因式，提取公因式即可。
13．（2025·大庆） 写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 ．
【答案】
【知识点】函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y的值随x值增大而增大
∴
（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据一次函数y的值随x值增大而增大，只需写出的一次函数即可满足条件，答案不唯一，解答即可.
14．（2025·大庆） 不等式组的整数解有 个．
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解①得
解②得
∴不等式组的解集为
∴整数解为：2，3，共2个
故答案为：2.
【分析】先解每一个不等式，再求出不等式组得解集，最后找到整数解，解答即可.
15．（2025·大庆） 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解：记”豆包”、"腾讯元宝”、”即梦AI"、“文心一言”分别用字母A， B， C， D表示， .
根据题意可列出表格如下：
A B C D
A - (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) - (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) - (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) -
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，
∴小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为合==
故答案为：.
【分析】根据题意用列表法列出“豆包”、"腾讯元宝” 、”即梦AI" 、”文心一言” 分别包”和“腾讯元宝"的结果共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，再根据概率公式计算即可解答.
16．（2025·大庆） 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，
由题意可知：AD平分BAC，
∵
∴DG=DB，
中，，，
∴
∵AB=2
∴
∴DG=DB=
故答案为：.
【分析】作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，由题意可知AD平分BAC，再根据角平分线的性质得到DG=DB，再利用30 角的正切计算即可解答.
17．（2025·大庆） 如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】
解：根据题意得：
第一个扇形，圆心角为90°，半径为AD= AE=1，面积为x12；
第二个扇形，圆心角为90°，半径为BE = BF=2，面积为x22；
第三个扇形，圆心角为90°，半径为CF= CG=3，面积为x32；
则第四个扇形，圆心角为90°，半径为DG= DH=3，面积为x42；
∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为x12+x22+x32+x42=
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积公式先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解第四个扇形，计算即可解答.
18．（2025·大庆） 定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为 ．
①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是．
【答案】①②④
【知识点】解二元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数图象的对称性；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解： ① 、将A(1， 1)代入函数解析式： y= 12+1-1=1符合；将A1(-1，-1)代入函数y=(-1)2+(-1)-1=-1，符合；因此两点均在函数图象上，①正确；
②、 反比例函数 关于原点对称，若点(m，)在图象上，则其对称点(-m，-)代入函数得y=也在图象上；由于m可取任意非零实数，故有无数组“奇对称点对”，②正确；
③ 、将C(1， 2)代入得： a+b-1=2，即a+b=3；将C1(-1，- 2)代入得： a-b-1=-2，即a-b=-1，联立解得a=1， b=2，与题目中a= 2， b= 2不符，故③错误；
④ 、w函数由y=-x(x<0)和y=-x2 +2x-k (x≥0)组成；“奇对称点对”需满足：若(m，n)在图象上，则(-m，-n)也在图象上，分两种情况：
当m> 0时，(m，n)在x≥0部分，即n=-m2+ 2m-k； (- m，-n)在x < 0部分，即-n=m (因x< 0时y=-x)，联
立得m2-3m+k=0，需有正根；
当m< 0时，(m，n)在x < 0部分，即n=-m； (-m，-n)在x 0部分，即-n=-(-m)2+2(-m)-k，联立得m2 + 3m+k=0，需有负根；
两方程均有实根的条件为判别式：
△=9-4k≥0 (即k≤)，且k> 0 (题目规定)；当0< k<时，两方程各有两个实根(正根和负根)，对应两组“ 奇对称点对”，④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据定义将A(1， 1)，A1(-1，-1)代入计算然后判断即可；②根据反比例函数的对称性代入计算即可判断； ③ 将C(1， 2)，C1(-1，- 2)代入得到两个等式a+b=3，a-b=-1，计算得到a，b的值，即可判断；④根据w函数有两组“奇对称点对”得到若(m，n)在图象上，则(-m，-n)也在图象上，分两种情况讨论即可判断，逐一判断即可解答.
19．（2025·大庆） 求值：．
【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）
【解析】【分析】先计算，再算零指数幂为1，再算绝对值，最后计算加减即可解答.
20．（2025·大庆） 先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当 时，原式=
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的通分计算，再算除法，最后约分化简，代入数值计算即可解答.
21．（2025·大庆） 某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位）
【答案】解：设模型A每小时处理x GB数据，则模型B每小时处理(x + 10) GB数据，
交叉相乘得：
300x = 200(x+ 10)
展开并整理：
300x = 200x + 2000
100x = 2000
解得：x=20
经检验：x=20是原方程的解，
答：模型A每小时能处理数据.
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】设模型A每小时处理x GB数据，则模型B每小时处理(x + 10) GB数据，根据题意：模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，列式计算即可解答.
22．（2025·大庆） 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）．
【答案】解：延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，
由题意得： AE=BF=40米，AB=EF=70米，
在RtADE中，∠ADE=45°，
∴DE==40 (米)，
∴DF=EF-DE=70-40=30 (米) ，
在Rt△CDF中，∠CDF=30°，
∴CF=DFtan30°=30=(米)，
∴BC=BF-CF=40-≈23 (米)
∴楼房高度约为23米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【分析】延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，根据题意可得 AE=BF=40米，AB=EF=70米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DF的长，再在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答.
23．（2025·大庆） 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①此次抽查的学生总数为 ▲ ；
②请补全抽取的学生成绩条形统计图；
③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为 ▲ 分；
（2）在扇形统计图中： ，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是 度；
（3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？
【答案】（1）解：①200人；
②200X25%=50 (人)，补全抽取的学生成绩条形统计图如下：
③90
（2）40；72
（3）解：3000=1800 (人)，
答：该校3000名学生中得分不低于90分的学生大约有1800人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：(1)①被调查的人数为： 40 20%=200(人)，
故答案为： 200；
③样本中竞赛成绩出现次数最多的是90分，共出现80次，因此学生竞赛成绩的众数是90分，
故答案为： 90；
(2) 80 200X 100%=40%，即m=40，
360°=，
故答案为： 40， 72；
【分析】
(1)①从两个统计图可知，样本中竞赛成绩为100分的有40人，占被调查人数的20%，由频率=频数总数即可求出被调查人数，解答即可；
②求出样本中竞赛成绩为80分的学生人数即可补全条形统计图，解答即可；
③根据众数的定义进行解答即可；
(2)求出样本中，竞赛成绩为90分的学生所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，确定m的值；
(3)样本估计整体，求出样本中得分不低于90分的学生所占的百分比，估计总体中得分不低于90分的学生所占的百分比，由频率=频数总数计算即可解答.
24．（2025·大庆） 如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长．
【答案】（1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称，
，，
，
，
在和中，
，
（ASA），
，
又，
∵四边形ABCD是平行四边形，
又，
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：由 (1) 得：四边形 ABCD 是菱形，
，
，
，
，
在Rt中，由勾股定理得：，
在Rt中，由勾股定理得：，
，，
，
.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
(1)根据轴对称的性质和平行线的性质，利用ASA证明，利用全等三角形的性质和已知条件课判定四边形ABCD是平行四边形，从而可解答；
（2）根据菱形的性质和线段的和差可得BE=8，利用勾股定理计算得到DE，BD的长；再根据菱形的面积公式计算即可解答.
25．（2025·大庆） 为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
（1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
（2）求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】（1）解：由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，
答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元.
（2）解：由题意，每套成本为25+35=60元，售价为a元，
每套利润为元.
售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，
故销量为80+10（72-a）=800-10a
利润.
65≤a≤72且a为整数，
∴当a=70时，每天的利润W最大.
【知识点】解二元一次方程；二次函数的最值；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，根据题意列出方程组，计算即可解答；
（2）设售价为a元，得到每套利润为元，表示出利润w，再根据二次函数的性质求得当a=70时，每天的利润W最大，解答即可.
26．（2025·大庆） 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标及的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：作BF⊥x轴于点F，
∵△OBA为等边三角形，0A= 2，
∴OB=2，OF= AF= 1，
∴BF=
∴点B的坐标为(1，)，
∵点B在反比例函数 的图象上，
∴k=1x=，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为( -1， -)，
∵OA=2，
∴点A的坐标为(2， 0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴解得
∴直线AC的解析式为
解得到x= 3或x= -1 (舍去) ，经检验，x = 3是原方程的解，
∴点D的坐标为（3，）
∴，
（3）解：点Q的坐标为或，理由如下：
∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴OA=OB=OC， ∠BOA=∠BAO= 60°，
∴∠OAC=∠OCA=∠BOA= 30° ，
∴∠BAC= 90° .
当DQ⊥x轴时，
∠DAQ=∠OAC=∠BCA=30°，∠DQA=∠BAC= 90° ，
∴△DQA△BAC，
∵点D的坐标为（3，）
∴点Q的坐标为(3， 0)；
当DQ⊥AD时，
∠DAQ=∠OAC=∠BCA=30°，∠QDA= ∠BAC= 90°
∴△QDA△BAC，
∵点D的坐标为（3，），点A的坐标为(2， 0)，
∴AD=，
∴
∴
∴点Q的坐标为
综上可知：点Q的坐标为或.
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
(1)作BF⊥x轴于点F，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为(1，)，再用待定系数法求解即可解答；
(2)根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为( -1， -)，利用待定系数法求得AC的解析式为 ，解得到D的坐标，再利用面积公式计算即可解答；
(3)先求得∠ACB=30°，∠BAC= 90° ，分当DQ⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论，解答即可.
27．（2025·大庆） 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足．
（1）求证：平分；
（2）证明：；
（3）若射线与相切于点A，，，求的值．
【答案】（1）证明：∵DE为 E外接圆 的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠BAD=∠EAC+∠DAC=90°，
∵∠CAE=∠MAE，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接 AO，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： 射线BM与相切于点A
，
由（2）知，，
，
，
∴设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠DAE=90°，再利用余角结合已知条件计算得到∠BAD=∠CAD，解答即可；
（2）连接 AO，根据等边对等角得到再根据角度的和差运算得到，即可根据AA判定，再根据相似三角形的性质解答即可；
（3）由切线的性质和相似的性质设，表示出OD，OB建立方程计算即可得到，利用勾股定理可得AC，再利用余角的性质计算得到，再根据正切的定义计算即可解答.
28．（2025·大庆） 如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由；
（3）点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围．
【答案】（1）解： ∵二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点
∴
解得，
∴二次函数的解析式为y=.
（2）解：直线l与二次函数的图象的公共点只有一个，理由如下：
设直线AE与x轴的交点为G，延长MA交x轴于点H，直线AT与x轴的交点为N，设直线AE的解析式为，
，
解得，
直线AF的解析式为y=
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
设直线 A N 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 A T 的解析式为 ，
当 时，整理得 ，
，
直线 与二次函数的图象的公共点只有一个；
（3）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】
(3)解：设直线AE的解析式为y= k1x+b1(k1≠0)，代入F(0，1)，.
∴解得
∴直线AE的解析式为
解得到
∴
如图：
当以AE为直径的圆与x轴相交时，设交点为M，N，交点与A， E构成的三角形为直角三角形，
当P在MN之间时，即P在圆内，此时∠APE> 90°，
∵，，，
∴，
∴∠APE= 90°时，时，
∴，
解得
∴∠APE为钝角时，，
故答案为：.
【分析】
(1)根据二次函数的图象对称轴为y轴，过坐标原点O及，用待定系数法求解析式代入计算解答；
(2) 设AB与y轴交于点G，过点A作AH⊥y轴于点H，先解RtHAF，进而得出GFA是等边三角形，得出G(0，5)， 进而根据含30的直角三角形的性质得的解析式为y=x- 3，联立二次函数解析式，即可求解；
(3)先求得直线TA的解析式为，联立二次函数解析式得出，当以AE为直径的圆与x轴相交时，设交点为M，N，交点与A， E构成的三角形为直角三角形 即P在圆内，此时c APE > 90° ， 进而根据∠APE = 90° ，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而可根据∠APE为钝角时，确定m的范围，即可解答.
1 / 1黑龙江省大庆市2025年中考数学真题
1．（2025·大庆） -2025的绝对值是（ ）
A．2025 B． C．-2025 D．
2．（2025·大庆） 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·大庆） 近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·大庆） 由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·大庆） 一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·大庆） 下列说法正确的是（ ）
A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式
B．64的平方根为8
C．若一个正多边形的每个内角都是，那么这个多边形是正五边形
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
7．（2025·大庆） 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
8．（2025·大庆） 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
9．（2025·大庆） 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（ ）
A． B．4 C． D．
10．（2025·大庆） 如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（ ）
A．2 B． C．4 D．
11．（2025·大庆）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
12．（2025·大庆）因式分解：x2-x= ．
13．（2025·大庆） 写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 ．
14．（2025·大庆） 不等式组的整数解有 个．
15．（2025·大庆） 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 ．
16．（2025·大庆） 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ．
17．（2025·大庆） 如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π）
18．（2025·大庆） 定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为 ．
①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是．
19．（2025·大庆） 求值：．
20．（2025·大庆） 先化简，再求值：，其中．
21．（2025·大庆） 某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位）
22．（2025·大庆） 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）．
23．（2025·大庆） 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①此次抽查的学生总数为 ▲ ；
②请补全抽取的学生成绩条形统计图；
③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为 ▲ 分；
（2）在扇形统计图中： ，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是 度；
（3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？
24．（2025·大庆） 如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长．
25．（2025·大庆） 为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
（1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
（2）求当a为何值时，每天的利润W最大．
26．（2025·大庆） 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标及的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2025·大庆） 如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足．
（1）求证：平分；
（2）证明：；
（3）若射线与相切于点A，，，求的值．
28．（2025·大庆） 如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由；
（3）点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解： -2025的绝对值是2025
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值等于它的相反数，解答即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据定义：中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形； 轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 15000000000 =
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
4．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：
该几何体的主视图为：
故答案为：D.
【分析】根据几何体的主视图，即是从正面看得到的图形，解答即可.
5．【答案】B
【知识点】圆锥的体积
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据圆锥的体积公式， 计算即可解答.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；全面调查与抽样调查；方差；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，具有破坏性，其范围广，最适宜采用抽样调查的方式，原说法不正确，故A不符合题意；
B、64的平方根为土8，原说法不正确，故B不符合题意；
C、多边形的每一个内角都是108° ，则每一个外角都是180°-108°=72° ，
∵多边形的外角和为360° ，这个多边形的边数为360° 72°=5，那么这个多边形是正五边形，原说法正确，故C符合题意；
D、甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，则方差越小越稳定，因而甲更稳定，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据调查方式调查某种灯泡的使用寿命适宜采用抽样调查，可判断A；64的平方根为土8，由此可判断B；先根据正多边形的每一个内角都是108°计算得到外角的度数，从而计算得到边长，可判断C；根据方差越小越稳定，可判断D；逐一判断即可解答.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴
由旋转可知∠BAD=120°，
∴∠CAD=90° ，
由旋转得： AD=AB=2，∠ADE=120° ，
∴∠ADC=60°，
∴∠ACD=30°，
∴CD=2AD=2X2=4，
故答案为：B.
【分析】
由等腰三角形的性质得∠BAC=30°；再由旋转的性质得∠CAD=90°，AD=AB=2，∠ADE=120°，从而得∠ADC=60°，∠ACD=30°， 故可得CD=2AD，计算即可解答.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；线段的中点；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：解：令点A坐标为(m，)
∵点E为OA的中点，
∴点E的横坐标为，
∵CD⊥x轴，
∴点C的横坐标为，
则点C坐标可表示为(，)
将正比例函数y=kx (k>0) 的图象向上平移 个单位后，所得直线的函数解析式为y=kx +，
将点A和点C坐标分别代入y=kx和y=kx+，解得m=2，
经检验m=2是原方程的解，且符合题意，则2k=1，
解得k=，
故答案为：C.
【分析】令点A坐标为(m，)，结合点E为OA的中点，用m表示出点E的横坐标，进一步用m表示出点C的坐标，再将A，C两点坐标分别代入所在直线的函数解析式，计算即可解答.
9．【答案】D
【知识点】解一元一次方程；矩形的性质；矩形的判定；四边形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：作QEAB于点E，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形BCQE是矩形，
∴CQ=BE，
由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，
∴PH=20-AP-BH=20-3t，
∵QP=QH， QE⊥AB，
∴PE=HE=PH=10-
∴BE=AB-AP-PE=20-t-(10-)=10+
∵CQ=BE，
∴4t=10+
解得
故答案为：D.
【分析】由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，求得PH=20-3t，根据等腰三角形的性质得到PE=10-，再由线段的和差运算得到BE的值，再利用CQ=BE，列式计算即可解答.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】
解：在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=3，∠BAC=∠BCA=45，
∴AC=AB=6，
∵EGAC， FHAC，
∴ ∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90 ，∠AEG=∠HFC=45，
∴△AGE，△HFC为等腰直角三角形，
∴AG=GE， HC=HF，
∵ AE=CF=
∴由勾股定理得AG=GE=HC=HF=1，BE=BF，GH=AC-AG-CH=4，
∴∠BEF=∠BFE=45° ，
∴∠BEF=45° ，
∴∠GEF=180°-45°-45°=90°，
∵∠EGH=∠FHG=90°，
∴四边形GEFH是矩形，
∴S0=EGGH=1X4=4，
∵S1+S2+S3=S0+S4， 3S0=S1+S2+S3+S4，
∴S4=4，
∵动点P在△ACD内部及边界上运动，
∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，
则△DMN是等腰直角三角形，
如图，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，
则DO=
∵S4=4
∴GHOQ=4， GH=4，
∴OQ=2，
∴DQ=OD-0Q=3-2=1，
∴MN=2，
即点P组成的图形长度为2，
故答案为：A.
【分析】由正方形的性质得AC=6，AG=CH=1，求出GE=1， GH=4，求出S0=4，根据图形得S1+S2+S3=S0+S4根据已知3S0=S1+S2+S3+S4解得S4=4，可得点P的运动轨迹是△ACD中平行于AC的一条线段MN，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，根据三角形面积公式求出OQ=2，得到DQ=1，从而求出MN=2，解答即可.
11．【答案】x≥1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．【答案】x（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2-x=x（x-1）
答案为：x（x-1）
【分析】观察此多项式含有公因式，提取公因式即可。
13．【答案】
【知识点】函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y的值随x值增大而增大
∴
（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据一次函数y的值随x值增大而增大，只需写出的一次函数即可满足条件，答案不唯一，解答即可.
14．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解①得
解②得
∴不等式组的解集为
∴整数解为：2，3，共2个
故答案为：2.
【分析】先解每一个不等式，再求出不等式组得解集，最后找到整数解，解答即可.
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解：记”豆包”、"腾讯元宝”、”即梦AI"、“文心一言”分别用字母A， B， C， D表示， .
根据题意可列出表格如下：
A B C D
A - (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) - (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) - (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) -
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，
∴小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为合==
故答案为：.
【分析】根据题意用列表法列出“豆包”、"腾讯元宝” 、”即梦AI" 、”文心一言” 分别包”和“腾讯元宝"的结果共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，再根据概率公式计算即可解答.
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，
由题意可知：AD平分BAC，
∵
∴DG=DB，
中，，，
∴
∵AB=2
∴
∴DG=DB=
故答案为：.
【分析】作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，由题意可知AD平分BAC，再根据角平分线的性质得到DG=DB，再利用30 角的正切计算即可解答.
17．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】
解：根据题意得：
第一个扇形，圆心角为90°，半径为AD= AE=1，面积为x12；
第二个扇形，圆心角为90°，半径为BE = BF=2，面积为x22；
第三个扇形，圆心角为90°，半径为CF= CG=3，面积为x32；
则第四个扇形，圆心角为90°，半径为DG= DH=3，面积为x42；
∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为x12+x22+x32+x42=
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积公式先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解第四个扇形，计算即可解答.
18．【答案】①②④
【知识点】解二元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数图象的对称性；二次函数y=ax²+bx+c的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解： ① 、将A(1， 1)代入函数解析式： y= 12+1-1=1符合；将A1(-1，-1)代入函数y=(-1)2+(-1)-1=-1，符合；因此两点均在函数图象上，①正确；
②、 反比例函数 关于原点对称，若点(m，)在图象上，则其对称点(-m，-)代入函数得y=也在图象上；由于m可取任意非零实数，故有无数组“奇对称点对”，②正确；
③ 、将C(1， 2)代入得： a+b-1=2，即a+b=3；将C1(-1，- 2)代入得： a-b-1=-2，即a-b=-1，联立解得a=1， b=2，与题目中a= 2， b= 2不符，故③错误；
④ 、w函数由y=-x(x<0)和y=-x2 +2x-k (x≥0)组成；“奇对称点对”需满足：若(m，n)在图象上，则(-m，-n)也在图象上，分两种情况：
当m> 0时，(m，n)在x≥0部分，即n=-m2+ 2m-k； (- m，-n)在x < 0部分，即-n=m (因x< 0时y=-x)，联
立得m2-3m+k=0，需有正根；
当m< 0时，(m，n)在x < 0部分，即n=-m； (-m，-n)在x 0部分，即-n=-(-m)2+2(-m)-k，联立得m2 + 3m+k=0，需有负根；
两方程均有实根的条件为判别式：
△=9-4k≥0 (即k≤)，且k> 0 (题目规定)；当0< k<时，两方程各有两个实根(正根和负根)，对应两组“ 奇对称点对”，④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据定义将A(1， 1)，A1(-1，-1)代入计算然后判断即可；②根据反比例函数的对称性代入计算即可判断； ③ 将C(1， 2)，C1(-1，- 2)代入得到两个等式a+b=3，a-b=-1，计算得到a，b的值，即可判断；④根据w函数有两组“奇对称点对”得到若(m，n)在图象上，则(-m，-n)也在图象上，分两种情况讨论即可判断，逐一判断即可解答.
19．【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）
【解析】【分析】先计算，再算零指数幂为1，再算绝对值，最后计算加减即可解答.
20．【答案】解：原式
，
当 时，原式=
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的通分计算，再算除法，最后约分化简，代入数值计算即可解答.
21．【答案】解：设模型A每小时处理x GB数据，则模型B每小时处理(x + 10) GB数据，
交叉相乘得：
300x = 200(x+ 10)
展开并整理：
300x = 200x + 2000
100x = 2000
解得：x=20
经检验：x=20是原方程的解，
答：模型A每小时能处理数据.
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】设模型A每小时处理x GB数据，则模型B每小时处理(x + 10) GB数据，根据题意：模型B处理300GB数据的时间与模型A处理200GB数据的时间相同，列式计算即可解答.
22．【答案】解：延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，
由题意得： AE=BF=40米，AB=EF=70米，
在RtADE中，∠ADE=45°，
∴DE==40 (米)，
∴DF=EF-DE=70-40=30 (米) ，
在Rt△CDF中，∠CDF=30°，
∴CF=DFtan30°=30=(米)，
∴BC=BF-CF=40-≈23 (米)
∴楼房高度约为23米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念；已知正切值求边长
【解析】【分析】延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，垂足为E，则BF⊥l，根据题意可得 AE=BF=40米，AB=EF=70米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DF的长，再在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答.
23．【答案】（1）解：①200人；
②200X25%=50 (人)，补全抽取的学生成绩条形统计图如下：
③90
（2）40；72
（3）解：3000=1800 (人)，
答：该校3000名学生中得分不低于90分的学生大约有1800人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：(1)①被调查的人数为： 40 20%=200(人)，
故答案为： 200；
③样本中竞赛成绩出现次数最多的是90分，共出现80次，因此学生竞赛成绩的众数是90分，
故答案为： 90；
(2) 80 200X 100%=40%，即m=40，
360°=，
故答案为： 40， 72；
【分析】
(1)①从两个统计图可知，样本中竞赛成绩为100分的有40人，占被调查人数的20%，由频率=频数总数即可求出被调查人数，解答即可；
②求出样本中竞赛成绩为80分的学生人数即可补全条形统计图，解答即可；
③根据众数的定义进行解答即可；
(2)求出样本中，竞赛成绩为90分的学生所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，确定m的值；
(3)样本估计整体，求出样本中得分不低于90分的学生所占的百分比，估计总体中得分不低于90分的学生所占的百分比，由频率=频数总数计算即可解答.
24．【答案】（1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称，
，，
，
，
在和中，
，
（ASA），
，
又，
∵四边形ABCD是平行四边形，
又，
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：由 (1) 得：四边形 ABCD 是菱形，
，
，
，
，
在Rt中，由勾股定理得：，
在Rt中，由勾股定理得：，
，，
，
.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
(1)根据轴对称的性质和平行线的性质，利用ASA证明，利用全等三角形的性质和已知条件课判定四边形ABCD是平行四边形，从而可解答；
（2）根据菱形的性质和线段的和差可得BE=8，利用勾股定理计算得到DE，BD的长；再根据菱形的面积公式计算即可解答.
25．【答案】（1）解：由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，
答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元.
（2）解：由题意，每套成本为25+35=60元，售价为a元，
每套利润为元.
售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，
故销量为80+10（72-a）=800-10a
利润.
65≤a≤72且a为整数，
∴当a=70时，每天的利润W最大.
【知识点】解二元一次方程；二次函数的最值；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，根据题意列出方程组，计算即可解答；
（2）设售价为a元，得到每套利润为元，表示出利润w，再根据二次函数的性质求得当a=70时，每天的利润W最大，解答即可.
26．【答案】（1）解：作BF⊥x轴于点F，
∵△OBA为等边三角形，0A= 2，
∴OB=2，OF= AF= 1，
∴BF=
∴点B的坐标为(1，)，
∵点B在反比例函数 的图象上，
∴k=1x=，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为( -1， -)，
∵OA=2，
∴点A的坐标为(2， 0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴解得
∴直线AC的解析式为
解得到x= 3或x= -1 (舍去) ，经检验，x = 3是原方程的解，
∴点D的坐标为（3，）
∴，
（3）解：点Q的坐标为或，理由如下：
∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴OA=OB=OC， ∠BOA=∠BAO= 60°，
∴∠OAC=∠OCA=∠BOA= 30° ，
∴∠BAC= 90° .
当DQ⊥x轴时，
∠DAQ=∠OAC=∠BCA=30°，∠DQA=∠BAC= 90° ，
∴△DQA△BAC，
∵点D的坐标为（3，）
∴点Q的坐标为(3， 0)；
当DQ⊥AD时，
∠DAQ=∠OAC=∠BCA=30°，∠QDA= ∠BAC= 90°
∴△QDA△BAC，
∵点D的坐标为（3，），点A的坐标为(2， 0)，
∴AD=，
∴
∴
∴点Q的坐标为
综上可知：点Q的坐标为或.
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
(1)作BF⊥x轴于点F，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为(1，)，再用待定系数法求解即可解答；
(2)根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为( -1， -)，利用待定系数法求得AC的解析式为 ，解得到D的坐标，再利用面积公式计算即可解答；
(3)先求得∠ACB=30°，∠BAC= 90° ，分当DQ⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论，解答即可.
27．【答案】（1）证明：∵DE为 E外接圆 的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠BAD=∠EAC+∠DAC=90°，
∵∠CAE=∠MAE，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接 AO，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： 射线BM与相切于点A
，
由（2）知，，
，
，
∴设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠DAE=90°，再利用余角结合已知条件计算得到∠BAD=∠CAD，解答即可；
（2）连接 AO，根据等边对等角得到再根据角度的和差运算得到，即可根据AA判定，再根据相似三角形的性质解答即可；
（3）由切线的性质和相似的性质设，表示出OD，OB建立方程计算即可得到，利用勾股定理可得AC，再利用余角的性质计算得到，再根据正切的定义计算即可解答.
28．【答案】（1）解： ∵二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点
∴
解得，
∴二次函数的解析式为y=.
（2）解：直线l与二次函数的图象的公共点只有一个，理由如下：
设直线AE与x轴的交点为G，延长MA交x轴于点H，直线AT与x轴的交点为N，设直线AE的解析式为，
，
解得，
直线AF的解析式为y=
，
，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
设直线 A N 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 A T 的解析式为 ，
当 时，整理得 ，
，
直线 与二次函数的图象的公共点只有一个；
（3）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】
(3)解：设直线AE的解析式为y= k1x+b1(k1≠0)，代入F(0，1)，.
∴解得
∴直线AE的解析式为
解得到
∴
如图：
当以AE为直径的圆与x轴相交时，设交点为M，N，交点与A， E构成的三角形为直角三角形，
当P在MN之间时，即P在圆内，此时∠APE> 90°，
∵，，，
∴，
∴∠APE= 90°时，时，
∴，
解得
∴∠APE为钝角时，，
故答案为：.
【分析】
(1)根据二次函数的图象对称轴为y轴，过坐标原点O及，用待定系数法求解析式代入计算解答；
(2) 设AB与y轴交于点G，过点A作AH⊥y轴于点H，先解RtHAF，进而得出GFA是等边三角形，得出G(0，5)， 进而根据含30的直角三角形的性质得的解析式为y=x- 3，联立二次函数解析式，即可求解；
(3)先求得直线TA的解析式为，联立二次函数解析式得出，当以AE为直径的圆与x轴相交时，设交点为M，N，交点与A， E构成的三角形为直角三角形 即P在圆内，此时c APE > 90° ， 进而根据∠APE = 90° ，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而可根据∠APE为钝角时，确定m的范围，即可解答.
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