宁夏回族自治区2025年中考数学真题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
1．（2025·宁夏回族自治区） 如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意可得：
点表示的数可能是
故答案为：B
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．（2025·宁夏回族自治区） 如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意即可得：
∠1，∠4为同位角，可以判断两直线平行
故答案为：C
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
3．（2025·宁夏回族自治区） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据合并同类项性质，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·宁夏回族自治区） 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．三种视图都不变
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘，在此过程中，左视图不变
故答案为：B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．（2025·宁夏回族自治区） 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设合伙人数为人，羊价为钱
由题意可得：
故答案为：C
【分析】 设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意建立方程组即可求出答案.
6．（2025·宁夏回族自治区） 下列判断正确的是（ ）
A．若点关于轴的对称点在第二象限，则
B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
C．4的平方根是2
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【知识点】垂线的概念；中心投影；点的坐标与象限的关系；求算术平方根
【解析】【解答】解：A：若点关于轴的对称点在第二象限，则，正确，符合题意；
B：夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由长变短，错误，不符合题意；
C：4的平方根是±2，错误，不符合题意；
D：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据第二象限内点的坐标特征可判断A；根据投影性质可判断B选项；根据平方根定义可判断C，根据垂线可判断D.
7．（2025·宁夏回族自治区） 函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OA，OB
由题意可得：OC⊥AB
∴
∵
∴
∴，且k2<0
∴
∴
故答案为：A
【分析】连接OA，OB，由题意可得：OC⊥AB，，根据反比例函数k的几何意义可得，则，即，化简即可求出答案.
8．（2025·宁夏回族自治区） 老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．的长，的度数 B．的长，的度数
C．的长，的度数 D．的长，的度数
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5
在Rt△ECH中，∠AHC=90°，
∴
在Rt△AEH中，∠AHE=90°，
∴
∵CD=DH-CH
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5，根据正切定义可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（2025·宁夏回族自治区）计算： ．
【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：
∵33=27，∴ 。
【分析】开三次方根
10．（2025·宁夏回族自治区） 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴关于的方程组的解是
故答案为：
【分析】根据两一次函数相交点的坐标为联立方程组的解集，即可求出答案.
11．（2025·宁夏回族自治区） 为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记器乐、舞蹈和声乐分别为A，B，C
画出树状图
∴共有9种等可能的结果，随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的结果有3种
∴概率为
故答案为：
【分析】记器乐、舞蹈和声乐分别为A，B，C，画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．（2025·宁夏回族自治区） 不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①可得：x<2
解不等式②可得：x≤5
∴不等式组的解集为
故答案为：
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可求出答案.
13．（2025·宁夏回族自治区） 如图，⊙是的内切圆，，则 ．
【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙是的内切圆
∴
∵∠A=54°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-2(∠ABC+∠ACB)
=117°
故答案为：117
【分析】根据三角形内切圆性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．（2025·宁夏回族自治区） 一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴
故答案为：1
【分析】根据题意建立方程组，解方程组可得x，y值，再代入代数式即可求出答案.
15．（2025·宁夏回族自治区） 编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步．
【答案】
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：机器人正好走了一个正多边形
∴360÷15°=24
∴该正多边形为正24边形
∴第一次回到出发点时，该机器人共走了24步
故答案为：24n
【分析】由题意可得：机器人正好走了一个正多边形，根据正多边形外角性质可得该正多边形为正24边形，即可求出答案.
16．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)．
【答案】2
【知识点】勾股定理；圆柱的计算；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：圆柱形笔筒的高为10，笔筒的底面圆周长为24
∴笔筒的地面圆直径为：
铅笔放入笔筒内最长为：
∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.6-12.8≈2
故答案为：2
【分析】由题意可得：圆柱形笔筒的高为10，笔筒的底面圆周长为24，求出圆的直径，根据勾股定理可得铅笔放入笔筒内最长为8，再作差即可求出答案.
三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）
17．（2025·宁夏回族自治区） 计算：．
【答案】解：原式=
=
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2025·宁夏回族自治区） 化简求值：，其中．
【答案】解：原式=
=；
∵
∴原式=
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将a值代入即可求出答案.
19．（2025·宁夏回族自治区） 如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
（1）由②得与的数量关系是 ；由③得到的结论是 ．
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）；射线平分
（2）证明：由作图可知PA=AB=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
由作图可知AQ平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PCA=∠CAB，
∴PC∥AB，
∵PC=AB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP=AB，
∴四边形ABCP是菱形．
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图即可求出答案.
（2）由作图可知PA=AB=PC，根据等边对等角可得∠PAC=∠PCA，由作图可知AQ平分∠PAB，根据角平分线定义可得∠PAC=∠CAB，则∠PCA=∠CAB，根据直线平行判定定理可得PC∥AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
20．（2025·宁夏回族自治区） 定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．
（1）【理解定义】
三位数是否为“极差数”？ ．
（2）【建模推理】
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为 ；
（3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
【答案】（1）不是
（2）
（3）解：任意一个“极差数”都能被11整除．
理由：
设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），
所以b-c=a，b=a+c，
所以=100a+10b+c
=100a+10（a+c)+c
=100a+10a+10c+c
=110a+llc
=11（10a+c)，
因为a、b、c为正整数，
所以10a+c为正整数，
所以11（10a+c）能被11整除，
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）∵6-5=1，1≠2
∴三位数不是“极差数”
故答案为：不是
（2）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，
∴与的关系式为
故答案为：
【分析】（1）根据“极差数”的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据“极差数”的定义进行判断即可求出答案.
（3）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），根据“极差数”的定义可得b-c=a，b=a+c，则=100a+10b+c=11（10a+c)，根据整除的定义即可求出答案.
21．（2025·宁夏回族自治区） 中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
（1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
（2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设大号中国结编了x个，小号中国结编了y个
由题意可得：4x+3y=25
∴
∵x，y均为正整数
∴当y=3时，x=4
当y=7时，x=1
∴大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个．
（2）解：设大号编织m个，则小号编织(350-m)个
由题意可得：4m+3(350-m)≤1200
解得：m≤150
∵m为正整数
∴0设总利润为w元，则
w=12m+8(350-m)=4m+2800
∴当m=150时，w取得最大值，最大值为4×150+2800=3400
答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元．
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设大号中国结编了x个，小号中国结编了y个，根据题意建立方程，化简可得，根据x，y取正整数，再分类讨论即可求出答案.
（2）设大号编织m个，则小号编织(350-m)个，根据题意建立不等式，解不等式可得m取值范围，设总利润为w元，再建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
22．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作的垂线段；
（2）过点作的平行线．
【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求
（2）解：如图，直线ET即为所求
【知识点】作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据平行线定义作图即可.
23．（2025·宁夏回族自治区） 宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
（1）【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是____．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
（2）【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：
甲样本的频数分布表
频数 7 45 15 20 13
乙样本的频数分布直方图
注：每组含最小值，不含最大值．
根据以上信息，解答问题：
①甲样本中组的频率是 ▲ ；
②补全乙样本的频数分布直方图．
（3）【分析与应用】
①填表：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 5.73
乙 15.74 4.85
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）
②估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；
③结合以上数据为基地葡萄种植提出一条合理化建议．
【答案】（1）B
（2）解：①0.45；
②乙样本总频数为100，已知各组频数为9（11≤x＜13），34（13≤x＜15），25（15≤x＜17），7（19≤x＜21）
则17≤x＜19组的频数为：100-（9+34+25+7）=25.
②乙样本的频数分布直方图：
（3）解：①甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，
∴甲样本平均数
∵乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，
前两组频数和为9+34=43，前三组频数和为43+25=68，
∴第50、51个数据落在15≤x<17组，
故乙样本中位数出现的组别落在15≤x＜17组，
填表如下：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 15.74 5.73
乙 15.74 15≤x＜17 4.85
②估计甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数：
甲样本中19≤x＜21组频数为13，频率为
试验田甲种葡萄树共500株，
故估计株数为500×0.13=65（株）；
③合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种葡萄树的方差（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术，
【知识点】全面调查与抽样调查；条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（2）①由题意可得：
甲样本中组的频率是
故答案为0.45
【分析】（1）根据随机抽样的定义即可求出答案.
（2）①根据频数÷总数即可求出答案.
②根据总数减去其他组频数可得17≤x＜19组的频数，再补全频数分布直方图即可求出答案.
（3）①根据平均数，中位数，方差的定义即可求出答案.
②根据总数乘以不低于对应的频率即可求出答案.
③方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
24．（2025·宁夏回族自治区） 如图，四边形内接于⊙平分，连接．
（1）求证：；
（2）延长至点，使，连接．求证：．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴，
∴∠CBD=∠CDB.
（2）证明：∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于，
∴，
∴点E在AB的延长线上，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠DAC=∠BAC，则，再根据等弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）根据圆内接四边形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．（2025·宁夏回族自治区） 如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
（3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线顶点横坐标为-1
∴，解得：a=-1
∴抛物线表达式为
（2）解：当y=0时，
解得：x=-3或x=1(舍去)
∴A(-3，0)
当x=0时，y=3
∴B(0，3)
设直线AB的方程为y=kx+b
将点A，B坐标代入可得：
，解得：
∴直线AB的方程为y=x+3
向上平移m个单位后，直线方程为y=x+3+m
联立抛物线解析式：
整理得：x2+3x+m=0
∵抛物线与直线有交点
∴
解得：
∵m>0
∴
（3）解：存在点P，横坐标为，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）在直线y=x+3中
当x=-1时，y=2
∴D(-1，2)
在
当x=-1时，y=4
∴C(-1，4)
∴
设P(x，y)在抛物线上
如图
①过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P
此时
∵OA=OB，PC∥AB
设直线PC的解析式为y=x+t
将点C-1，4)代入可得，-1+t=4，解得：t=5
∴直线PC的解析式为y=x+5
联立抛物线解析式，解得：
∴点P的坐标为(-2，3)
②过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2
∵CD=DE
∴直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1P2的距离
∴此时存在满足条件的点
∵直线P1P2相较于直线AB，向下平移了4个单位
∴解析式为y=x+1
联立抛物线解析式，解得：
即点P1的横坐标为，点P2的横坐标为
综上所述，存在点P，横坐标为，，
【分析】（1）根据二次函数对称轴公式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得A，B坐标，设直线AB的方程为y=kx+b，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线AB的方程为y=x+3，根据函数图象的平移性质可得向上平移m个单位后，直线方程为y=x+3+m，联立抛物线解析式，整理得：x2+3x+m=0，根据抛物线与直线有交点，则判别式，解不等式即可求出答案.
（3）将x=-1分别代入直线与抛物线解析式可得D(-1，2)，C(-1，4)，根据三角形面积可得，分情况讨论：过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P，此时，设直线PC的解析式为y=x+t，根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得直线PC的解析式为y=x+5，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案；过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2，则直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1P2的距离，此时存在满足条件的点，解析式为y=x+1，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
26．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接．
（1）如图1，当点在上时，求证：是等边三角形；
（2）将图1中的△ADD绕点A顺时针旋转．
①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE=3，则EM= ▲ ．
【答案】（1）证明：∵在中，
，
∵在中
，
∴点F是BD的中点，
∴在中
，在Rt△BED中，，
，，，
，
∴CEF是等边三角形；
（2）解：①（1）中的结论还成立，理由如下：如图，延长DE交AB于点D’，分别延长AD，BC相交于点B'，
由旋转角为可得∴，
又∵，AE=AE，
∴，∴DE=D'E，∴DF=BF，
∴EF是的中位线，∴，∴，
同理可得∴BC=B'C，∴DF=BF，
∴FC是的中位线，∴，∴，
∴是等边三角形；
②3
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）
②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上
∵△CEF为等边三角形
∴EF=CE
∴当EF最大时，即CE取得最大值
∴当点A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大
即△ADE绕点A顺时针旋转240°时，EF最大
延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'
由①可得FC是△BDB'的中位线，EF是△DBD'的中位线
∴CF∥DB'，EF∥BD'
∴∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°
∴△MAE是等边三角形
∴EM=AE=3
故答案为：3
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得可得，，则，，，再根据角之间的关系及等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）①延长DE交AB于点D’，分别延长AD，BC相交于点B'，根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则DE=D'E，根据三角形中位线定理可得，则，同理可得，则BC=B'C，根据三角形中位线定理可得，则，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
②点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，根据等边三角形性质可得EF=CE，当EF最大时，即CE取得最大值，当点A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大，即△ADE绕点A顺时针旋转240°时，EF最大，延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'，根据三角形中位线定理可得CF∥DB'，EF∥BD'，则∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
1 / 1宁夏回族自治区2025年中考数学真题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
1．（2025·宁夏回族自治区） 如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025·宁夏回族自治区） 如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·宁夏回族自治区） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·宁夏回族自治区） 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ）
A．主视图不变 B．左视图不变
C．俯视图不变 D．三种视图都不变
5．（2025·宁夏回族自治区） 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·宁夏回族自治区） 下列判断正确的是（ ）
A．若点关于轴的对称点在第二象限，则
B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
C．4的平方根是2
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．（2025·宁夏回族自治区） 函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
8．（2025·宁夏回族自治区） 老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．的长，的度数 B．的长，的度数
C．的长，的度数 D．的长，的度数
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（2025·宁夏回族自治区）计算： ．
10．（2025·宁夏回族自治区） 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ．
11．（2025·宁夏回族自治区） 为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为 ．
12．（2025·宁夏回族自治区） 不等式组的解集是 ．
13．（2025·宁夏回族自治区） 如图，⊙是的内切圆，，则 ．
14．（2025·宁夏回族自治区） 一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ．
15．（2025·宁夏回族自治区） 编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步．
16．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)．
三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）
17．（2025·宁夏回族自治区） 计算：．
18．（2025·宁夏回族自治区） 化简求值：，其中．
19．（2025·宁夏回族自治区） 如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
（1）由②得与的数量关系是 ；由③得到的结论是 ．
（2）求证：四边形是菱形．
20．（2025·宁夏回族自治区） 定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．
（1）【理解定义】
三位数是否为“极差数”？ ．
（2）【建模推理】
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为 ；
（3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
21．（2025·宁夏回族自治区） 中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
（1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
（2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
22．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）过点作的垂线段；
（2）过点作的平行线．
23．（2025·宁夏回族自治区） 宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
（1）【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是____．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
（2）【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：
甲样本的频数分布表
频数 7 45 15 20 13
乙样本的频数分布直方图
注：每组含最小值，不含最大值．
根据以上信息，解答问题：
①甲样本中组的频率是 ▲ ；
②补全乙样本的频数分布直方图．
（3）【分析与应用】
①填表：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 5.73
乙 15.74 4.85
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）
②估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；
③结合以上数据为基地葡萄种植提出一条合理化建议．
24．（2025·宁夏回族自治区） 如图，四边形内接于⊙平分，连接．
（1）求证：；
（2）延长至点，使，连接．求证：．
25．（2025·宁夏回族自治区） 如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
（3）如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
26．（2025·宁夏回族自治区） 如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接．
（1）如图1，当点在上时，求证：是等边三角形；
（2）将图1中的△ADD绕点A顺时针旋转．
①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE=3，则EM= ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题意可得：
点表示的数可能是
故答案为：B
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意即可得：
∠1，∠4为同位角，可以判断两直线平行
故答案为：C
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意
故答案为：D
【分析】根据合并同类项性质，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘，在此过程中，左视图不变
故答案为：B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设合伙人数为人，羊价为钱
由题意可得：
故答案为：C
【分析】 设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意建立方程组即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】垂线的概念；中心投影；点的坐标与象限的关系；求算术平方根
【解析】【解答】解：A：若点关于轴的对称点在第二象限，则，正确，符合题意；
B：夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由长变短，错误，不符合题意；
C：4的平方根是±2，错误，不符合题意；
D：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据第二象限内点的坐标特征可判断A；根据投影性质可判断B选项；根据平方根定义可判断C，根据垂线可判断D.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OA，OB
由题意可得：OC⊥AB
∴
∵
∴
∴，且k2<0
∴
∴
故答案为：A
【分析】连接OA，OB，由题意可得：OC⊥AB，，根据反比例函数k的几何意义可得，则，即，化简即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5
在Rt△ECH中，∠AHC=90°，
∴
在Rt△AEH中，∠AHE=90°，
∴
∵CD=DH-CH
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5，根据正切定义可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：
∵33=27，∴ 。
【分析】开三次方根
10．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴关于的方程组的解是
故答案为：
【分析】根据两一次函数相交点的坐标为联立方程组的解集，即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记器乐、舞蹈和声乐分别为A，B，C
画出树状图
∴共有9种等可能的结果，随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的结果有3种
∴概率为
故答案为：
【分析】记器乐、舞蹈和声乐分别为A，B，C，画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①可得：x<2
解不等式②可得：x≤5
∴不等式组的解集为
故答案为：
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可求出答案.
13．【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙是的内切圆
∴
∵∠A=54°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-2(∠ABC+∠ACB)
=117°
故答案为：117
【分析】根据三角形内切圆性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴
故答案为：1
【分析】根据题意建立方程组，解方程组可得x，y值，再代入代数式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：机器人正好走了一个正多边形
∴360÷15°=24
∴该正多边形为正24边形
∴第一次回到出发点时，该机器人共走了24步
故答案为：24n
【分析】由题意可得：机器人正好走了一个正多边形，根据正多边形外角性质可得该正多边形为正24边形，即可求出答案.
16．【答案】2
【知识点】勾股定理；圆柱的计算；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得：圆柱形笔筒的高为10，笔筒的底面圆周长为24
∴笔筒的地面圆直径为：
铅笔放入笔筒内最长为：
∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.6-12.8≈2
故答案为：2
【分析】由题意可得：圆柱形笔筒的高为10，笔筒的底面圆周长为24，求出圆的直径，根据勾股定理可得铅笔放入笔筒内最长为8，再作差即可求出答案.
17．【答案】解：原式=
=
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：原式=
=；
∵
∴原式=
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将a值代入即可求出答案.
19．【答案】（1）；射线平分
（2）证明：由作图可知PA=AB=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
由作图可知AQ平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PCA=∠CAB，
∴PC∥AB，
∵PC=AB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP=AB，
∴四边形ABCP是菱形．
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图即可求出答案.
（2）由作图可知PA=AB=PC，根据等边对等角可得∠PAC=∠PCA，由作图可知AQ平分∠PAB，根据角平分线定义可得∠PAC=∠CAB，则∠PCA=∠CAB，根据直线平行判定定理可得PC∥AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
20．【答案】（1）不是
（2）
（3）解：任意一个“极差数”都能被11整除．
理由：
设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），
所以b-c=a，b=a+c，
所以=100a+10b+c
=100a+10（a+c)+c
=100a+10a+10c+c
=110a+llc
=11（10a+c)，
因为a、b、c为正整数，
所以10a+c为正整数，
所以11（10a+c）能被11整除，
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）∵6-5=1，1≠2
∴三位数不是“极差数”
故答案为：不是
（2）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，
∴与的关系式为
故答案为：
【分析】（1）根据“极差数”的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据“极差数”的定义进行判断即可求出答案.
（3）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），根据“极差数”的定义可得b-c=a，b=a+c，则=100a+10b+c=11（10a+c)，根据整除的定义即可求出答案.
21．【答案】（1）解：设大号中国结编了x个，小号中国结编了y个
由题意可得：4x+3y=25
∴
∵x，y均为正整数
∴当y=3时，x=4
当y=7时，x=1
∴大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个．
（2）解：设大号编织m个，则小号编织(350-m)个
由题意可得：4m+3(350-m)≤1200
解得：m≤150
∵m为正整数
∴0设总利润为w元，则
w=12m+8(350-m)=4m+2800
∴当m=150时，w取得最大值，最大值为4×150+2800=3400
答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元．
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设大号中国结编了x个，小号中国结编了y个，根据题意建立方程，化简可得，根据x，y取正整数，再分类讨论即可求出答案.
（2）设大号编织m个，则小号编织(350-m)个，根据题意建立不等式，解不等式可得m取值范围，设总利润为w元，再建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求
（2）解：如图，直线ET即为所求
【知识点】作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据平行线定义作图即可.
23．【答案】（1）B
（2）解：①0.45；
②乙样本总频数为100，已知各组频数为9（11≤x＜13），34（13≤x＜15），25（15≤x＜17），7（19≤x＜21）
则17≤x＜19组的频数为：100-（9+34+25+7）=25.
②乙样本的频数分布直方图：
（3）解：①甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，
∴甲样本平均数
∵乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，
前两组频数和为9+34=43，前三组频数和为43+25=68，
∴第50、51个数据落在15≤x<17组，
故乙样本中位数出现的组别落在15≤x＜17组，
填表如下：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 15.74 5.73
乙 15.74 15≤x＜17 4.85
②估计甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数：
甲样本中19≤x＜21组频数为13，频率为
试验田甲种葡萄树共500株，
故估计株数为500×0.13=65（株）；
③合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种葡萄树的方差（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术，
【知识点】全面调查与抽样调查；条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（2）①由题意可得：
甲样本中组的频率是
故答案为0.45
【分析】（1）根据随机抽样的定义即可求出答案.
（2）①根据频数÷总数即可求出答案.
②根据总数减去其他组频数可得17≤x＜19组的频数，再补全频数分布直方图即可求出答案.
（3）①根据平均数，中位数，方差的定义即可求出答案.
②根据总数乘以不低于对应的频率即可求出答案.
③方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
24．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴，
∴∠CBD=∠CDB.
（2）证明：∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于，
∴，
∴点E在AB的延长线上，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠DAC=∠BAC，则，再根据等弧所对的圆周角相等即可求出答案.
（2）根据圆内接四边形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．【答案】（1）解：∵抛物线顶点横坐标为-1
∴，解得：a=-1
∴抛物线表达式为
（2）解：当y=0时，
解得：x=-3或x=1(舍去)
∴A(-3，0)
当x=0时，y=3
∴B(0，3)
设直线AB的方程为y=kx+b
将点A，B坐标代入可得：
，解得：
∴直线AB的方程为y=x+3
向上平移m个单位后，直线方程为y=x+3+m
联立抛物线解析式：
整理得：x2+3x+m=0
∵抛物线与直线有交点
∴
解得：
∵m>0
∴
（3）解：存在点P，横坐标为，，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）在直线y=x+3中
当x=-1时，y=2
∴D(-1，2)
在
当x=-1时，y=4
∴C(-1，4)
∴
设P(x，y)在抛物线上
如图
①过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P
此时
∵OA=OB，PC∥AB
设直线PC的解析式为y=x+t
将点C-1，4)代入可得，-1+t=4，解得：t=5
∴直线PC的解析式为y=x+5
联立抛物线解析式，解得：
∴点P的坐标为(-2，3)
②过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2
∵CD=DE
∴直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1P2的距离
∴此时存在满足条件的点
∵直线P1P2相较于直线AB，向下平移了4个单位
∴解析式为y=x+1
联立抛物线解析式，解得：
即点P1的横坐标为，点P2的横坐标为
综上所述，存在点P，横坐标为，，
【分析】（1）根据二次函数对称轴公式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得A，B坐标，设直线AB的方程为y=kx+b，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线AB的方程为y=x+3，根据函数图象的平移性质可得向上平移m个单位后，直线方程为y=x+3+m，联立抛物线解析式，整理得：x2+3x+m=0，根据抛物线与直线有交点，则判别式，解不等式即可求出答案.
（3）将x=-1分别代入直线与抛物线解析式可得D(-1，2)，C(-1，4)，根据三角形面积可得，分情况讨论：过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P，此时，设直线PC的解析式为y=x+t，根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得直线PC的解析式为y=x+5，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案；过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2，则直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1P2的距离，此时存在满足条件的点，解析式为y=x+1，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
26．【答案】（1）证明：∵在中，
，
∵在中
，
∴点F是BD的中点，
∴在中
，在Rt△BED中，，
，，，
，
∴CEF是等边三角形；
（2）解：①（1）中的结论还成立，理由如下：如图，延长DE交AB于点D’，分别延长AD，BC相交于点B'，
由旋转角为可得∴，
又∵，AE=AE，
∴，∴DE=D'E，∴DF=BF，
∴EF是的中位线，∴，∴，
同理可得∴BC=B'C，∴DF=BF，
∴FC是的中位线，∴，∴，
∴是等边三角形；
②3
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）
②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上
∵△CEF为等边三角形
∴EF=CE
∴当EF最大时，即CE取得最大值
∴当点A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大
即△ADE绕点A顺时针旋转240°时，EF最大
延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'
由①可得FC是△BDB'的中位线，EF是△DBD'的中位线
∴CF∥DB'，EF∥BD'
∴∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°
∴△MAE是等边三角形
∴EM=AE=3
故答案为：3
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得可得，，则，，，再根据角之间的关系及等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）①延长DE交AB于点D’，分别延长AD，BC相交于点B'，根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则DE=D'E，根据三角形中位线定理可得，则，同理可得，则BC=B'C，根据三角形中位线定理可得，则，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
②点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，根据等边三角形性质可得EF=CE，当EF最大时，即CE取得最大值，当点A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大，即△ADE绕点A顺时针旋转240°时，EF最大，延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'，根据三角形中位线定理可得CF∥DB'，EF∥BD'，则∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
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