第二十二章 二次函数 单元试卷（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、选择题
由二次函数 可知
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线
C．其顶点坐标为
D．当 时， 随 的增大而增大
抛物线 与坐标轴的交点个数是
A． B． C． D．
若抛物线 经过点 ，则 的值是
A． B． C． D．
已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是　　
A． B．3是方程的一个根
C． D．当时，随的增大而减小
在同一平面直角坐标系内，一次函数 与二次函数 的图象可能是
A． B． C． D．
如图，点 ， 的坐标分别为 和 ，抛物线 的顶点在线段 上运动，与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），点 的横坐标最小值为 ，则点 的横坐标最大值为
A． B． C． D．
如图，抛物线 与 轴交于点 ，，把抛物线在 轴及其上方的部分记作 ，将 向右平移得 ， 与 轴交于点 ，．若直线 与 ， 共有 个不同的交点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
函数 与 的图象如图所示，以下结论：① ，② ，③若图象上两点 ， 满足 ，则 ，④当 时， 其中正确的有 个．
A． B． C． D．
二、填空题
请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与 轴的交点坐标为 ．此二次函数的解析式可以是 ．
若二次函数 的图象经过原点，则 ．
若 是方程 的根，当 时，函数 的函数值为 ．
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 米，拱顶距离水面 米．设正常水位时桥下的水深为 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 米，则水深超过 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
如图，抛物线 与直线 相交于点 ，点 ，则关于 的不等式 的解集为 ．
烟花厂为咸宁温泉旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高 与飞行时间 的关系式是 ，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ．
若 ， 是关于 的方程 的两根，且 ，则 ，，， 的大小关系是 ．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得到抛物线 ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．
三、解答题
已知抛物线 经过点 ，，．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．
如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠长为 的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为 的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传版的一边长为 ．
(1) 当展示台的面积为 时，求 的值；
(2) 设展示台的面积为 ，求 的最大值．
已知二次函数 ．
(1) 判断该二次函数图象与 轴交点的个数，并说明理由．
(2) 若该二次函数的顶点坐标为 ，求 ， 的值．
(3) 若把该函数图象向上平移 个单位，使得对于任意的 都有 大于 ，求征：．
某商店原来平均每天可销售某种水果 千克，每千克可盈利 元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价 元，则每天可所多售出 千克．
(1) 设每千克水果降价 元，平均每天盈利 元，试写出 关于 的函数表达式；
(2) 若要平均每天盈利 元，则每千克应降价多少元？
(3) 每千克降价多少元时，每天的盈利最多？最多盈利多少元？
一名大学生利用“互联网 ”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 （件）与 （元/件）之间的函数关系如图所示．
(1) 求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2) 求每天的销售利润 （元）与销售单价 （元/件）之间的函数关系式，并求出每天销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
如图 ，抛物线 与直线 相交于 ， 两点，且抛物线经过点 ．
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 点 是抛物线上的一个动点（不与点 点 重合），过点 作直线 轴于点 ，交直线 于点 ．当 时，求 点坐标．
(3) 如图 所示，设抛物线与 轴交于点 ，在抛物线的第一象限内，是否存在一点 ，使得四边形 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
答案
一、选择题（共8题）
1. 【答案】B
【解析】 ，
抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为 ，故B正确；
当 时， 有最小值 ，故C不正确；
当 时， 随 的增大而增大，故D不正确．
2. 【答案】C
【解析】令 ，则 ，
，
二次函数 的图象与 轴有 个交点，
抛物线 与 轴有 个交点，
抛物线 与坐标轴的交点的个数是 ．
3. 【答案】B
【解析】 抛物线 经过点
代入，得 ，
，
．
4. 【答案】B
【解析】【分析】根据抛物线的开口方向可得，根据抛物线对称轴可得方程的根为，；根据图象可得时，；根据抛物线可直接得到时，随的增大而增大．
【解析】解：、因为抛物线开口向下，因此，故此选项错误；
、根据对称轴为，一个交点坐标为，可得另一个与轴的交点坐标为，因此3是方程的一个根，故此选项正确；
、把代入二次函数中得：，由图象可得，，故此选项错误；
、当时，随的增大而增大，故此选项错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．
①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．
当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．
②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．
当与同号时即，对称轴在轴左； 当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异
③常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于，．
④抛物线与轴交点个数．时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
5. 【答案】C
【解析】A．由抛物线可知，，得 ，由直线可知，，，故本选项错误；
B．由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误；
C．由抛物线可知，，，由直线可知，，，且交 轴同一点，故本选项正确；
D．由抛物线可知，，，由直线可知，， 故本选项错误．
6. 【答案】D
【解析】当抛物线 的顶点在线段 的 点上时，点 的横坐标最小，
把 代入得：，
把 代入得：，解得：，
即：，
抛物线 的顶点在线段 上运动，
抛物线的 永远等于 ，
当抛物线的顶点运动到 时， 的横坐标最大，
把 和顶点 代入 得：，
当 时，，解得 或 （不合题意，舍去）．
点 的横坐标最大值为 ．
7. 【答案】D
【解析】令 ，即 ，解得 ，
则点 ，，
由于将 向右平移 个长度单位得 ，
则 解析式为 ，
当 与 相切时，
联立
即 ，，
解得 ，
当 过点 时，即 ，，
当 时直线 与 ， 共有 个不同的交点．
8. 【答案】B
【解析】 函数 与 轴无交点，
，
故①错误；
当 时，，则 ．
故②正确；
根据抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而减小，
图象上两点 ， 满足 ，
故③正确；
当 时，二次函数值小于一次函数值，
，
，
故④正确．
二、填空题（共8题）
9. 【答案】
【解析】根据题意可知 ，，
故二次函数解析式可以是 ．
10. 【答案】
【解析】由于二次函数 的图象经过原点，
把 代入 ，得：，
解得：．
11. 【答案】
【解析】 是方程 的根，
，
当 时，函数 （）．
12. 【答案】
【解析】设抛物线解析式为 ，
把点 代入解析式得：，
解得：，
，
把 代入，得：，
此时水深 （米）．
13. 【答案】 或
【解析】 抛物线 与直线 相交于点 ，点 ，
方程 的解为： 或 ，
根据图象可知：不等式 的解集为： 或 ．
14. 【答案】
【解析】 ，
，
时，．
15. 【答案】
【解析】 ，
二次函数 与 轴两个交点坐标为 ，，
则直线 与抛物线 的交点的横坐标分别为 与 ，
所以 ．
故答案为 ．
16. 【答案】
【解析】如图．
，
平移后抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
在 中，当 时，，
平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，．
三、解答题（共6题）
17. 【答案】将 ，， 代入解析式得，
解得
抛物线的解析式为：，顶点坐标为 ．
18. 【答案】
(1) 由题意 ，解得 ，
当 时，，不合题意；
的值为 ．
(2) 由题意 ．
，
，
当 时，．
的最大值为 ．
19. 【答案】
(1) 该二次函数图象与 轴有 个交点．
，
，
该二次函数图象与 轴有 个交点．
(2) 该二次函数的顶点坐标为 ，
，，
，．
(3) ，
抛物线 的顶点坐标为 ，
把抛物线 向上平移 个单位后顶点坐标为 ，
把函数图象向上平移 个单位，使得对于任意的 都有 大于 ，
平移后的抛物线在 轴上方，
，
．
20. 【答案】
(1) 根据题意得：
(2) 令 中 ，则有：，
即 ，
解得：（舍去），．
所以若要平均每天盈利 元，则每千克应降价 元．
(3) ，
所以每千克降价 元时，每天的盈利最多，最多盈利多， 元．
21. 【答案】
(1) 设 与 的函数解析式为 ，
由题意得： 解得：
与 的函数解析式为 ．
(2) ．
，
当 时， 随 的增大而增大．
当 时， 最大，最大利润为 元．
当销售价为 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 元．
22. 【答案】
(1) 点 在直线 上，
，
，
把 ，， 三点坐标代入抛物线解析式，
可得 解得
抛物线解析式为 ．
(2) 设 ，则 ，，
则 ，，
，
，
当 时，解得 或 ，
但当 时， 与 重合不合题意，舍去，
；
当 时，解得 或 ，
但当 时， 与 重合不合题意，舍去，
．
综上可知， 点坐标为 或 ．
(3) 存在这样的点 ，使得四边形 的面积最大．
如图，过点 作 轴于点 ，
设 ，
则 ，，，
当 时，四边形 的面积取得最大值，最大值为 ，
此时点 的坐标为 ．