湘教版（2024）数学 八年级上册 1.3 公式法 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024七下·灌阳期中）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A中，由，可以因式分解，所以A不符合题意；
B中，由，可以因式分解，所以B不符合题意；
C中，由，可以因式分解，所以C不符合题意；
D中，由不可以因式分解，所以D符合题意．
故选：D．
【分析】不题考查了因式分解的方法，其中因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，结合选项，逐项求解，即可得到答案.
2． 把多项式分解因式，其结果是( )
A． B．(5+x)(5-x)
C． D．(25+x)(25-x)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：=52-x2=（5+x）（5-x）.
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可.
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．2a-b2 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意；
B、，是二项式，但两项不能写成平方的形式，则不能运用平方差公式，不符合题意；
C、，是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，则能运用平方差公式，符合题意；
D、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此逐项进行判断即可.
4．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
5．（2021七下·滦南期末）下列多项式：① ；② ；③ ；④ ，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：③ ，④ 可以用平方差公式分解因式；
① ；② 不可以用平方差公式分解因式．
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式及因式分解的定义逐项判定即可。
6．因式分解：
【答案】(3-2x)(3+2x)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：(3-2x)(3+2x).
【分析】直接利用平方差公式计算即可.
7．（2019七下·鼓楼期中）已知a+b=2，a-b=-1，则a2-b2= ．
【答案】-2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为a+b=2，a-b=-1，
则a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-1）=-2，
故答案为：-2．
【分析】由因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）可计算
8．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册4.3用乘法公式分解因式 同步练习---提高篇）若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=
【答案】3
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a），
∴a=3．
故答案为：3．
【分析】本题考查的是平方差公式，因为，所以可知a=3.
9．分解因式：
（1）b2-4.
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=b2-22=（b+2）（b-2）.
（2）解：原式
（3）解：原式=(2x)2-52=（2x+5）（2x-5）.
（4）解：原式a2-(4b)2=（a+4b）（a-4b）.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）直接利用平方差公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解即可；
（4）直接利用平方差公式进行分解即可.
二、能力提升
10．（2024七下·蓝山期中）对于任何整数，多项式都能被（ ）
A．8整除 B．整除 C．整除 D．整除
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
对于任何整数，多项式都能被8整除.
故答案为：A.
【分析】将多项式因式分解为即可得到答案.
11．下列因式分解中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据a2-b2=(a+b)(a-b)可判断A、B、C三个选项；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，据此可判断D选项.
12．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
而信息中的汉字有：爱、中、华、我．
∴结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故答案为：A.
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，然后找出各个因式对应的汉字即可对各选项进行判断．
14．（2023七下·曲阳期末）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x( )-4y2能利用平方差公式因式分解，并且x的指数是不大于10的正整数，
∴x的指数可能为2，4，6，8，10共5种.
故答案为：D.
【分析】根据题意x( )-4y2能利用平方差公式因式分解，可以知道x的指数必须为偶数，再依据x的指数是不大于10的正整数，得出x的指数的可能值，进而得出答案.
15．（2023七下·高邑期末）若，则n的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
解：∵
又∵
∴
即：
∴n=2020
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，在运用平方差公式进行计算即可。
16．（2020七下·江阴期中）因式分解： = .
【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
17．（2024七下·岳阳期中）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
【答案】或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论①当时，②当时，结合因式分解即可求出答案.
18． 已知 ， 那么
【答案】49
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
=，
∴x=49.
故答案为：49.
【分析】对等式左边，先提公因式后按平方差公式分解，对比指数求得x.
19．用简便方法计算：
（1）
（2）
【答案】（1）28
（2）4064000
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）6.42-3.62=（6.4+3.6）（6.4-3.6）=10×2.8=28.
（2）8×7582-2582×8=8×（7582-2582）=8×（758+258）×（758-258）=8×1016×500=4064000.
【分析】（1）利用平方差公式，将6.42-3.62因式分解成（6.4+3.6）（6.4-3.6），计算即可.
（2）先提取公因式8，得8×（7582-2582），再利用平方差公式因式分解7582-2582，计算即可.
20．分解因式：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）将改写成，以及改写成，然后运用平方差公式进行因式分解；（2）将改写成，然后结合平方差公式进行因式分解，并注意对每个因式合并同类项；（3）、先运用提公因式（公因式2mn）法进行因式分解，对余项再结合平方差公式再次分解以保证结果分解彻底；
（4）分解过程中连续运用两次公式法（平方差公式）.
21．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（1））已知 和 满足方程组 求代数式 的值.
【答案】解：由②，得 ，
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先对第二个二元一次方程进行化简得出 ，然后对原式利用平方差公式进行因式分解，最后代值计算，即可得出结果.
三、拓展创新
22．分解因式．小禾分解因式后，通过代人特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．
下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小禾的解法：
小禾的检验：
当时，
分解因式错误．
任务：
（1）小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因．
（2）请尝试写出正确的因式分解过程．
【答案】（1）解：小禾的解答是从第(2)步开始出锴的，错误的原因：与合并同类项计算锴误．
（2）解：正确的因式分解过程如下：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的正确性判断
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式，再提公因式即可，由3x+y-x-3y=2x-2y可知他第（2）步计算错误；
（2）先利用平方差公式，再提公因式即可.
1 / 1湘教版（2024）数学 八年级上册 1.3 公式法 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024七下·灌阳期中）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2． 把多项式分解因式，其结果是( )
A． B．(5+x)(5-x)
C． D．(25+x)(25-x)
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．2a-b2 C． D．
4．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
5．（2021七下·滦南期末）下列多项式：① ；② ；③ ；④ ，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．因式分解：
7．（2019七下·鼓楼期中）已知a+b=2，a-b=-1，则a2-b2= ．
8．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册4.3用乘法公式分解因式 同步练习---提高篇）若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=
9．分解因式：
（1）b2-4.
（2）
（3）
（4）
二、能力提升
10．（2024七下·蓝山期中）对于任何整数，多项式都能被（ ）
A．8整除 B．整除 C．整除 D．整除
11．下列因式分解中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
13．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
14．（2023七下·曲阳期末）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
15．（2023七下·高邑期末）若，则n的值是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
16．（2020七下·江阴期中）因式分解： = .
17．（2024七下·岳阳期中）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
18． 已知 ， 那么
19．用简便方法计算：
（1）
（2）
20．分解因式：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
21．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（1））已知 和 满足方程组 求代数式 的值.
三、拓展创新
22．分解因式．小禾分解因式后，通过代人特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．
下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小禾的解法：
小禾的检验：
当时，
分解因式错误．
任务：
（1）小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因．
（2）请尝试写出正确的因式分解过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A中，由，可以因式分解，所以A不符合题意；
B中，由，可以因式分解，所以B不符合题意；
C中，由，可以因式分解，所以C不符合题意；
D中，由不可以因式分解，所以D符合题意．
故选：D．
【分析】不题考查了因式分解的方法，其中因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，结合选项，逐项求解，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：=52-x2=（5+x）（5-x）.
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意；
B、，是二项式，但两项不能写成平方的形式，则不能运用平方差公式，不符合题意；
C、，是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，则能运用平方差公式，符合题意；
D、，是二项式，两项都能写成平方的形式，但符号相同，则不能运用平方差公式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此逐项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式进行分解因式即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：③ ，④ 可以用平方差公式分解因式；
① ；② 不可以用平方差公式分解因式．
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式及因式分解的定义逐项判定即可。
6．【答案】(3-2x)(3+2x)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：(3-2x)(3+2x).
【分析】直接利用平方差公式计算即可.
7．【答案】-2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为a+b=2，a-b=-1，
则a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-1）=-2，
故答案为：-2．
【分析】由因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）可计算
8．【答案】3
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a），
∴a=3．
故答案为：3．
【分析】本题考查的是平方差公式，因为，所以可知a=3.
9．【答案】（1）解：原式=b2-22=（b+2）（b-2）.
（2）解：原式
（3）解：原式=(2x)2-52=（2x+5）（2x-5）.
（4）解：原式a2-(4b)2=（a+4b）（a-4b）.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）直接利用平方差公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解即可；
（4）直接利用平方差公式进行分解即可.
10．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
对于任何整数，多项式都能被8整除.
故答案为：A.
【分析】将多项式因式分解为即可得到答案.
11．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据a2-b2=(a+b)(a-b)可判断A、B、C三个选项；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，据此可判断D选项.
12．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
而信息中的汉字有：爱、中、华、我．
∴结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故答案为：A.
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，然后找出各个因式对应的汉字即可对各选项进行判断．
14．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x( )-4y2能利用平方差公式因式分解，并且x的指数是不大于10的正整数，
∴x的指数可能为2，4，6，8，10共5种.
故答案为：D.
【分析】根据题意x( )-4y2能利用平方差公式因式分解，可以知道x的指数必须为偶数，再依据x的指数是不大于10的正整数，得出x的指数的可能值，进而得出答案.
15．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
解：∵
又∵
∴
即：
∴n=2020
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，在运用平方差公式进行计算即可。
16．【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
17．【答案】或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论①当时，②当时，结合因式分解即可求出答案.
18．【答案】49
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
=，
∴x=49.
故答案为：49.
【分析】对等式左边，先提公因式后按平方差公式分解，对比指数求得x.
19．【答案】（1）28
（2）4064000
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）6.42-3.62=（6.4+3.6）（6.4-3.6）=10×2.8=28.
（2）8×7582-2582×8=8×（7582-2582）=8×（758+258）×（758-258）=8×1016×500=4064000.
【分析】（1）利用平方差公式，将6.42-3.62因式分解成（6.4+3.6）（6.4-3.6），计算即可.
（2）先提取公因式8，得8×（7582-2582），再利用平方差公式因式分解7582-2582，计算即可.
20．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）将改写成，以及改写成，然后运用平方差公式进行因式分解；（2）将改写成，然后结合平方差公式进行因式分解，并注意对每个因式合并同类项；（3）、先运用提公因式（公因式2mn）法进行因式分解，对余项再结合平方差公式再次分解以保证结果分解彻底；
（4）分解过程中连续运用两次公式法（平方差公式）.
21．【答案】解：由②，得 ，
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先对第二个二元一次方程进行化简得出 ，然后对原式利用平方差公式进行因式分解，最后代值计算，即可得出结果.
22．【答案】（1）解：小禾的解答是从第(2)步开始出锴的，错误的原因：与合并同类项计算锴误．
（2）解：正确的因式分解过程如下：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的正确性判断
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式，再提公因式即可，由3x+y-x-3y=2x-2y可知他第（2）步计算错误；
（2）先利用平方差公式，再提公因式即可.
1 / 1
