第一章 《因式分解》基础卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·常德期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·定兴期末）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
3．多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）要使式子 成立，则“（ ）"内应填的式子是（ ）
A． B． C． D．
6．若将 分解因式后得 ， 则常数 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
7．（2024八下·细河期中）如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（ ）
A．-6 B． C．12 D．
9．当为自然数时，一定能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
10．（2024八下·南海期中）已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2024·潮阳模拟）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ．
12．（2023八下·锦州期末）多项式各项的公因式是 ．
13．（2022七下·绍兴期中）分解因式
14．（2024七下·章丘期中）若，则 ．
15．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k=
16．将xn﹣yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x﹣y），则n的值为
17．（2024八上·长沙月考）若，且，为不大于的正整数，则 ．
18．（2019七上·徐汇期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2019七下·赣榆期中）因式分解
（1）x2-xy；
（2）3x3-6x2y+3xy2；
（3）（x2+9）2-36x2．
20．（数与式+—+因式分解—+因式分解的应用（容易））利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
（1）2012﹣1992
（2）1.992+1.99×0.01．
21．（2023八上·衡阳月考）已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
22．（2023八上·衡山月考）根据条件，求下列代数式的值：
（1）若，求的值．
（2）若求代数式的值．
23．（2023八上·德惠期中）两位同学将一个关于x的二次二项式ax2+bx+c分解因式时，甲同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），乙同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4）．
（1）求原来的二次三项式；
（2）将原来的二次三项式分解因式．
24．（2024八上·通榆期末） 给出三个多项式：，，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
25．（2018七上·虹口期中）请阅读下面一题因式分解的解题过程：
因式分解：
分析：题中 是 ，把 分别看作u，v，用公式法分解因式，即可得
解：设 则原式=
像这样因式分解的方法叫做换元法。
请你参照上诉方法因式分解：
26．（2023八上·大余月考）下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果： ．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，故该式不成立，不符合题意，
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解： ①， 从左到右的变形属于因式分解，
② ，从左到右的变形属于整式的乘法，
∴①属于因式分解，②属于整式的乘法；
故答案为：C.
【分析】根据整式乘法的定义及因式分解的定义分别判断即可.
3．【答案】C
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式 各项都含有的因式为：
故答案为：C.
【分析】确定公因式的方法：
（1）确定系数：各项系数的最大公约数
（2）确定字母：各项共有的字母
（3）确定指数：各项字母的最小指数
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：不能分解因式，所以A不正确；，所以B不正确；，所以C不正确；，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】先判断能否分解因式，将能分解因式的多项式分别分解因式，再判断正误.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】因为每一项都有因式-7ab，则用提公因式法分解因式，即可解答.
6．【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
∵ 分解因式后得 ，
∴=
∵=
∴n=-1
故答案为：A.
【分析】先把展开，合并同类项后得：，即可得出n值.
7．【答案】B
【知识点】公因式的概念；因式分解的应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为，
∴即，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解．
8．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
∵ 二次三项式能用完全平方公式分解因式，
∴另一项是±2×6×x=±12x=-ax
∴a=±12.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式：两项平方项符号相同，另一项是两底数积的2倍，据此计算后选择即可.
9．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：，
∵n是自然数，
∴一定能被8整除.
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式将原式因式分解变形，整理后可得8（n-1），即可得解.
10．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴（舍去负值）或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【分析】
将等式左边和右边分别因式分解、 移项 、提取公因式，可求得(a2-b2)(c2 - (a2 + b2)) = 0，进而可得：或，可得或，进而判定三角形的形状．
11．【答案】(答案不唯一）
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，
设另一个因式为，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题考查多项式的因式分解．根据题意一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，设另一个因式为，据此可得多项式为，再进行计算可求出答案.
12．【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：因为，所以多项式各项的公因式是.
故答案为：.
【分析】利用公因式的定义求解.
13．【答案】（a-b）（x-2y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=（a-b）（x2-4y2）=（a-b）（x-2y）（x+2y）.
故答案为：（a-b）（x-2y）（x+2y）.
【分析】先提取公因式a-b，然后利用平方差公式即可.
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
又，
代入后得
，
，
故答案为：．
【分析】根据，再利用整体代入法，把代入，即可得出结果．
15．【答案】-2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据题意得
（x+5）（x﹣3）
=x2+2x﹣15，
=x2﹣kx﹣15，
∴﹣k=2，
解得k=﹣2．
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．
16．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的概念
【解析】【解答】解：（x2+y2）（x+y）（x﹣y）=（x2+y2）（x2﹣y2）=x4﹣y4．
故应填4．
【分析】因式分解与整式乘法是互逆运算，可以将分解的结果进行乘法运算，得到原多项式．
17．【答案】13
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴p+q=m，pq=36，
∵，为不大于的正整数，
∴p=4，q=9或p=9，q=4，
∴m=p+q=4+9=13.
故答案为：13.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得p+q=m，pq=36，再结合“，为不大于的正整数”可得p=4，q=9或p=9，q=4，最后求出m=p+q=4+9=13即可.
18．【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a符合题意，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b符合题意，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
19．【答案】（1）解：x2-xy=x（x-y）
（2）解：3x3-6x2y+3xy2
=3x（x2-2xy+y2）
=3x（x-y）2
（3）解：（x2+9）2-36x2
=（x2+9-6x）（x2+9+6x）
=（x-3）2（x+3）2．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式即可；（2）直接提取公因式3x，进而利用完全平方公式分解因式即可；（3）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式即可．
20．【答案】（1）解：）原式=（201+199）×（201﹣199）
=400×2
=800；
（2）解：原式=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201﹣199），然后进行有理数运算；（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．
21．【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式对所求式子进行变形，再整体代入，，进行计算即可求解.
(2)先提取公因式ab，再利用完全平方公式将原式分解为，然后整体代入，，进行计算即可求解.
22．【答案】解：（1）∵x(y 1) y(x 1)=4，
∴xy x xy+y=4，
∴x y= 4，
∴原式====8；
（2）原式=ab(a2 2ab+b2)=ab(a b)2=ab{(a+b)2 4ab]，
当a+b=5，ab=3时，原式=3×(52 4×3)=39.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）由已知等式得x-y=-4，再把待求式子通分后计算后分子利用完全平方公式分解因式，然后利用整体代入的方法计算求解即可；
（2）将待求式子先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止，进而利用完全平方公式的恒等变形变为ab{（a+b）2-4ab]，再利用整体代入的方法计算求解即可．
23．【答案】（1）解：计算甲式：2 （x-1）（x-9）
= 2（x2-10x+9）
=2x2-20x+18
计算乙式：2（x-2）（x-4）
=2（x2-6x+8）
=2x2-12x+16
因为甲看错了一次项，乙看错了常数项，
所以原来的二次三项式为2x2-12x +18
（2）解：2x2-12x+18
=2（x2-6x+9）
=2（x-3）2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）将甲同学和乙同学式子进行计算，根据二者没有错误的项，即可得到原来的二次三项式；
（2）利用提公因式法和公式法因式分解即可。
24．【答案】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先用整式的加减运算的法则计算，再运用提公因式法或公式法把把计算结果分解因式即可．
25．【答案】解：由题意可知：设xy-1=u，y=v
原式=（xy-1）2-2y（xy-1）+y2=（u-v）2=（xy-1-y）2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】定义未知数，代入式子中，并用公式法分解因式得到最终值
26．【答案】（1）③
（2）
（3）设：，
原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1） 甲同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法.
故答案为：③.
（2）设，原式，故答案为：．
【分析】（1）直接根据因式分解的方程进行求解即可；
（2）最后一步再进行完全平方公式进行分解即可；
（3）仿照题目中的解题过程， 设：， 使 原式 ，再进行分解即可.
1 / 1第一章 《因式分解》基础卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·常德期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，故该式不成立，不符合题意，
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
2．（2023七下·定兴期末）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解： ①， 从左到右的变形属于因式分解，
② ，从左到右的变形属于整式的乘法，
∴①属于因式分解，②属于整式的乘法；
故答案为：C.
【分析】根据整式乘法的定义及因式分解的定义分别判断即可.
3．多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式 各项都含有的因式为：
故答案为：C.
【分析】确定公因式的方法：
（1）确定系数：各项系数的最大公约数
（2）确定字母：各项共有的字母
（3）确定指数：各项字母的最小指数
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：不能分解因式，所以A不正确；，所以B不正确；，所以C不正确；，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】先判断能否分解因式，将能分解因式的多项式分别分解因式，再判断正误.
5．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）要使式子 成立，则“（ ）"内应填的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】因为每一项都有因式-7ab，则用提公因式法分解因式，即可解答.
6．若将 分解因式后得 ， 则常数 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
∵ 分解因式后得 ，
∴=
∵=
∴n=-1
故答案为：A.
【分析】先把展开，合并同类项后得：，即可得出n值.
7．（2024八下·细河期中）如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式的概念；因式分解的应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为，
∴即，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解．
8．若关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（ ）
A．-6 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
∵ 二次三项式能用完全平方公式分解因式，
∴另一项是±2×6×x=±12x=-ax
∴a=±12.
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式：两项平方项符号相同，另一项是两底数积的2倍，据此计算后选择即可.
9．当为自然数时，一定能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：，
∵n是自然数，
∴一定能被8整除.
故答案为：D.
【分析】利用平方差公式将原式因式分解变形，整理后可得8（n-1），即可得解.
10．（2024八下·南海期中）已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴（舍去负值）或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【分析】
将等式左边和右边分别因式分解、 移项 、提取公因式，可求得(a2-b2)(c2 - (a2 + b2)) = 0，进而可得：或，可得或，进而判定三角形的形状．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2024·潮阳模拟）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ．
【答案】(答案不唯一）
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，
设另一个因式为，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题考查多项式的因式分解．根据题意一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，设另一个因式为，据此可得多项式为，再进行计算可求出答案.
12．（2023八下·锦州期末）多项式各项的公因式是 ．
【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：因为，所以多项式各项的公因式是.
故答案为：.
【分析】利用公因式的定义求解.
13．（2022七下·绍兴期中）分解因式
【答案】（a-b）（x-2y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=（a-b）（x2-4y2）=（a-b）（x-2y）（x+2y）.
故答案为：（a-b）（x-2y）（x+2y）.
【分析】先提取公因式a-b，然后利用平方差公式即可.
14．（2024七下·章丘期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
又，
代入后得
，
，
故答案为：．
【分析】根据，再利用整体代入法，把代入，即可得出结果．
15．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k=
【答案】-2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据题意得
（x+5）（x﹣3）
=x2+2x﹣15，
=x2﹣kx﹣15，
∴﹣k=2，
解得k=﹣2．
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．
16．将xn﹣yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x﹣y），则n的值为
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的概念
【解析】【解答】解：（x2+y2）（x+y）（x﹣y）=（x2+y2）（x2﹣y2）=x4﹣y4．
故应填4．
【分析】因式分解与整式乘法是互逆运算，可以将分解的结果进行乘法运算，得到原多项式．
17．（2024八上·长沙月考）若，且，为不大于的正整数，则 ．
【答案】13
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴p+q=m，pq=36，
∵，为不大于的正整数，
∴p=4，q=9或p=9，q=4，
∴m=p+q=4+9=13.
故答案为：13.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得p+q=m，pq=36，再结合“，为不大于的正整数”可得p=4，q=9或p=9，q=4，最后求出m=p+q=4+9=13即可.
18．（2019七上·徐汇期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a符合题意，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b符合题意，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2019七下·赣榆期中）因式分解
（1）x2-xy；
（2）3x3-6x2y+3xy2；
（3）（x2+9）2-36x2．
【答案】（1）解：x2-xy=x（x-y）
（2）解：3x3-6x2y+3xy2
=3x（x2-2xy+y2）
=3x（x-y）2
（3）解：（x2+9）2-36x2
=（x2+9-6x）（x2+9+6x）
=（x-3）2（x+3）2．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式即可；（2）直接提取公因式3x，进而利用完全平方公式分解因式即可；（3）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式即可．
20．（数与式+—+因式分解—+因式分解的应用（容易））利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
（1）2012﹣1992
（2）1.992+1.99×0.01．
【答案】（1）解：）原式=（201+199）×（201﹣199）
=400×2
=800；
（2）解：原式=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201﹣199），然后进行有理数运算；（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．
21．（2023八上·衡阳月考）已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式对所求式子进行变形，再整体代入，，进行计算即可求解.
(2)先提取公因式ab，再利用完全平方公式将原式分解为，然后整体代入，，进行计算即可求解.
22．（2023八上·衡山月考）根据条件，求下列代数式的值：
（1）若，求的值．
（2）若求代数式的值．
【答案】解：（1）∵x(y 1) y(x 1)=4，
∴xy x xy+y=4，
∴x y= 4，
∴原式====8；
（2）原式=ab(a2 2ab+b2)=ab(a b)2=ab{(a+b)2 4ab]，
当a+b=5，ab=3时，原式=3×(52 4×3)=39.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）由已知等式得x-y=-4，再把待求式子通分后计算后分子利用完全平方公式分解因式，然后利用整体代入的方法计算求解即可；
（2）将待求式子先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止，进而利用完全平方公式的恒等变形变为ab{（a+b）2-4ab]，再利用整体代入的方法计算求解即可．
23．（2023八上·德惠期中）两位同学将一个关于x的二次二项式ax2+bx+c分解因式时，甲同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），乙同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4）．
（1）求原来的二次三项式；
（2）将原来的二次三项式分解因式．
【答案】（1）解：计算甲式：2 （x-1）（x-9）
= 2（x2-10x+9）
=2x2-20x+18
计算乙式：2（x-2）（x-4）
=2（x2-6x+8）
=2x2-12x+16
因为甲看错了一次项，乙看错了常数项，
所以原来的二次三项式为2x2-12x +18
（2）解：2x2-12x+18
=2（x2-6x+9）
=2（x-3）2
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）将甲同学和乙同学式子进行计算，根据二者没有错误的项，即可得到原来的二次三项式；
（2）利用提公因式法和公式法因式分解即可。
24．（2024八上·通榆期末） 给出三个多项式：，，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【答案】解：情况一：．
情况二：．
情况三：．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先用整式的加减运算的法则计算，再运用提公因式法或公式法把把计算结果分解因式即可．
25．（2018七上·虹口期中）请阅读下面一题因式分解的解题过程：
因式分解：
分析：题中 是 ，把 分别看作u，v，用公式法分解因式，即可得
解：设 则原式=
像这样因式分解的方法叫做换元法。
请你参照上诉方法因式分解：
【答案】解：由题意可知：设xy-1=u，y=v
原式=（xy-1）2-2y（xy-1）+y2=（u-v）2=（xy-1-y）2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】定义未知数，代入式子中，并用公式法分解因式得到最终值
26．（2023八上·大余月考）下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果： ．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）③
（2）
（3）设：，
原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1） 甲同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法.
故答案为：③.
（2）设，原式，故答案为：．
【分析】（1）直接根据因式分解的方程进行求解即可；
（2）最后一步再进行完全平方公式进行分解即可；
（3）仿照题目中的解题过程， 设：， 使 原式 ，再进行分解即可.
1 / 1
