第一章 《因式分解》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·仁寿期中）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、x2-4y2=（x-2y）（x+2y），A选项错误，不符合题意；
B、等式右边不是积的形式，B选项错误，不符合题意；
C、式子从左到右的变形为因式分解，C选项正确，符合题意；
D、等式右边不是积的形式，D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由因式分解的含义，根据将多项式化为几个整式的积的形式进行判断。
2．（2021八上·东平月考）代数式 ， ， 中的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：因为5a2b（b a）＝ 5a2b（a b）， 120a3b3（a2 b2）＝ 120a3b3（a＋b）（a b），
所以代数式15a3b3（a b），5a2b（b a）， 120a3b3（a2 b2）中的公因式是5a2b（b a）．
故答案为：A．
【分析】 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因式的定义求解即可。
3．（2019八上·仁寿期中）将下列多项式分解因式，结果中不含因式 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】A、x2-1=（x+1）（x-1），故A选项不合题意；
B、 =（x-1）x，故B选项不合题意；
C、x2-2x+1=（x-1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
4．（2019八上·海珠期末）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（ ）
A．0 B．1 C．5 D．12
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；公因式的概念
【解析】【解答】∵x＝3y+5，
∴x-3y=5，
∵x2﹣7xy+9y2＝24，
∴(x-3y)2-xy=24，
∴xy=1，
∴x2y﹣3xy2= xy(x-3y)=5，
故答案为：C.
【分析】由x＝3y+5可得x-3y=5，由x2﹣7xy+9y2＝24可得(x-3y)2-xy=24，把x-3y=5代入可求出xy=1，把x2y﹣3xy2转化成xy(x-3y)的形式，把x-3y=5，xy=1代入即可得答案.
5．（2024八上·献县期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积
，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故答案为：B．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可．
6．（2023八上·恩施期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴当x=52，y=28时，x+y=80，x-y=24；
∴产生的密码可以是528024，522480，805224，802452，245280，248052；
∴不可能是522824
故答案为：B.
【分析】先将代数式提取公因式分解因式，再利用平方差公式进行第二次分解化成三个整式相乘的形式，将x、y的值分别代入各个因式算出结果，然后排列即可得到所求的密码.
7．（2024八上·龙江期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2因式分解得
=(x2 -y2) (a2 -b2)
= (x +y)(x - y)(a + b)(a - b)
分别对应下列六个字：
我，爱，齐，市，
∴ (x -y)(x +y)(a -b)(a +b)表示的一定是我，爱，齐，市这四个字的组合.
故答案为：C.
【分析】根椐题意，把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次因式分解，最后找对的字的字即可.
8．（2023八上·莱芜期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）
A． B． C．或11 D．13或
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，∴k+1=12，∴k=11
或
，∴k+1=-12，∴k=-13
故答案为：C
【分析】先把二次三项式能用完全平方公式因式分解 ，再展开，得出一次项系数，从而求出k值。注意一次项可能为正，也可能为负。
9．（2023八上·内江期末）已知，则当，的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴d= x4 2x3＋x2 12x 5
＝x2（x2 2x＋1） 12x 5
＝6x2 12x 5
＝6（x2 2x） 5
=6×5-5
=25.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得x2-2x=5，进而将d所代表的多项式前三项提取公因式“x2”进行变形，整体代入化简后再将含字母的部分提取公因式“6”进行变形，从而再一次整体代入即可算出答案.
10．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2023八上·芝罘期中）若是多项式的一个因式，则k的值是 .
【答案】
【知识点】多项式的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】解：令x-2=0，解得：x=2
∵x-2是多项式的一个因式
∴x=2是方程的一个根
代入方程即可k=-4
故答案为：-4
【分析】根据多项式因式分解的定义和性质即可求出答案.
12．（2024八上·铁西期末）下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序号）．
【答案】②④
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
①；，不能用公式法分解因式，不符合题意
②；，能用平方差公式分解因式，符合题意
③；，不能用公式法分解因式，不符合题意
④能用完全平方公式分解因式，符合题意
综上，②④能用公式法分解因式
故填： ②④
【分析】牢记完全平方公式和平方差公式并灵活应用于分解因式。
13．（2020八上·喀喇沁旗期末）分解因式：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)＝ ．
【答案】(x＋y)3
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)
=（x+y）（x2+2xy+y2）
=（x+y）（x+y）2
=（x+y）3，
故答案为：（x+y）3．
【分析】先提取公因式（x+y），再根据完全平方更多进行二次分解即可。
14．（2024八上·柳州期末）已知，，则代数式的值为 ．
【答案】-15
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，∵，，
∴原式==
故答案为：-15.
【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可.
15．（2020八上·绵阳期末）若 可以用完全平方式来分解因式，则 的值为 ．
【答案】 或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】由题意得，
.
，
，
，
或
.
【分析】由于a2 2ab+b2=(a
b)2，可得2（3-m）=
2×5，据此求出m的值即可.
16．（2024八上·宁波开学考）若且，则的值为
【答案】-7或6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，
∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，
∴（x+y）2+（x+y）-42=0，
∴（x+y+7）（x+y-6）=0，
∴x+y+7=0或x+y-6=0，
解得：x+y=-7或x+y=6．
故答案为：-7或6.
【分析】将原题中的两个等式相加得到：x2+2xy+y2+x+y=42，整理得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．
17．（2023八上·临汾月考）若，则 ， ．
【答案】；
【知识点】因式分解﹣公式法；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
a+2=0且a-2b=0，
解得a=-2，b=-1.
故答案为：-2；-1
【分析】运用完全平方公式将等式恒等变形，再根据非负性的性质即可求解.
18．（2020八上·文登期末）甲乙两人完成因式分解 时，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为 ．
【答案】(x+2)(x-6)
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ =x2+x-12，
∴b=-12；
∵ =x2-4x-21，
∴a=-4，
∴
=
=(x+2)(x-6)．
故答案为：(x+2)(x-6)．
【分析】根据甲分解的结果求出b，根据乙分解的结果求出a，再代入分解即可。
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2023八上·南充期末）分解因式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式分解因式，再利用利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止；
（2）先用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法分解到每一个因式都不能再分解为止.
20．用简便方法计算：
【答案】解：原式
.
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】将原式变形为，然后利用完全平方公式计算即可.
21．（2024八上·衡阳期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】本题考查因式分解．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解可得：原式，再提取公因式x-y可分解出因式；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解可得：原式，利用完全平方公式进行计算可得：原式，再利用平方差公式进行因式分解可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
22．（2021八上·廉江期末）观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】（1）解：2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）
＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）
＝（a+3b）（2﹣3m）；
或 2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）
＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）
＝（2﹣3m）（a+3b）；
（2）解：∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，
∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，
∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，
∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，
∴a＝c 或 a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用分组分解因式即可；
（2）先将代数式a2﹣ac﹣ab+bc＝0变形为（a﹣c）（a﹣b）＝0，求出a＝c 或 a＝b，即可得到△ABC是等腰三角形。
23．（2025八下·深圳期中）阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如： ①用配方法因式分解：a2+6a+8 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2) ②求2x2+12x+22的最小值. 解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值 x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2； 由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 进而2x2+12x+22的最小值为4.
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+
（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；
（3）求2x2-4x+10的最小值.
（4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.
【答案】（1）4
（2）解：
（3）解：
最小值为8。
（4）解：，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到
x+2（x2-5x+3）=，
当取得最小值，即
此时，将代入，得：，
解得：。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： a2+4a+4=（a+2）2
故答案为：（1）4.
【分析】完全平方公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2，
（1）题利用完全平方公式对应为4a=2ab，即b=2，因此b2=4，因此得出答案。
（2）先将12a看做2ab，对应的b就是6，b2就是36，继续凑数并利用平方差公式进行进一步计算即可。
（3）先提取公因数2，然后利用完全平方公式将x2-2x进行变形，最后变为2（x-1）2+8，∵2（x-1）2≥0，所以该式的最小值即可得出；
（4）先将原式用x来表示y，并带入x+2y中，结合完全平方公式进行变形，即可得出时对应的x+2y的最小值，最后代入计算即可求出y的值。
24．在当今时代， 密码与我们的生活已经紧密联系在一起． 有一种用 “因式分解”法产生的密码， 其原理是： 先将一个多项式分解因式， 再计算各因式所得的值， 最后将各因式的值进行组合． 如： 将多项式 分解因式的结果为 ，当 时， ， 此时， 可获得密码 171812 或 171218 或 181712 等．
根据上述方法， 解答以下问题：
（1） 对于因式分解结果为 的多项式， 当 时， 用 “因式分解”法获得的密码为 ．
（2）当 时，对于多项式 ， 用 “因式分解”法可以产生哪些数字密码？ （求出四个即可）
（3） 已知多项式 可分解因式成三个一次式， 当 时，用 “因式分解”法可以得到密码 202224 ，求 的值．
【答案】（1）2320或2023
（2）∵=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)
∴当x=20，y=2时，x+y=22，x-y=18
用 “因式分解”法可以产生数字密码为：202218，201822，182022，182220，221820，222018.
故答案为 ：202218，201822，182022，182220，221820，222018.
（3）当 时，用 “因式分解”法可以得到密码 202224 ，
∴多项式 可分解因式成三个一次式为：x-3，x-1，x+1
=(x-3)(x-1)(x+1)
=(x-3)(x2-1)
=x3-x-3x2+3
∴a=-3，b=-1
故答案为a=-3，b=-1.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）当 时， x+2=23，x-1=20 用 “因式分解”法获得的密码为2320或2023故答案为：2320或2023.
【分析】
(1)把x=21代入x+2和x-1求出值，再组合即可
（2）先提公因式，然后用平方差公式将因式分解，然后把x，y的值代入求值，再把结果进行组合即可
(3)由密码得出三个一次因式的值分别为20，22，24，它们分别可以看成 x-3，x-1，x+1，
然后得出多项式，从而得出a，b的值.
25．（2025八下·深圳期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：.
反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数-1，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式： ▲ ．
（2）理解与应用
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① ▲ ；
② ▲ ．
（3）探究与拓展
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成mn乘积作为一列，分解成pq乘积作为第二列，分解成jk乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
①分解因式 ▲ ．
②若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）或
（2）①；
②
（3）①
②由阅读材料可知：
或．
所以
或，
答：的值为54或-89.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（2）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（3）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
26．（2023八上·永兴开学考）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ ．
S乙＝ ＝ ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x-2）＝
③（x-6）（x-1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用x2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2-x-12．
【答案】（1）（x+a）（x+b）；x2+bx+ax+ab；x2+（a+b）x+ab，；（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab
（2）解：①原式＝x2+9x+20，
②原式＝x2+x-6，
③原式＝x2-7x+6
（3）解：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
②x2-x-12＝（x+3）（x-4）．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）根据长方形计算公式得：S甲=(x+a)（x+b）；S乙=x2+bx+ax+ab=x2+（a+b）x+b2；
∴可得规律为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
故第1空答案为：(x+a)（x+b）；故第2空答案为：x2+bx+ax+ab；故第3空答案为：x2+（a+b）x+b2；故第4空答案为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
【分析】（1）根据图形面积的求法，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的规律(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2，可得计算结果；
（3）根据x2+（a+b）x+b2=(x+a)（x+b），可得因式分解的结果。
1 / 1第一章 《因式分解》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·仁寿期中）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·东平月考）代数式 ， ， 中的公因式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019八上·仁寿期中）将下列多项式分解因式，结果中不含因式 的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八上·海珠期末）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（ ）
A．0 B．1 C．5 D．12
5．（2024八上·献县期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
6．（2023八上·恩施期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
7．（2024八上·龙江期末）小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．齐市游 C．爱我齐市 D．美我齐市
8．（2023八上·莱芜期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）
A． B． C．或11 D．13或
9．（2023八上·内江期末）已知，则当，的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
10．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2023八上·芝罘期中）若是多项式的一个因式，则k的值是 .
12．（2024八上·铁西期末）下列各式：①；②；③；④，能用公式法分解因式的是 （填序号）．
13．（2020八上·喀喇沁旗期末）分解因式：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)＝ ．
14．（2024八上·柳州期末）已知，，则代数式的值为 ．
15．（2020八上·绵阳期末）若 可以用完全平方式来分解因式，则 的值为 ．
16．（2024八上·宁波开学考）若且，则的值为
17．（2023八上·临汾月考）若，则 ， ．
18．（2020八上·文登期末）甲乙两人完成因式分解 时，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2023八上·南充期末）分解因式：
（1） ；
（2） .
20．用简便方法计算：
21．（2024八上·衡阳期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
（1）；
（2）．
22．（2021八上·廉江期末）观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
23．（2025八下·深圳期中）阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如： ①用配方法因式分解：a2+6a+8 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2) ②求2x2+12x+22的最小值. 解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值 x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2； 由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 进而2x2+12x+22的最小值为4.
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+
（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；
（3）求2x2-4x+10的最小值.
（4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.
24．在当今时代， 密码与我们的生活已经紧密联系在一起． 有一种用 “因式分解”法产生的密码， 其原理是： 先将一个多项式分解因式， 再计算各因式所得的值， 最后将各因式的值进行组合． 如： 将多项式 分解因式的结果为 ，当 时， ， 此时， 可获得密码 171812 或 171218 或 181712 等．
根据上述方法， 解答以下问题：
（1） 对于因式分解结果为 的多项式， 当 时， 用 “因式分解”法获得的密码为 ．
（2）当 时，对于多项式 ， 用 “因式分解”法可以产生哪些数字密码？ （求出四个即可）
（3） 已知多项式 可分解因式成三个一次式， 当 时，用 “因式分解”法可以得到密码 202224 ，求 的值．
25．（2025八下·深圳期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：.
反过来，就得到：．
我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数-1，于是就可以分解为．
（1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式： ▲ ．
（2）理解与应用
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① ▲ ；
② ▲ ．
（3）探究与拓展
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成mn乘积作为一列，分解成pq乘积作为第二列，分解成jk乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
①分解因式 ▲ ．
②若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
26．（2023八上·永兴开学考）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ ．
S乙＝ ＝ ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x-2）＝
③（x-6）（x-1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用x2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2-x-12．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A、x2-4y2=（x-2y）（x+2y），A选项错误，不符合题意；
B、等式右边不是积的形式，B选项错误，不符合题意；
C、式子从左到右的变形为因式分解，C选项正确，符合题意；
D、等式右边不是积的形式，D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由因式分解的含义，根据将多项式化为几个整式的积的形式进行判断。
2．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：因为5a2b（b a）＝ 5a2b（a b）， 120a3b3（a2 b2）＝ 120a3b3（a＋b）（a b），
所以代数式15a3b3（a b），5a2b（b a）， 120a3b3（a2 b2）中的公因式是5a2b（b a）．
故答案为：A．
【分析】 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因式的定义求解即可。
3．【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】A、x2-1=（x+1）（x-1），故A选项不合题意；
B、 =（x-1）x，故B选项不合题意；
C、x2-2x+1=（x-1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；公因式的概念
【解析】【解答】∵x＝3y+5，
∴x-3y=5，
∵x2﹣7xy+9y2＝24，
∴(x-3y)2-xy=24，
∴xy=1，
∴x2y﹣3xy2= xy(x-3y)=5，
故答案为：C.
【分析】由x＝3y+5可得x-3y=5，由x2﹣7xy+9y2＝24可得(x-3y)2-xy=24，把x-3y=5代入可求出xy=1，把x2y﹣3xy2转化成xy(x-3y)的形式，把x-3y=5，xy=1代入即可得答案.
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积
，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故答案为：B．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可．
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴当x=52，y=28时，x+y=80，x-y=24；
∴产生的密码可以是528024，522480，805224，802452，245280，248052；
∴不可能是522824
故答案为：B.
【分析】先将代数式提取公因式分解因式，再利用平方差公式进行第二次分解化成三个整式相乘的形式，将x、y的值分别代入各个因式算出结果，然后排列即可得到所求的密码.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2因式分解得
=(x2 -y2) (a2 -b2)
= (x +y)(x - y)(a + b)(a - b)
分别对应下列六个字：
我，爱，齐，市，
∴ (x -y)(x +y)(a -b)(a +b)表示的一定是我，爱，齐，市这四个字的组合.
故答案为：C.
【分析】根椐题意，把(x2 -y2)a2-(x2-y2) b2先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次因式分解，最后找对的字的字即可.
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
，∴k+1=12，∴k=11
或
，∴k+1=-12，∴k=-13
故答案为：C
【分析】先把二次三项式能用完全平方公式因式分解 ，再展开，得出一次项系数，从而求出k值。注意一次项可能为正，也可能为负。
9．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴d= x4 2x3＋x2 12x 5
＝x2（x2 2x＋1） 12x 5
＝6x2 12x 5
＝6（x2 2x） 5
=6×5-5
=25.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得x2-2x=5，进而将d所代表的多项式前三项提取公因式“x2”进行变形，整体代入化简后再将含字母的部分提取公因式“6”进行变形，从而再一次整体代入即可算出答案.
10．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
11．【答案】
【知识点】多项式的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】解：令x-2=0，解得：x=2
∵x-2是多项式的一个因式
∴x=2是方程的一个根
代入方程即可k=-4
故答案为：-4
【分析】根据多项式因式分解的定义和性质即可求出答案.
12．【答案】②④
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据题意
①；，不能用公式法分解因式，不符合题意
②；，能用平方差公式分解因式，符合题意
③；，不能用公式法分解因式，不符合题意
④能用完全平方公式分解因式，符合题意
综上，②④能用公式法分解因式
故填： ②④
【分析】牢记完全平方公式和平方差公式并灵活应用于分解因式。
13．【答案】(x＋y)3
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)
=（x+y）（x2+2xy+y2）
=（x+y）（x+y）2
=（x+y）3，
故答案为：（x+y）3．
【分析】先提取公因式（x+y），再根据完全平方更多进行二次分解即可。
14．【答案】-15
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，∵，，
∴原式==
故答案为：-15.
【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可.
15．【答案】 或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】由题意得，
.
，
，
，
或
.
【分析】由于a2 2ab+b2=(a
b)2，可得2（3-m）=
2×5，据此求出m的值即可.
16．【答案】-7或6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，
∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，
∴（x+y）2+（x+y）-42=0，
∴（x+y+7）（x+y-6）=0，
∴x+y+7=0或x+y-6=0，
解得：x+y=-7或x+y=6．
故答案为：-7或6.
【分析】将原题中的两个等式相加得到：x2+2xy+y2+x+y=42，整理得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．
17．【答案】；
【知识点】因式分解﹣公式法；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
a+2=0且a-2b=0，
解得a=-2，b=-1.
故答案为：-2；-1
【分析】运用完全平方公式将等式恒等变形，再根据非负性的性质即可求解.
18．【答案】(x+2)(x-6)
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ =x2+x-12，
∴b=-12；
∵ =x2-4x-21，
∴a=-4，
∴
=
=(x+2)(x-6)．
故答案为：(x+2)(x-6)．
【分析】根据甲分解的结果求出b，根据乙分解的结果求出a，再代入分解即可。
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式分解因式，再利用利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止；
（2）先用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法分解到每一个因式都不能再分解为止.
20．【答案】解：原式
.
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】将原式变形为，然后利用完全平方公式计算即可.
21．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】本题考查因式分解．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解可得：原式，再提取公因式x-y可分解出因式；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解可得：原式，利用完全平方公式进行计算可得：原式，再利用平方差公式进行因式分解可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
22．【答案】（1）解：2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）
＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）
＝（a+3b）（2﹣3m）；
或 2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）
＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）
＝（2﹣3m）（a+3b）；
（2）解：∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，
∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，
∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，
∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，
∴a＝c 或 a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用分组分解因式即可；
（2）先将代数式a2﹣ac﹣ab+bc＝0变形为（a﹣c）（a﹣b）＝0，求出a＝c 或 a＝b，即可得到△ABC是等腰三角形。
23．【答案】（1）4
（2）解：
（3）解：
最小值为8。
（4）解：，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到
x+2（x2-5x+3）=，
当取得最小值，即
此时，将代入，得：，
解得：。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： a2+4a+4=（a+2）2
故答案为：（1）4.
【分析】完全平方公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2，
（1）题利用完全平方公式对应为4a=2ab，即b=2，因此b2=4，因此得出答案。
（2）先将12a看做2ab，对应的b就是6，b2就是36，继续凑数并利用平方差公式进行进一步计算即可。
（3）先提取公因数2，然后利用完全平方公式将x2-2x进行变形，最后变为2（x-1）2+8，∵2（x-1）2≥0，所以该式的最小值即可得出；
（4）先将原式用x来表示y，并带入x+2y中，结合完全平方公式进行变形，即可得出时对应的x+2y的最小值，最后代入计算即可求出y的值。
24．【答案】（1）2320或2023
（2）∵=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)
∴当x=20，y=2时，x+y=22，x-y=18
用 “因式分解”法可以产生数字密码为：202218，201822，182022，182220，221820，222018.
故答案为 ：202218，201822，182022，182220，221820，222018.
（3）当 时，用 “因式分解”法可以得到密码 202224 ，
∴多项式 可分解因式成三个一次式为：x-3，x-1，x+1
=(x-3)(x-1)(x+1)
=(x-3)(x2-1)
=x3-x-3x2+3
∴a=-3，b=-1
故答案为a=-3，b=-1.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）当 时， x+2=23，x-1=20 用 “因式分解”法获得的密码为2320或2023故答案为：2320或2023.
【分析】
(1)把x=21代入x+2和x-1求出值，再组合即可
（2）先提公因式，然后用平方差公式将因式分解，然后把x，y的值代入求值，再把结果进行组合即可
(3)由密码得出三个一次因式的值分别为20，22，24，它们分别可以看成 x-3，x-1，x+1，
然后得出多项式，从而得出a，b的值.
25．【答案】（1）或
（2）①；
②
（3）①
②由阅读材料可知：
或．
所以
或，
答：的值为54或-89.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（2）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
（3）根据十字相乘法定义进行因式分解即可求出答案.
26．【答案】（1）（x+a）（x+b）；x2+bx+ax+ab；x2+（a+b）x+ab，；（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab
（2）解：①原式＝x2+9x+20，
②原式＝x2+x-6，
③原式＝x2-7x+6
（3）解：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
②x2-x-12＝（x+3）（x-4）．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）根据长方形计算公式得：S甲=(x+a)（x+b）；S乙=x2+bx+ax+ab=x2+（a+b）x+b2；
∴可得规律为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
故第1空答案为：(x+a)（x+b）；故第2空答案为：x2+bx+ax+ab；故第3空答案为：x2+（a+b）x+b2；故第4空答案为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
【分析】（1）根据图形面积的求法，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的规律(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2，可得计算结果；
（3）根据x2+（a+b）x+b2=(x+a)（x+b），可得因式分解的结果。
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