湘教版（2024）数学八年级上册2.5可化为一元一次方程的分式方程 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·石家庄月考）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解：A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程，D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故答案为：D．
【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八上·南宁期末）方程的解的情况是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：A、当x=0时，
则本项不符合题意，
B、当x=1时，
则本项符合题意，
C、当x=2时，
则本项不符合题意，
D、当x=1时，为方程的解，则本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将各项x的值代入原方程，观察方程左右是否相等即可.
3．（2024八上·石家庄期中）解分式方程去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
先变形可得：
去分母，得．
故选：B．
【分析】本题考查解分式方程.先将方程进行变形可得：，再在方程两边同时乘以x-3去分母可得：，据此可选出答案.
4．（2023八上·昌黎期中）分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】∵ 分式与互为相反数，
∴，
解得x=-2，
故答案为：C
【分析】先根据相反数的定义列出分式方程，进而结合题意解分式方程即可求解。
5．（2019八上·港南期中）关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+1=a，
由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，
代入整式方程得：a=5，
故答案为：D.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值.
6．（2020八上·鱼台期末）下列关于x的方程① ，② ，③ 1，④ 中，是分式方程的是 （ ）（填序号）
【答案】②
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.
【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。
7．（2024八上·香洲期末）如果比大1，则 ．
【答案】
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：x=，
故答案为：.
【分析】先根据题意列出方程，再利用分式方程的计算方法及步骤分析求解即可.
8．（2020八上·海门月考）已知 -2是关于x的分式方程 的根，则实数k的值为 .
【答案】2
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x=-2代入方程 ，可得 ，即k=2.
故答案为：2.
【分析】将x=-2代入方程中可得关于k的方程，求解就可得到k的值.
9．（2022八上·吉林期中）若关于x的分式方程无解，则a的值是 ．
【答案】3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：对分式方程化简，得到，∵分式方程无解，∴分式方程有增根，即x-2=0，另，解得a=3。
故答案为：3.
【分析】先对分式方程进行化简，用含a的式子表示出x，然后利用分式方程无解，得x的值，在带入求a即可。
10．（2023八上·崆峒期末）对于实数a，b，我们可以定义一种运算“”为：，则方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据新定义运算可得：，
又∵
，
方程两边同乘以，得
去括号得
移项得
合并同类项得
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】根据新定义运算，得到分式方程，再按照分式方程的求解步骤，求解即可.
11．（2024八上·硚口期末）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程两边乘，
得，
解得：，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
（2）解：方程两边乘，
得，
解得，
检验：当时，，
因此，不是原分式方程的解．
故方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
二、能力提升
12．（2024八上·石景山期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将分式方程，去分母得：，
整理得，
解得，
分式方程的解是正数，
，
；
又，
，
，
m的取值范围是且，
故选C．
【分析】将分式方程同时乘以(x-1)化为整式方程，求出x的值，再根据解是正数且分母不为零列不等式解答即可．
13．（2024八上·永年开学考）若等式成立，则“”内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式的概念；解分式方程
【解析】【解答】解：设，则有，
，．
故选：．
【分析】设，综合应用等式的性质解含x的方程求解即可，
14．（2024八上·宁波开学考）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是
【答案】A
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：的公分母是
方程两边同时乘上
得
若此整式方程无解，则
解得
若整式方程有解，使得公分母为0，则这个解是分式方程的增根
令：
∴
∴
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则或，故C是正确的；
故答案为：A
【分析】将含参的分式方程先化成整式方程后，在根据分式方程无解，分成两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但分式方程无解（分式方程有增根），分别解出m的值即可.
15．（2024八上·南充期末）若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．7 B．5 C．0 D．－2
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解分式方程得：，
由分式方程的解为非负整数，可得：m＋5＝0，3，6，9，12…，
解之：m＝－5，－2，1，4，7…；
解不等式组：m≤y＜10，且不等式组至少有3个整数解，
得到m≤7，
所以m＝－5，－2，1，4，7.（因分式方程中x≠1，故m＝－2舍去）．
故m可取的整数值为－5，1，4，7.
其和为7．
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负整数，求出m的值，再结合m≤7，求出所有符合条件的整数，最后利用有理数的加法计算即可.
16．（2024八上·广平月考）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为 ．
【答案】或10
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上，x的值为或10．
故答案为：或10．
【分析】结合流程图中的计算方法分类讨论：①当时，，②当时，，再分别求出x的值即可.
17．（2023八上·临湘期中）关于的分式方程有解，则满足 。
【答案】k≠3且k≠5
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∵该方程有解，
∴且，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【分析】解分式方程得，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案．
18．（2024八上·东辽期末）如图，点，在数轴上，它们所表示的数分别是，，且点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则 ．
【答案】-1
【知识点】解分式方程；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】
解：∵点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍
∴2=4
∴=2
∴
∴当时，解得x=-1，经检验：x=-1为该分式方程的解.
当时，解得经检验：为该分式方程的解.
由图可知：点B在原点的右侧
∴x=-1
故答案为：-1
【分析】本题考查分式方程，根据点A到原点的距离=点B到原点的距离的2倍，可列出关于x的分式方程，解方程即可得出答案.
19．（2025八上·大冶期末）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，得，即，
去分母，得，
解得，
∵方程的解为正数，
∴且
解得且，
故答案为：且．
【分析】根据新定义的运算方法得到分式方程 ，解方程求出，根据题意得到且，解出m的取值范围即可．
20．（2024八上·通道期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
去分母得：
移项合并同类项得：
∴
检验：当时，
∴是原方程的根；
（2）解：
去分母得：
∴
检验：当时，
是原方程的增根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解分式方程，最后检验即可求解；
（2）根据题意解分式方程，最后检验即可求解。
21．（2024八上·雨湖期末） 若关于x的分式方程：的解为正数，求k的取值范围．
【答案】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，，
∵分母不能为0，∴，
，
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先求出分式方程的解为，再结合分式的解是正数及分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
三、拓展创新
22．（2024八上·怀化期末）根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为
以此类推：
（1）请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______；
（2）根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________；
（3）拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程．
【答案】（1）
（2）或
（3）解：，
变形得，，
整理得，，
∴或，
解得，
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据题目所给方法解题；
（2）根据题目所给方法解题；
（3）原方程变形为， 然后根据题目所给方法解题即可 ．
（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
（3）解：，
变形得，，整理得，，
∴或，
解得，．
1 / 1湘教版（2024）数学八年级上册2.5可化为一元一次方程的分式方程 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·石家庄月考）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·南宁期末）方程的解的情况是（ ）
A． B． C． D．无解
3．（2024八上·石家庄期中）解分式方程去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·昌黎期中）分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2019八上·港南期中）关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2020八上·鱼台期末）下列关于x的方程① ，② ，③ 1，④ 中，是分式方程的是 （ ）（填序号）
7．（2024八上·香洲期末）如果比大1，则 ．
8．（2020八上·海门月考）已知 -2是关于x的分式方程 的根，则实数k的值为 .
9．（2022八上·吉林期中）若关于x的分式方程无解，则a的值是 ．
10．（2023八上·崆峒期末）对于实数a，b，我们可以定义一种运算“”为：，则方程的解为 ．
11．（2024八上·硚口期末）解下列方程：
（1）
（2）
二、能力提升
12．（2024八上·石景山期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
13．（2024八上·永年开学考）若等式成立，则“”内的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024八上·宁波开学考）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是
15．（2024八上·南充期末）若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．7 B．5 C．0 D．－2
16．（2024八上·广平月考）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为 ．
17．（2023八上·临湘期中）关于的分式方程有解，则满足 。
18．（2024八上·东辽期末）如图，点，在数轴上，它们所表示的数分别是，，且点到原点的距离是点到原点的距离的倍，则 ．
19．（2025八上·大冶期末）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围 ．
20．（2024八上·通道期末）解方程：
（1）；
（2）．
21．（2024八上·雨湖期末） 若关于x的分式方程：的解为正数，求k的取值范围．
三、拓展创新
22．（2024八上·怀化期末）根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为
以此类推：
（1）请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______；
（2）根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________；
（3）拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解：A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程，D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故答案为：D．
【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：A、当x=0时，
则本项不符合题意，
B、当x=1时，
则本项符合题意，
C、当x=2时，
则本项不符合题意，
D、当x=1时，为方程的解，则本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将各项x的值代入原方程，观察方程左右是否相等即可.
3．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
先变形可得：
去分母，得．
故选：B．
【分析】本题考查解分式方程.先将方程进行变形可得：，再在方程两边同时乘以x-3去分母可得：，据此可选出答案.
4．【答案】C
【知识点】解分式方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】∵ 分式与互为相反数，
∴，
解得x=-2，
故答案为：C
【分析】先根据相反数的定义列出分式方程，进而结合题意解分式方程即可求解。
5．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+1=a，
由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，
代入整式方程得：a=5，
故答案为：D.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值.
6．【答案】②
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.
【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。
7．【答案】
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：x=，
故答案为：.
【分析】先根据题意列出方程，再利用分式方程的计算方法及步骤分析求解即可.
8．【答案】2
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x=-2代入方程 ，可得 ，即k=2.
故答案为：2.
【分析】将x=-2代入方程中可得关于k的方程，求解就可得到k的值.
9．【答案】3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：对分式方程化简，得到，∵分式方程无解，∴分式方程有增根，即x-2=0，另，解得a=3。
故答案为：3.
【分析】先对分式方程进行化简，用含a的式子表示出x，然后利用分式方程无解，得x的值，在带入求a即可。
10．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据新定义运算可得：，
又∵
，
方程两边同乘以，得
去括号得
移项得
合并同类项得
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】根据新定义运算，得到分式方程，再按照分式方程的求解步骤，求解即可.
11．【答案】（1）解：方程两边乘，
得，
解得：，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
（2）解：方程两边乘，
得，
解得，
检验：当时，，
因此，不是原分式方程的解．
故方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
12．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将分式方程，去分母得：，
整理得，
解得，
分式方程的解是正数，
，
；
又，
，
，
m的取值范围是且，
故选C．
【分析】将分式方程同时乘以(x-1)化为整式方程，求出x的值，再根据解是正数且分母不为零列不等式解答即可．
13．【答案】D
【知识点】公因式的概念；解分式方程
【解析】【解答】解：设，则有，
，．
故选：．
【分析】设，综合应用等式的性质解含x的方程求解即可，
14．【答案】A
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：的公分母是
方程两边同时乘上
得
若此整式方程无解，则
解得
若整式方程有解，使得公分母为0，则这个解是分式方程的增根
令：
∴
∴
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则或，故C是正确的；
故答案为：A
【分析】将含参的分式方程先化成整式方程后，在根据分式方程无解，分成两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但分式方程无解（分式方程有增根），分别解出m的值即可.
15．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解分式方程得：，
由分式方程的解为非负整数，可得：m＋5＝0，3，6，9，12…，
解之：m＝－5，－2，1，4，7…；
解不等式组：m≤y＜10，且不等式组至少有3个整数解，
得到m≤7，
所以m＝－5，－2，1，4，7.（因分式方程中x≠1，故m＝－2舍去）．
故m可取的整数值为－5，1，4，7.
其和为7．
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负整数，求出m的值，再结合m≤7，求出所有符合条件的整数，最后利用有理数的加法计算即可.
16．【答案】或10
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上，x的值为或10．
故答案为：或10．
【分析】结合流程图中的计算方法分类讨论：①当时，，②当时，，再分别求出x的值即可.
17．【答案】k≠3且k≠5
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∵该方程有解，
∴且，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【分析】解分式方程得，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案．
18．【答案】-1
【知识点】解分式方程；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】
解：∵点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍
∴2=4
∴=2
∴
∴当时，解得x=-1，经检验：x=-1为该分式方程的解.
当时，解得经检验：为该分式方程的解.
由图可知：点B在原点的右侧
∴x=-1
故答案为：-1
【分析】本题考查分式方程，根据点A到原点的距离=点B到原点的距离的2倍，可列出关于x的分式方程，解方程即可得出答案.
19．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，得，即，
去分母，得，
解得，
∵方程的解为正数，
∴且
解得且，
故答案为：且．
【分析】根据新定义的运算方法得到分式方程 ，解方程求出，根据题意得到且，解出m的取值范围即可．
20．【答案】（1）解：
去分母得：
移项合并同类项得：
∴
检验：当时，
∴是原方程的根；
（2）解：
去分母得：
∴
检验：当时，
是原方程的增根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解分式方程，最后检验即可求解；
（2）根据题意解分式方程，最后检验即可求解。
21．【答案】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，，
∵分母不能为0，∴，
，
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先求出分式方程的解为，再结合分式的解是正数及分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
22．【答案】（1）
（2）或
（3）解：，
变形得，，
整理得，，
∴或，
解得，
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据题目所给方法解题；
（2）根据题目所给方法解题；
（3）原方程变形为， 然后根据题目所给方法解题即可 ．
（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
（3）解：，
变形得，，整理得，，
∴或，
解得，．
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