湘教版（2024）数学 八年级上册2.5可化为一元一次方程的分式方程 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·浑江期末）甲、乙两人骑自行车从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，经过a小时甲追上乙；若相向而行，经过b小时甲、乙相遇.设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·襄都月考）某学校为进一步开展“阳光大课间”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球的单价比足球贵16元．篮球和足球的单价分别是多少元？小明列出了方程，则小明列的方程中x表示的是（ ）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
3．（2018八上·天河期末）某厂接到加工 件衣服的订单，预计每天做 件，正好按时完成，后因客户要求提前 天交费，设每天应多做 件，则 应满足的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2021八上·洪山期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八上·呈贡期中）师傅和徒弟两人每小时一共做40个零件，在相同的时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了x个零件，则可列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八上·宣化期中） 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一封信件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍. 小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．小明的观点正确 B．小亮的观点正确
C．两人观点都不正确 D．无法确定
7．（2018八上·黑龙江期末）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程 ．
8．（2022八上·呈贡月考）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为 ．
9．（2024八上·吉林期末）从体育强国到健康中国，“带动3亿人参加冰雪运动”这一愿景已经成功实现，也直接推动了群众体育发展．我市某中学组织八年级360名学生到北大湖滑雪场开展冬令营活动．学校到某旅游公司租车，该公司现有A，B两种车型，A型车与B型车的座位数的比为；如果分别租用这两种车型，所需A型车的数量比B型车多2辆．求该公司A，B两种车型各有多少个座位．
二、能力提升
10．（2024八上·南皮月考）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知______，求乙组每小时植树多少棵？
下面是题目的部分解题过程；则横线上缺少的条件为（ ）
解：设乙组每小时植树x棵． 由题意得：， …
A．甲组每小时比乙组少种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成
B．甲组每小时比乙组多种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成
C．甲组每小时比乙组少种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成
D．甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成
11．（2023八上·正定期中）老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶 ”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ）
甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则
丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则
A．甲、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
12．（2024八上·硚口期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（ ）
A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克岁索 D．个克罗索
13．（2024八上·临江期末）生活垃圾通常可分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾．某小区去年5月和12月的厨余垃圾分出量与其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：
月份 类别 5月 12月
厨余垃圾分出量（） 660 8400
其他三种垃圾的总量（） x
如果厨余垃圾分出率（生活垃圾总量＝厨佘垃圾分出量＋其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率是5月的厨余垃圾分出率的14倍，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024八上·玉州期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30km B．36km C．40km D．46km
15．（2019八上·威海期末）某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（ ）
A．40分钟 B．60分钟 C．80分钟 D．100分钟
16．（2024八上·益阳开学考）为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级班全体师生义务植树棵原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的倍，结果提前分钟完成任务列方程 ．
17．（2019八上·阳东期末）小明家离学校2000米，小明平时从家到学校需要用x分钟，今天起床晚，怕迟到，走路速度比平时快5米/分钟，结果比平时少用了2分钟到达学校，则根据题意可列方程 ．
18．（2025·安州模拟）在城区老旧燃气管道改造项目中，已知某小区需要新铺设一条长的管道，由于临近春节，平均每天实际施工长度比原计划减少，结果推迟了3天完成任务，则其原计划每天铺设管道的长度是 ．
19．（2025·镇海区模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天，
20．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ．
21．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装有3千克 A 粗粮，1千克 B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克 A 粗粮，2千克 B粗粮，2千克C粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和.已知 A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，求该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比.
三、拓展提升
22．（2024八上·防城期末）【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是元。
（1）请用含的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；
（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.
23．（2024八上·蔡甸期末）
（1）问题背景：两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰，求这两个小组的攀登速度各是多少？
（2）尝试应用：如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍（其中a＞1），并且比第二组早tmin到达顶峰，设第一组的速度为，第二组的速度为．
①请直接写出 ▲ ， ▲ ．（结果用含h、a、t的式子表示）
②化简：．（结果用含h、a、t的式子表示）
（3）拓展应用：在（2）的条件下，设，，分解因式： （直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：同向而行，可得：V1xa-V2xa=S，相向而行，可得：V1xb+V2xb=S，继而可得：aV1-aV2=bV1+bV2，化简得：，B正确。
故答案为：B。
【分析】分别根据甲乙两人同向行驶和相向行驶的关系列出等式，即可求出结果。
2．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】∵2800表示的是购买篮球的费用，4000表示的是购买足球的费用，
∴表示的是购买篮球的单价，表示的是购买足球的单价，
∴x表示的是篮球的数量，
故答案为：D.
【分析】根据“ 篮球的单价比足球贵16元 ”列出的方程，可得x表示的是篮球的数量，从而得解.
3．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设每天应多做x件，根据实际所用的时间比原计划所用的时间提前5天可列方程 ． 故答案为：D.
【分析】相等关系是：原计划所用的时间-实际所用的时间=5，根据这个相等关系列方程即可求解。
4．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】由题意得： ，
故答案为：A.
【分析】抓住关键已知条件：这批椽的价钱为6210文；每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列方程即可.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设每小时师傅做x个零件，则徒弟每小时做（40-x）个，
根据题意，得：。
故答案为：A。
【分析】：设每小时师傅做x个零件，则徒弟每小时做（40-x）个，根据 在相同的时间内，徒弟做100个零件，师傅做了300个零件，可列出方程。
6．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设规定时间为m天，则快马所需时间为（m-3）天，慢马所需时间为（m+2）天，由题意
得：，
解得：m=8，经检验m=8是原方程的解且符合题意，
故规定得时间为8天，
故答案为：B.
【分析】设规定时间为m天，则快马所需时间为（m-3）天，慢马所需时间为（m+2）天，利用慢马速度=快马速度，根据等量关系列出方程并解方程加以检验，进而求解.
7．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道（x+20）m，根据题意可得，实际比原计划少用15天完成任务，据此列方程即可．
【分析】相等关系是：原计划所用时间-实际所用时间=提前的时间15。根据这个相等关系列出方程即可求解。
8．【答案】30
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：两船在静水中的速度为．
故答案为：30．
【分析】设甲、乙两船在静水中的速度均为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意可得顺流行驶千米所用时间等于逆流所用时间，根据时间关系可得方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】解：设1辆A型车的载客量为人，则1辆B型车的载客量为人，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，，
答：1辆A型车的座位数为45个，则1辆B型车的座位数为60个．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据“所需A型车的数量比B型车多2辆”列出，再解方程计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题中所列分式方程可得，横线上缺少的条件为甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成，
故答案为：D．
【分析】根据方程可得，先分别求出甲、乙两组的植树速度，再结合“”可得甲组比乙组提前2小时完成，从而得解.
11．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】①方法一：设该品牌的饮料每瓶是元，则五一期间促销每瓶是0.9x元，
根据题意可得：或，
∴甲不正确，丙正确；
②方法二：设该品牌饮料每箱瓶，
根据题意可得：，
∴乙正确，丁不正确；
综上，乙和丙正确，
故答案为：C.
【分析】利用两种方法：①方法一：设该品牌的饮料每瓶是元，②方法二：设该品牌饮料每箱瓶，再分别列出方程分析求解即可.
12．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，则第二个农妇所带鸡蛋个数为（100 x）个，
根据题意得：，
解得：x＝40．
经检验，x＝40是原方程的根，
∴第一个农妇的每个鸡蛋价格是（元）．
故答案为：B．
【分析】设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，则第二个农妇所带鸡蛋个数为（100 x）个，根据“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索”列出方程，再求解即可.
13．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设5月份其他三种垃圾的总量为x千克，根据题意，得：
故答案为：B。
【分析】设5月份其他三种垃圾的总量为x千克，根据 该小区12月的厨余垃圾分出率是5月的厨余垃圾分出率的14倍， 即可得出方程。
14．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x＋12）km，
根据题意可得：，
解得：x＝36，
经检验，x＝36是原方程的解，
∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km，
故答案为：B．
【分析】设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x＋12）km，根据“乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的”列出方程，再求解即可.
15．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙单独完成需要x分钟，
由题意可知：20( + )+ ＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
故答案为：C.
【分析】根据“工作效率 工作时间=工作总量”列出方程解决即可.
16．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，
根据题意得：，
故答案为：.
【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．
17．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设小明平时从家到学校需要用x分钟，则实际从家到学校用（x-2）分钟，
根据题意，得 ．
故答案为： ．
【分析】设小明平时从家到学校需要用x分钟，根据速度差列分式方程即可.
18．【答案】40
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道．
故答案为：40．
【分析】设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，根据“ 结果推迟了3天完成任务 ”列出方程，再求解即可.
19．【答案】11
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设规定时间为天，根据题意得：
，
整理得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：11．
【分析】设规定时间为天，根据题中的相等关系"快马的速度=慢马的速度×"可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解．
20．【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
21．【答案】解：设甲种粗粮每袋的成本价为 a 元，
则 解得a=45，
∵甲种粗粮中A粗粮的成本价为每千克6元，
∴B粗粮和C粗粮的成本价和为45-6×3=27(元)，
∴乙种粗粮的成本价为6+27×2=60(元)，
设乙种粗粮的售价为每袋b 元，则 解得b=72，
设甲种袋装粗粮的销售量为x袋，乙种袋装粗粮的销售量为y袋，当销售利润达到24%时，
则 整理得2.7x=2.4y，
即
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设甲种粗粮每袋的成本价为 a 元，根据题意建立方程，解方程可得a=45，求出B粗粮和C粗粮的成本价和，乙种粗粮的成本价，设乙种粗粮的售价为每袋b 元，根据题意建立方程，解方程可得b=72，设甲种袋装粗粮的销售量为x袋，乙种袋装粗粮的销售量为y袋，当销售利润达到24%时，建立方程，化简即可求出答案.
22．【答案】（1）解：购买甲种足球的数量为个，购买甲种足球的数量为个；
（2）解：∵购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
∴，
方程两边同时乘以，得
解得：，
检验：把代入，
所以是原方程的解，且符合题意。
（个），
答：甲种足球在此商场的销售单价为50元，乙种足球在此商场的销售单价为70元；
（3）解：设购买乙种足球个，则购买甲种足球个，
（元），（元），
由题意得：，
.
答：这所学校最多可购买25个乙种足球.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)、根据购买足球的数量=总费用单价，列式即可.
(2)、根据购买足球的数量=总费用单价，列出分式方程，进而求解即可.
(3)、由题意列出一元一次不等式，进而求解即可.
23．【答案】（1）解：设第二小组的速度为xm/min，则第一小组的速度为1.2xm/min，
依题意得方程：，
解得：x=5，
经检验：x=5是原分式方程的解，
∴1.2x=6，
∴第一小组的速度是6m/min，第二小组的速度是5m/min.
（2）解：①设第二组的速度为ym/min，
由题意得：，
两边都乘以ay得：ah=h+aty，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故答案为：；；
②
.
（3）
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】∵，ah=1，
∴atV+h=（a+1）（1-h）+h=a-1+1-h+h=a，
∴
=x2-5x+6
=（x-2）（x-3）；
故答案为：（x-2）（x-3）.
【分析】（1）根据“他们比第二组早15min到达顶峰”列方程求解即可；
（2）①根据“比第二组早t min到达顶峰”列方程求解即可；
②根据①的结论，代入计算即可；
（3）把（2）的结论代入得出atV+h=a，代入并分解因式即可得出答案.
1 / 1湘教版（2024）数学 八年级上册2.5可化为一元一次方程的分式方程 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·浑江期末）甲、乙两人骑自行车从相距s千米的两地同时出发，若同向而行，经过a小时甲追上乙；若相向而行，经过b小时甲、乙相遇.设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：同向而行，可得：V1xa-V2xa=S，相向而行，可得：V1xb+V2xb=S，继而可得：aV1-aV2=bV1+bV2，化简得：，B正确。
故答案为：B。
【分析】分别根据甲乙两人同向行驶和相向行驶的关系列出等式，即可求出结果。
2．（2023八上·襄都月考）某学校为进一步开展“阳光大课间”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球的单价比足球贵16元．篮球和足球的单价分别是多少元？小明列出了方程，则小明列的方程中x表示的是（ ）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】∵2800表示的是购买篮球的费用，4000表示的是购买足球的费用，
∴表示的是购买篮球的单价，表示的是购买足球的单价，
∴x表示的是篮球的数量，
故答案为：D.
【分析】根据“ 篮球的单价比足球贵16元 ”列出的方程，可得x表示的是篮球的数量，从而得解.
3．（2018八上·天河期末）某厂接到加工 件衣服的订单，预计每天做 件，正好按时完成，后因客户要求提前 天交费，设每天应多做 件，则 应满足的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设每天应多做x件，根据实际所用的时间比原计划所用的时间提前5天可列方程 ． 故答案为：D.
【分析】相等关系是：原计划所用的时间-实际所用的时间=5，根据这个相等关系列方程即可求解。
4．（2021八上·洪山期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】由题意得： ，
故答案为：A.
【分析】抓住关键已知条件：这批椽的价钱为6210文；每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列方程即可.
5．（2023八上·呈贡期中）师傅和徒弟两人每小时一共做40个零件，在相同的时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了x个零件，则可列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设每小时师傅做x个零件，则徒弟每小时做（40-x）个，
根据题意，得：。
故答案为：A。
【分析】：设每小时师傅做x个零件，则徒弟每小时做（40-x）个，根据 在相同的时间内，徒弟做100个零件，师傅做了300个零件，可列出方程。
6．（2023八上·宣化期中） 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一封信件用慢马送到1000里外的城市，需要的时间比规定时间多2天；若用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍. 小明认为规定的时间为7天，小亮认为规定的时间为8天，关于两个人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．小明的观点正确 B．小亮的观点正确
C．两人观点都不正确 D．无法确定
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设规定时间为m天，则快马所需时间为（m-3）天，慢马所需时间为（m+2）天，由题意
得：，
解得：m=8，经检验m=8是原方程的解且符合题意，
故规定得时间为8天，
故答案为：B.
【分析】设规定时间为m天，则快马所需时间为（m-3）天，慢马所需时间为（m+2）天，利用慢马速度=快马速度，根据等量关系列出方程并解方程加以检验，进而求解.
7．（2018八上·黑龙江期末）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程 ．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道（x+20）m，根据题意可得，实际比原计划少用15天完成任务，据此列方程即可．
【分析】相等关系是：原计划所用时间-实际所用时间=提前的时间15。根据这个相等关系列出方程即可求解。
8．（2022八上·呈贡月考）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为 ．
【答案】30
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：两船在静水中的速度为．
故答案为：30．
【分析】设甲、乙两船在静水中的速度均为，则顺流速度为，逆流速度为，根据题意可得顺流行驶千米所用时间等于逆流所用时间，根据时间关系可得方程，解方程即可求出答案.
9．（2024八上·吉林期末）从体育强国到健康中国，“带动3亿人参加冰雪运动”这一愿景已经成功实现，也直接推动了群众体育发展．我市某中学组织八年级360名学生到北大湖滑雪场开展冬令营活动．学校到某旅游公司租车，该公司现有A，B两种车型，A型车与B型车的座位数的比为；如果分别租用这两种车型，所需A型车的数量比B型车多2辆．求该公司A，B两种车型各有多少个座位．
【答案】解：设1辆A型车的载客量为人，则1辆B型车的载客量为人，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，，
答：1辆A型车的座位数为45个，则1辆B型车的座位数为60个．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据“所需A型车的数量比B型车多2辆”列出，再解方程计算求解即可。
二、能力提升
10．（2024八上·南皮月考）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知______，求乙组每小时植树多少棵？
下面是题目的部分解题过程；则横线上缺少的条件为（ ）
解：设乙组每小时植树x棵． 由题意得：， …
A．甲组每小时比乙组少种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成
B．甲组每小时比乙组多种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成
C．甲组每小时比乙组少种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成
D．甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题中所列分式方程可得，横线上缺少的条件为甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成，
故答案为：D．
【分析】根据方程可得，先分别求出甲、乙两组的植树速度，再结合“”可得甲组比乙组提前2小时完成，从而得解.
11．（2023八上·正定期中）老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶 ”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ）
甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则
丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则
A．甲、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】①方法一：设该品牌的饮料每瓶是元，则五一期间促销每瓶是0.9x元，
根据题意可得：或，
∴甲不正确，丙正确；
②方法二：设该品牌饮料每箱瓶，
根据题意可得：，
∴乙正确，丁不正确；
综上，乙和丙正确，
故答案为：C.
【分析】利用两种方法：①方法一：设该品牌的饮料每瓶是元，②方法二：设该品牌饮料每箱瓶，再分别列出方程分析求解即可.
12．（2024八上·硚口期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（ ）
A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克岁索 D．个克罗索
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，则第二个农妇所带鸡蛋个数为（100 x）个，
根据题意得：，
解得：x＝40．
经检验，x＝40是原方程的根，
∴第一个农妇的每个鸡蛋价格是（元）．
故答案为：B．
【分析】设第一个农妇所带鸡蛋个数为x个，则第二个农妇所带鸡蛋个数为（100 x）个，根据“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索”列出方程，再求解即可.
13．（2024八上·临江期末）生活垃圾通常可分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾．某小区去年5月和12月的厨余垃圾分出量与其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：
月份 类别 5月 12月
厨余垃圾分出量（） 660 8400
其他三种垃圾的总量（） x
如果厨余垃圾分出率（生活垃圾总量＝厨佘垃圾分出量＋其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率是5月的厨余垃圾分出率的14倍，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设5月份其他三种垃圾的总量为x千克，根据题意，得：
故答案为：B。
【分析】设5月份其他三种垃圾的总量为x千克，根据 该小区12月的厨余垃圾分出率是5月的厨余垃圾分出率的14倍， 即可得出方程。
14．（2024八上·玉州期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30km B．36km C．40km D．46km
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x＋12）km，
根据题意可得：，
解得：x＝36，
经检验，x＝36是原方程的解，
∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km，
故答案为：B．
【分析】设小李乘公交车上班平均每小时行驶x km，则他自驾车平均每小时行驶的路程（x＋12）km，根据“乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的”列出方程，再求解即可.
15．（2019八上·威海期末）某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（ ）
A．40分钟 B．60分钟 C．80分钟 D．100分钟
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙单独完成需要x分钟，
由题意可知：20( + )+ ＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
故答案为：C.
【分析】根据“工作效率 工作时间=工作总量”列出方程解决即可.
16．（2024八上·益阳开学考）为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级班全体师生义务植树棵原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的倍，结果提前分钟完成任务列方程 ．
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，
根据题意得：，
故答案为：.
【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．
17．（2019八上·阳东期末）小明家离学校2000米，小明平时从家到学校需要用x分钟，今天起床晚，怕迟到，走路速度比平时快5米/分钟，结果比平时少用了2分钟到达学校，则根据题意可列方程 ．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设小明平时从家到学校需要用x分钟，则实际从家到学校用（x-2）分钟，
根据题意，得 ．
故答案为： ．
【分析】设小明平时从家到学校需要用x分钟，根据速度差列分式方程即可.
18．（2025·安州模拟）在城区老旧燃气管道改造项目中，已知某小区需要新铺设一条长的管道，由于临近春节，平均每天实际施工长度比原计划减少，结果推迟了3天完成任务，则其原计划每天铺设管道的长度是 ．
【答案】40
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道．
故答案为：40．
【分析】设原计划每天铺设管道，则实际每天铺设管道，根据“ 结果推迟了3天完成任务 ”列出方程，再求解即可.
19．（2025·镇海区模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为 天，
【答案】11
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设规定时间为天，根据题意得：
，
整理得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：11．
【分析】设规定时间为天，根据题中的相等关系"快马的速度=慢马的速度×"可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解．
20．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ．
【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
21．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装有3千克 A 粗粮，1千克 B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克 A 粗粮，2千克 B粗粮，2千克C粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的A，B，C三种粗粮的成本价之和.已知 A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，求该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比.
【答案】解：设甲种粗粮每袋的成本价为 a 元，
则 解得a=45，
∵甲种粗粮中A粗粮的成本价为每千克6元，
∴B粗粮和C粗粮的成本价和为45-6×3=27(元)，
∴乙种粗粮的成本价为6+27×2=60(元)，
设乙种粗粮的售价为每袋b 元，则 解得b=72，
设甲种袋装粗粮的销售量为x袋，乙种袋装粗粮的销售量为y袋，当销售利润达到24%时，
则 整理得2.7x=2.4y，
即
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设甲种粗粮每袋的成本价为 a 元，根据题意建立方程，解方程可得a=45，求出B粗粮和C粗粮的成本价和，乙种粗粮的成本价，设乙种粗粮的售价为每袋b 元，根据题意建立方程，解方程可得b=72，设甲种袋装粗粮的销售量为x袋，乙种袋装粗粮的销售量为y袋，当销售利润达到24%时，建立方程，化简即可求出答案.
三、拓展提升
22．（2024八上·防城期末）【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是元。
（1）请用含的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；
（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.
【答案】（1）解：购买甲种足球的数量为个，购买甲种足球的数量为个；
（2）解：∵购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
∴，
方程两边同时乘以，得
解得：，
检验：把代入，
所以是原方程的解，且符合题意。
（个），
答：甲种足球在此商场的销售单价为50元，乙种足球在此商场的销售单价为70元；
（3）解：设购买乙种足球个，则购买甲种足球个，
（元），（元），
由题意得：，
.
答：这所学校最多可购买25个乙种足球.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)、根据购买足球的数量=总费用单价，列式即可.
(2)、根据购买足球的数量=总费用单价，列出分式方程，进而求解即可.
(3)、由题意列出一元一次不等式，进而求解即可.
23．（2024八上·蔡甸期末）
（1）问题背景：两个小组同时开始攀登一座450m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰，求这两个小组的攀登速度各是多少？
（2）尝试应用：如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍（其中a＞1），并且比第二组早tmin到达顶峰，设第一组的速度为，第二组的速度为．
①请直接写出 ▲ ， ▲ ．（结果用含h、a、t的式子表示）
②化简：．（结果用含h、a、t的式子表示）
（3）拓展应用：在（2）的条件下，设，，分解因式： （直接写出结果）
【答案】（1）解：设第二小组的速度为xm/min，则第一小组的速度为1.2xm/min，
依题意得方程：，
解得：x=5，
经检验：x=5是原分式方程的解，
∴1.2x=6，
∴第一小组的速度是6m/min，第二小组的速度是5m/min.
（2）解：①设第二组的速度为ym/min，
由题意得：，
两边都乘以ay得：ah=h+aty，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故答案为：；；
②
.
（3）
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】∵，ah=1，
∴atV+h=（a+1）（1-h）+h=a-1+1-h+h=a，
∴
=x2-5x+6
=（x-2）（x-3）；
故答案为：（x-2）（x-3）.
【分析】（1）根据“他们比第二组早15min到达顶峰”列方程求解即可；
（2）①根据“比第二组早t min到达顶峰”列方程求解即可；
②根据①的结论，代入计算即可；
（3）把（2）的结论代入得出atV+h=a，代入并分解因式即可得出答案.
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