第二章 《分式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列分式中， 是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·温州期末）已知，则分式的值为（ ）
A．5 B． C． D．1
3．（2025七下·上城期末） 已知，，，下列计算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4． 试卷上一个正确的式子 被小颖同学不小心滴上墨汁 （ ）．被墨汁 （ 遮住部分的代数式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·义乌月考）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 -2 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A．m=2 B．n=6 C．a=-4 D．b=-3
6．（2025七下·莲都期末） 为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（ ）．
A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成
D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成
7．（2024七下·临平月考）已知，则的值是（ ）
A． B． C．4 D．8
8．（2023八上·南通月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
9．（2018-2019学年初中数学浙教版七年级下册第五章分式 章末检测）已知公式 （ ），则表示 的公式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x 4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2018八上·自贡期末）若分式 的值为零，则x的值为 .
12．已知 ， 则实数
13．若 ， 则
14．若 为整数，则整数n 可能取的值有 个.
15．（2023七下·金东期末）若，则 ．
16．（2018八上·长春月考）若6x=3，6y=2，则62x﹣3y= ．
17．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．（2023八上·开州期中）重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2024八上·怀化期末）解分式方程．
（1）
（2）
20． 化简：
（1） ．
（2） ．
21． 计算：
（1）
（2）
22．（2023七下·六安期末）先化简，再在的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．
23．（2025七下·南海月考）在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．
（1）已知，若，，请你也利用逆向思考的方法求的值；
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题：
小贤的作业 计算：． 解：．
计算：．
24．（2024八上·毕节期末） 已知，关于的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求为何值时分式方程无解；
（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
25． 如图， 数轴上有 四点， 点 对应的数为 ， 已知 ， 两点同时从原点 沿着数轴正方向以 和 的速度运动， 且 ． 点 到点 后立即朝数轴的负方向运动， 在 处与点 相遇， 相遇后点 也立即朝着数轴的负方向运动， 且 两点的速度都变为原来的 ． 当点 返回到原点 时， 点 恰好在 处．
（1） 当 两点相遇时， 求点 前进的路程 (用含 的式子表示)．
（2）求 两点相遇前速度的比值 (用含有 的式子表示)．
（3） 当点 到 处时， 问点 是否已经过原点 ， 请说明理由．
26．（2025七下·椒江期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、分式中，分子和分母没有公共因子，因此这个分式已经是最简形式，符合题意；
B、分式可以进一步化简为，因此这个分式不是最简形式，不符合题意；
C、分式可以进一步化简为，因此这个分式不是最简形式，不符合题意；
D、分式可以进一步化简为，因此这个分式不是最简形式，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】最简分式的基本条件：分子和分母没有公共的因式. 选项A满足了这个条件，而其他选项经过化简后，分子和分母存在公共因式，因此不符合最简分式的要求.
2．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ∵2x-3y=0，
∴2x=3y，
∴x=1.5y，
将x=1.5y代入，
得，
故答案为：C.
【分析】 由已知条件易得x=1.5y，然后将其代入原式计算即可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
正确；
正确；
③由②可知 正确；
封
或 错误.
正确的①②③.
故答案为：A.
【分析】根据分式的加减运算、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】将 视为商，将视为除数，然后根据分式的除法计算法则计算出 即可.
5．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式无意义及分母为0即可求出m的值如下：
当x=-2时，分式无意义，
∴x+m=0，即-2+m=0，
∴m=2，
故A选项不符合题意；
此时分式为，
当x=2时，分式的值为0，
∴，
∴n=6，
故B选项不符合题意；
此时分式为
当分式的值为1时，，
解得x=4，即a=4，
故C选项错误，符合题意，
当x=0时，，
故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式无意义及分母为0即可求出m的值，根据当x=2时分式的值为0即可求出n的值，根据分式的值为1即可求出a的值，根据x=0即可求出b的值.
6．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵a表示原计划每天铺设公路的长度，
表示实际每天铺设公路的长度，
∴实际每天铺设比原计划多铺设20米；
∵所列分式方程为 表示原计划所需时间， 表示实际所需时间，
∴结果提前6天完成，
∴题中用“……”表示的缺失条件应补为：实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果提前6天完成.
故答案为： A.
【分析】由a， 间的关系，可得出实际每天铺设比原计划多铺设20米，结合所列分式方程，可得出结果提前6天完成，此题得解.
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：B.
【分析】结合已知条件根据同底数幂乘法的逆运算求得，再根据幂的乘方的逆运算进行求解即可.
8．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
9．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解 ：∵ ，∴，∴，∴，∴∴，∵ ，∴；
故答案为 ：D。
【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x和y互为相反数时，则
∴
∴则本项不符合题意；
②由题意得：
∴
∴6x﹣y的值与k无关，则本项符合题意；
③∵
∴23x×22y=25，
∴23x+2y=25，
∴
∴
∴3k-4=5，
解得：则本项符合题意；
④∵xk＝1，k为整数，
①当时，，
解得：，符合题意；
②当时，，
解得：，符合题意；
③当x=-1时，，
解得：，不符合题意
∴k的值为0，1，
综上所述，正确的说法有②③，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到：将其代入方程组即可求出k的值，进而即可判断①；由题意得：化简整理得：进而即可判断②；根据同底数幂的乘法即可得到：进而即可判断③；根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，进而即可判断④.
11．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据分式值为0的条件，则
解得：
故答案为：2.
【分析】分式的值为0，则分子＝0且分母≠0 ，建立方程和不等式求解即可。
12．【答案】1
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴A+B=3，-2A-B=-4，
∴A=1，B=2.
故答案为：1.
【分析】先计算等式右侧，将得到的结果与左侧进行比较，便可以找到解决这个问题的关键.
13．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴x=2y.
∴.
故答案为：.
【分析】先将条件转化为x=2y，然后计算 ，再整体代入即可.
14．【答案】18
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
∵为整数，
∴n-3是36的约数，
即n-3可以为±1，±2，±3，±4，±6，±9，±12，±18，±36，
∴n得值有18个，
故答案为：18 .
【分析】把分式化为，即可得到n-3是36的约数，然后得到所有n的值即可解题.
15．【答案】2或3或-1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：本题要分三种情况讨论：
①∵1的任何次幂都等于1
∴5-2x=1
解得：x=2
②∵-1的偶数次幂都等于1
∴5-2x=-1
解得：x=3
此时x+1=4是偶数，符合题意；
③∵任何不等于零的数的零次幂都等于1
∴x+1=0
∴x=-1
此时5-2x=5+2=7≠0，符合题意；
综上所述：x=2或3或-1.
故答案为：2或3或-1.
【分析】一个数的次幂等于1有三种情况：1的任何次幂都等于1；-1的偶数次幂都等于1；任何不等于零的数的零次幂都等于1.三种情况分别列出关于x的方程，注意要检验x是否符合题意，最后得出答案.
16．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】∵6x=3，6y=2，
∴62x﹣3y=（6x）2÷（6y）3=9÷8= ．
故答案为： ．
【分析】先将原式变形为和已知有关的形式（6x）2÷（6y）3，再将已知条件代入变形后的式子即可.
17．【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
18．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，
设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，
∵摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，
∴，
解得x＝30m，
∴7月份摆摊增加的营业额为×30m＝12m，堂食、外买增加的营业额之和为30m﹣12m＝18m，
设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，
∵堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，
∴，
解得y＝13m，
∴7月份外卖增加的营业额为18m﹣y＝5m，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是＝；
故答案为：．
【分析】根据由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，列出分式方程解得7月份摆摊增加的营业额为12m，堂食、外买增加的营业额之和为18m，设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，根据堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，列出分式方程求出7月份外卖增加的营业额，进而得到7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比，从而求解.
19．【答案】（1）解：
解：方程两边同乘，得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，所以是原分式方程的解．
（2）解：
解：方程两边同乘，得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，所以是增根，原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先将方程两边同乘，转化为一元一次方程，解一元一次方程，检验、作答即可.
（2）先将方程两边同乘，转化为一元一次方程，解一元一次方程，检验是否为增根，再作答即可.
20．【答案】（1）解：原式=·
=·
=
（2）解：原式= ÷
=×
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】在解答过程中，我们需要将除法转化为乘法，将括号中的式子进行化简，最后再进行分式的乘法运算.
21．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据乘方、负整数指数幂、零指数幂分别求得每一项的值，并进行加减运算即可；
（2）先根据零指数幂、负整数指数幂及积的乘方的逆用求得每一项的值，再进行加减运算即可．
22．【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
又∵，且a是整数，
∴，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有无意义的条件
【解析】【分析】会运用分式除法法则及完全平方公式，不忽视分式有意义的条件。
23．【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法逆运算法则，先利用逆向运算同底数幂除法运算法则，得到，进行计算，即可得到答案；
（2）根据逆用积的乘方运算法则，进行化简计算，即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
24．【答案】（1）解：把，代入分式方程 中，
得，
方程两边同时乘，
，
，
，
，
检验：把 代入，
所以原分式方程的解是．
（2）解：把代入分式方程 得，
方程两边同时乘，
，
，
，
当时，即，方程无解；
当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程 无解．
（3）解：把代入分式方程 中，得：，
方程两边同时乘，
，
整理得：，
，
，且为正整数，为整数，
必为的因数，，
，
的因数有、、、、、、、，
但、、小于，不合题意，故可以取、、、、这五个数．
对应地，方程的解为、、、、，
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取、、、，
所以满足条件的可取、、、这四个数．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）把a、b的值代入方程中，再解分式方程并检验即可；
（2）把a的值代入方程中，再解关于x的方程。无解有两种情况：一是整式方程无解，二是解为增根；
（3）把a=3b代入方程中，解关于x的方程，利用整除性、结合增根求解。
25．【答案】（1）解：∵CD=3，点D对应的数为x，
∴点C对应的数为x-3.
∴OC=x-3.
∵当P，Q相遇时，P走到了C点，此时P前进的路程即为OC=x-3.
（2）解：经过相同的时间，P，Q在C点相遇，根据（1）所得，P点走过的路程是x-3，而Q点走过的路程是OD+CD=x+3.
∴速度之比等于路程之比，即.
（3）解：P点已经过原点O，理由如下：
P、Q从C点出发，在相等的时间内，Q点回到O点，走过的路程为x-3，而P点走过的路程为x-3-5=x-8，则有，整理可得.
结合（2）所得速度之比，可列出方程，解得x=33.
当Q从O点出发（此时P点在B处）朝数轴的负方向到达A点时，P点走过的路程为：
＞5.
∴P点已经过原点O.
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）、点P前进的路程为OC，结合条件用x表示出OC的距离即可；（2）、P与Q相遇时用时相等，因此速度之比等于路程之比，此为解题关键；（3）利用条件考虑从负方向的角度写出与（2）不同的速度之比的表达式，两者结合即可算出x的值，也就算出速度比值. 相同时间内，利用速度比值间接求出P从B点出发走过的路程，与OB比较即可知道是否过原点O.
26．【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
1 / 1第二章 《分式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列分式中， 是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、分式中，分子和分母没有公共因子，因此这个分式已经是最简形式，符合题意；
B、分式可以进一步化简为，因此这个分式不是最简形式，不符合题意；
C、分式可以进一步化简为，因此这个分式不是最简形式，不符合题意；
D、分式可以进一步化简为，因此这个分式不是最简形式，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】最简分式的基本条件：分子和分母没有公共的因式. 选项A满足了这个条件，而其他选项经过化简后，分子和分母存在公共因式，因此不符合最简分式的要求.
2．（2025七下·温州期末）已知，则分式的值为（ ）
A．5 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ∵2x-3y=0，
∴2x=3y，
∴x=1.5y，
将x=1.5y代入，
得，
故答案为：C.
【分析】 由已知条件易得x=1.5y，然后将其代入原式计算即可.
3．（2025七下·上城期末） 已知，，，下列计算结果正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
正确；
正确；
③由②可知 正确；
封
或 错误.
正确的①②③.
故答案为：A.
【分析】根据分式的加减运算、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则逐项分析判断即可.
4． 试卷上一个正确的式子 被小颖同学不小心滴上墨汁 （ ）．被墨汁 （ 遮住部分的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】将 视为商，将视为除数，然后根据分式的除法计算法则计算出 即可.
5．（2025七下·义乌月考）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 -2 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A．m=2 B．n=6 C．a=-4 D．b=-3
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式无意义及分母为0即可求出m的值如下：
当x=-2时，分式无意义，
∴x+m=0，即-2+m=0，
∴m=2，
故A选项不符合题意；
此时分式为，
当x=2时，分式的值为0，
∴，
∴n=6，
故B选项不符合题意；
此时分式为
当分式的值为1时，，
解得x=4，即a=4，
故C选项错误，符合题意，
当x=0时，，
故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式无意义及分母为0即可求出m的值，根据当x=2时分式的值为0即可求出n的值，根据分式的值为1即可求出a的值，根据x=0即可求出b的值.
6．（2025七下·莲都期末） 为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（ ）．
A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成
D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵a表示原计划每天铺设公路的长度，
表示实际每天铺设公路的长度，
∴实际每天铺设比原计划多铺设20米；
∵所列分式方程为 表示原计划所需时间， 表示实际所需时间，
∴结果提前6天完成，
∴题中用“……”表示的缺失条件应补为：实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果提前6天完成.
故答案为： A.
【分析】由a， 间的关系，可得出实际每天铺设比原计划多铺设20米，结合所列分式方程，可得出结果提前6天完成，此题得解.
7．（2024七下·临平月考）已知，则的值是（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：B.
【分析】结合已知条件根据同底数幂乘法的逆运算求得，再根据幂的乘方的逆运算进行求解即可.
8．（2023八上·南通月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
9．（2018-2019学年初中数学浙教版七年级下册第五章分式 章末检测）已知公式 （ ），则表示 的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解 ：∵ ，∴，∴，∴，∴∴，∵ ，∴；
故答案为 ：D。
【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
10．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x 4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x和y互为相反数时，则
∴
∴则本项不符合题意；
②由题意得：
∴
∴6x﹣y的值与k无关，则本项符合题意；
③∵
∴23x×22y=25，
∴23x+2y=25，
∴
∴
∴3k-4=5，
解得：则本项符合题意；
④∵xk＝1，k为整数，
①当时，，
解得：，符合题意；
②当时，，
解得：，符合题意；
③当x=-1时，，
解得：，不符合题意
∴k的值为0，1，
综上所述，正确的说法有②③，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到：将其代入方程组即可求出k的值，进而即可判断①；由题意得：化简整理得：进而即可判断②；根据同底数幂的乘法即可得到：进而即可判断③；根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，进而即可判断④.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2018八上·自贡期末）若分式 的值为零，则x的值为 .
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据分式值为0的条件，则
解得：
故答案为：2.
【分析】分式的值为0，则分子＝0且分母≠0 ，建立方程和不等式求解即可。
12．已知 ， 则实数
【答案】1
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴A+B=3，-2A-B=-4，
∴A=1，B=2.
故答案为：1.
【分析】先计算等式右侧，将得到的结果与左侧进行比较，便可以找到解决这个问题的关键.
13．若 ， 则
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴x=2y.
∴.
故答案为：.
【分析】先将条件转化为x=2y，然后计算 ，再整体代入即可.
14．若 为整数，则整数n 可能取的值有 个.
【答案】18
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
∵为整数，
∴n-3是36的约数，
即n-3可以为±1，±2，±3，±4，±6，±9，±12，±18，±36，
∴n得值有18个，
故答案为：18 .
【分析】把分式化为，即可得到n-3是36的约数，然后得到所有n的值即可解题.
15．（2023七下·金东期末）若，则 ．
【答案】2或3或-1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：本题要分三种情况讨论：
①∵1的任何次幂都等于1
∴5-2x=1
解得：x=2
②∵-1的偶数次幂都等于1
∴5-2x=-1
解得：x=3
此时x+1=4是偶数，符合题意；
③∵任何不等于零的数的零次幂都等于1
∴x+1=0
∴x=-1
此时5-2x=5+2=7≠0，符合题意；
综上所述：x=2或3或-1.
故答案为：2或3或-1.
【分析】一个数的次幂等于1有三种情况：1的任何次幂都等于1；-1的偶数次幂都等于1；任何不等于零的数的零次幂都等于1.三种情况分别列出关于x的方程，注意要检验x是否符合题意，最后得出答案.
16．（2018八上·长春月考）若6x=3，6y=2，则62x﹣3y= ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】∵6x=3，6y=2，
∴62x﹣3y=（6x）2÷（6y）3=9÷8= ．
故答案为： ．
【分析】先将原式变形为和已知有关的形式（6x）2÷（6y）3，再将已知条件代入变形后的式子即可.
17．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
18．（2023八上·开州期中）重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，
设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，
∵摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，
∴，
解得x＝30m，
∴7月份摆摊增加的营业额为×30m＝12m，堂食、外买增加的营业额之和为30m﹣12m＝18m，
设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，
∵堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，
∴，
解得y＝13m，
∴7月份外卖增加的营业额为18m﹣y＝5m，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是＝；
故答案为：．
【分析】根据由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，列出分式方程解得7月份摆摊增加的营业额为12m，堂食、外买增加的营业额之和为18m，设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，根据堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，列出分式方程求出7月份外卖增加的营业额，进而得到7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比，从而求解.
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2024八上·怀化期末）解分式方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：
解：方程两边同乘，得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，所以是原分式方程的解．
（2）解：
解：方程两边同乘，得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，所以是增根，原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先将方程两边同乘，转化为一元一次方程，解一元一次方程，检验、作答即可.
（2）先将方程两边同乘，转化为一元一次方程，解一元一次方程，检验是否为增根，再作答即可.
20． 化简：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式=·
=·
=
（2）解：原式= ÷
=×
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】在解答过程中，我们需要将除法转化为乘法，将括号中的式子进行化简，最后再进行分式的乘法运算.
21． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据乘方、负整数指数幂、零指数幂分别求得每一项的值，并进行加减运算即可；
（2）先根据零指数幂、负整数指数幂及积的乘方的逆用求得每一项的值，再进行加减运算即可．
22．（2023七下·六安期末）先化简，再在的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．
【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
又∵，且a是整数，
∴，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有无意义的条件
【解析】【分析】会运用分式除法法则及完全平方公式，不忽视分式有意义的条件。
23．（2025七下·南海月考）在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题．
（1）已知，若，，请你也利用逆向思考的方法求的值；
（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题：
小贤的作业 计算：． 解：．
计算：．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法逆运算法则，先利用逆向运算同底数幂除法运算法则，得到，进行计算，即可得到答案；
（2）根据逆用积的乘方运算法则，进行化简计算，即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
．
（2）解：
．
24．（2024八上·毕节期末） 已知，关于的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求为何值时分式方程无解；
（3）若，且、为正整数，当分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】（1）解：把，代入分式方程 中，
得，
方程两边同时乘，
，
，
，
，
检验：把 代入，
所以原分式方程的解是．
（2）解：把代入分式方程 得，
方程两边同时乘，
，
，
，
当时，即，方程无解；
当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，．
综上所述，或时，分式方程 无解．
（3）解：把代入分式方程 中，得：，
方程两边同时乘，
，
整理得：，
，
，且为正整数，为整数，
必为的因数，，
，
的因数有、、、、、、、，
但、、小于，不合题意，故可以取、、、、这五个数．
对应地，方程的解为、、、、，
由于为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，只可以取、、、，
所以满足条件的可取、、、这四个数．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）把a、b的值代入方程中，再解分式方程并检验即可；
（2）把a的值代入方程中，再解关于x的方程。无解有两种情况：一是整式方程无解，二是解为增根；
（3）把a=3b代入方程中，解关于x的方程，利用整除性、结合增根求解。
25． 如图， 数轴上有 四点， 点 对应的数为 ， 已知 ， 两点同时从原点 沿着数轴正方向以 和 的速度运动， 且 ． 点 到点 后立即朝数轴的负方向运动， 在 处与点 相遇， 相遇后点 也立即朝着数轴的负方向运动， 且 两点的速度都变为原来的 ． 当点 返回到原点 时， 点 恰好在 处．
（1） 当 两点相遇时， 求点 前进的路程 (用含 的式子表示)．
（2）求 两点相遇前速度的比值 (用含有 的式子表示)．
（3） 当点 到 处时， 问点 是否已经过原点 ， 请说明理由．
【答案】（1）解：∵CD=3，点D对应的数为x，
∴点C对应的数为x-3.
∴OC=x-3.
∵当P，Q相遇时，P走到了C点，此时P前进的路程即为OC=x-3.
（2）解：经过相同的时间，P，Q在C点相遇，根据（1）所得，P点走过的路程是x-3，而Q点走过的路程是OD+CD=x+3.
∴速度之比等于路程之比，即.
（3）解：P点已经过原点O，理由如下：
P、Q从C点出发，在相等的时间内，Q点回到O点，走过的路程为x-3，而P点走过的路程为x-3-5=x-8，则有，整理可得.
结合（2）所得速度之比，可列出方程，解得x=33.
当Q从O点出发（此时P点在B处）朝数轴的负方向到达A点时，P点走过的路程为：
＞5.
∴P点已经过原点O.
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）、点P前进的路程为OC，结合条件用x表示出OC的距离即可；（2）、P与Q相遇时用时相等，因此速度之比等于路程之比，此为解题关键；（3）利用条件考虑从负方向的角度写出与（2）不同的速度之比的表达式，两者结合即可算出x的值，也就算出速度比值. 相同时间内，利用速度比值间接求出P从B点出发走过的路程，与OB比较即可知道是否过原点O.
26．（2025七下·椒江期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
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