第三章 《二次根式》基础卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·盱眙月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，被开方数能开的尽方，所以A不是最简二次根式；
B、符合最简二次根式的条件，所以B是最简二次根式；
C.被开方数中含有分母，所以C不是最简二次根式；
D小数0.4相当于分数，被开方数中含有分母，所以D不是最简二次根式；
故答案为：B．
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。根据最简二次根式的定义，分别进行识别，即可得出答案。
2．（2025八上·成都期末）无理数的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵无理数的倒数为：，
故答案为：C．
【分析】先根据1除以一个数等于这个数的倒数列出式子，进而进行分母有理化，对二次根式化简即可得出答案．
3．（2023八上·六安期中）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式成立的条件及分式的分母不等于0即可得出自变量的取值范围。
4．（2025八上·成都期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误，不合题意；
B、，故此选项错误，不合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不合题意.
故答案为：C．
【分析】根据“”可判断A、B选项；根据“”可判断C选项；根据“”可判断D选项.
5．（2025七下·北川期末）设=a，=b，则用含a，b的式子表示，可得（ ）
A．2 B．4ab C．2ab D．4
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：=a，=b，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据=a，=b，可得，由，可得结果.
6．（2024七下·宁津期中）若，那么的平方根是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得，，
，
则，
4的平方根是；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出、的值，根据平方根的概念解答即可．
7．（2024七下·庐江期中） 下列各数中，与的和为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；有理数的概念
【解析】【解答】解：A.∵，是无理数，
∴选项A不符合题意；
B.∵，7是有理数，
∴选项B符合题意；
C.∵，是无理数，
∴选项C不符合题意；
D.∵，是无理数，
∴选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据有理数的定义和二次根式的加减法对每个选项逐一判断求解即可。
8．（2023八上·萧县期中）最简二次根式 与 是能够合并的二次根式，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：∵最简二次根式 与 是能够合并的二次根式
∴ 2+x=5-2x
整理得：3x=3
解得：x=1
故答案为：A.
【分析】本题考查同类二次根式，把二次根式化成最简后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此可得2+x=5-2x，求解即可。
9．（2024八上·桑植期末）已知均为有理数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式去括号，再根据等式的性质即可求出答案.
10．（2024八上·贵阳月考）对于任意的正实数m，n，定义运算“※”：m※n=计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A．2-4 B．2 C．2 D．20
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵m※n=
∴3※2×(8※12)=
=
=
=
=2
故答案为：B.
【分析】先利用题目中定义的新运算将(3※2)×(8※12)化简为，再根据实数的混合运算法则进行计算即可.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2023八上·娄底期末）化简： ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先根据根式的性质“”化简为，再计算乘法即可得出答案.
12．（2024八上·上海市期中）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可求解．
13．（2024八上·高州期末）长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵长方形的长为，宽为，
∴长方形的面积为，
故答案为：．
【分析】利用长方形的面积公式及二次根式的乘法的计算方法分析求解即可.
14．（2023八上·禅城月考）如果你的计算器上的一个键“8”坏了，仍想继续用这个计算器计算“”，用算式表示计算过程是 .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴可计算即可求出的值.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的性质可得，故计算即可求出的值．
15．（2025八上·期末）若与互为相反数，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：和互为相反数，
，
，，
，，
．
故答案为：。
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性质，然后建立方程，即可求解。
16．（2024八上·上海市月考）分母有理化： ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用分母有理化，将分子分母同时乘以，再计算即可．
17．（2024七下·天河期中）已知的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据估算无理数大小的方法可得，从而求出其整数部分a，小数部分是b，然后代入，计算求解即可．
18．（2024八上·怀化期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则将原式转化为二次根式的混合运算，分母有理化解题即可．
三、解答题（共8题，共66分）
19．化简：
【答案】解：
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；分母有理化
【解析】【分析】⑴根据化简.
⑵⑶根据分母有理化原则化简.
20．（2024七下·肇庆期末）计算
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用二次根式和有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的性质化简，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
21．（2023八上·蓝田期中）已知最简二次根式与可以合并，求的值。
【答案】解：因为，与可以合并，
所以，
解得。
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义得到，即可得解．
22．（2024七下·宜昌期中） 已知，且x，y都是正数，求的值．
【答案】解：∵x，y都是正数，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的性质和加法法则将所求算式进行化简，再代入求值即可.
23．（2023八上·承德期末）已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．
（1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______；
（2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由．
【答案】（1）
（2）解：不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：和，
∵，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：设正方形的边长为，
∴，而，
∴，
∴正方形的边长为；
【分析】（1）设正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
（2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论．
（1）解：设正方形的边长为，
∴，而，
∴，
∴正方形的边长为；
（2）不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：和，
∵，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
24．（2024七下·博罗期中）实数，在数轴上的位置如图所示．
（1）化简：__________，__________．
（2）先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根．
【答案】（1）；
（2）解：由图可知：，，∴，，
∴．
∵是的一个平方根，是3的算术平方根，，
∴，，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：由数轴得：，，
，，
故答案为：；．
【分析】（1）由数轴上水的位置，得到，，再根据二次根式的性质及绝对值的意义，即可求解；
（2）由图得到，，求得，，再根据二次根式的性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义，得到，，进而得到答案．
25．（2024八上·青羊期中）已知，．
（1）求的值；
（2）设是小数部分，是整数部分，求代数式的值．
【答案】解：（1），；
∴，
（2），
，，
∵是小数部分，是整数部分，
，，
∴4m2+4mn+n2=（2m+n）2=（2-4+4）2=20．
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【分析】（1）将a、b分别进行化简，再将化简结果代入计算即可；（2）根据无理数的估算求出m、n的值，再将代数式整理并代入求值．
26．（2025七下·临夏月考）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律：
；
；
；
……
【实践探究】
（1）计算：______，______；
（2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）；
【迁移应用】
（3）计算：．
【答案】解：（1），；（2）；
（3）
.
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；求算术平方根
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：，；
（2）由(1)得：
；
故答案为：；
【分析】
本题考查二次根式的化简规律探究及应用，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质：，化简计算即可得出答案；
（2）观察代数式，通过通分的性质，再根据完全平方公式展开，最后根据二次根式的性质化简即可得出规律，即可得出答案；
（3）根据(2)中的的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可得出答案.
1 / 1第三章 《二次根式》基础卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·盱眙月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·成都期末）无理数的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·六安期中）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
4．（2025八上·成都期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·北川期末）设=a，=b，则用含a，b的式子表示，可得（ ）
A．2 B．4ab C．2ab D．4
6．（2024七下·宁津期中）若，那么的平方根是（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2024七下·庐江期中） 下列各数中，与的和为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·萧县期中）最简二次根式 与 是能够合并的二次根式，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
9．（2024八上·桑植期末）已知均为有理数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·贵阳月考）对于任意的正实数m，n，定义运算“※”：m※n=计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A．2-4 B．2 C．2 D．20
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2023八上·娄底期末）化简： ．
12．（2024八上·上海市期中）计算： ．
13．（2024八上·高州期末）长方形的长为，宽为，则长方形的面积为 ．
14．（2023八上·禅城月考）如果你的计算器上的一个键“8”坏了，仍想继续用这个计算器计算“”，用算式表示计算过程是 .
15．（2025八上·期末）若与互为相反数，则 ．
16．（2024八上·上海市月考）分母有理化： ．
17．（2024七下·天河期中）已知的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
18．（2024八上·怀化期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．化简：
20．（2024七下·肇庆期末）计算
（1）；
（2）
21．（2023八上·蓝田期中）已知最简二次根式与可以合并，求的值。
22．（2024七下·宜昌期中） 已知，且x，y都是正数，求的值．
23．（2023八上·承德期末）已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．
（1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______；
（2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由．
24．（2024七下·博罗期中）实数，在数轴上的位置如图所示．
（1）化简：__________，__________．
（2）先化简再求值：，其中是的一个平方根，是3的算术平方根．
25．（2024八上·青羊期中）已知，．
（1）求的值；
（2）设是小数部分，是整数部分，求代数式的值．
26．（2025七下·临夏月考）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律：
；
；
；
……
【实践探究】
（1）计算：______，______；
（2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）；
【迁移应用】
（3）计算：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，被开方数能开的尽方，所以A不是最简二次根式；
B、符合最简二次根式的条件，所以B是最简二次根式；
C.被开方数中含有分母，所以C不是最简二次根式；
D小数0.4相当于分数，被开方数中含有分母，所以D不是最简二次根式；
故答案为：B．
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。根据最简二次根式的定义，分别进行识别，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵无理数的倒数为：，
故答案为：C．
【分析】先根据1除以一个数等于这个数的倒数列出式子，进而进行分母有理化，对二次根式化简即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式成立的条件及分式的分母不等于0即可得出自变量的取值范围。
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误，不合题意；
B、，故此选项错误，不合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不合题意.
故答案为：C．
【分析】根据“”可判断A、B选项；根据“”可判断C选项；根据“”可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：=a，=b，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据=a，=b，可得，由，可得结果.
6．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得，，
，
则，
4的平方根是；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出、的值，根据平方根的概念解答即可．
7．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；有理数的概念
【解析】【解答】解：A.∵，是无理数，
∴选项A不符合题意；
B.∵，7是有理数，
∴选项B符合题意；
C.∵，是无理数，
∴选项C不符合题意；
D.∵，是无理数，
∴选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据有理数的定义和二次根式的加减法对每个选项逐一判断求解即可。
8．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：∵最简二次根式 与 是能够合并的二次根式
∴ 2+x=5-2x
整理得：3x=3
解得：x=1
故答案为：A.
【分析】本题考查同类二次根式，把二次根式化成最简后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此可得2+x=5-2x，求解即可。
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式去括号，再根据等式的性质即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵m※n=
∴3※2×(8※12)=
=
=
=
=2
故答案为：B.
【分析】先利用题目中定义的新运算将(3※2)×(8※12)化简为，再根据实数的混合运算法则进行计算即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先根据根式的性质“”化简为，再计算乘法即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可求解．
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵长方形的长为，宽为，
∴长方形的面积为，
故答案为：．
【分析】利用长方形的面积公式及二次根式的乘法的计算方法分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴可计算即可求出的值.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的性质可得，故计算即可求出的值．
15．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：和互为相反数，
，
，，
，，
．
故答案为：。
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性质，然后建立方程，即可求解。
16．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用分母有理化，将分子分母同时乘以，再计算即可．
17．【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据估算无理数大小的方法可得，从而求出其整数部分a，小数部分是b，然后代入，计算求解即可．
18．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则将原式转化为二次根式的混合运算，分母有理化解题即可．
19．【答案】解：
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；分母有理化
【解析】【分析】⑴根据化简.
⑵⑶根据分母有理化原则化简.
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用二次根式和有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的性质化简，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
21．【答案】解：因为，与可以合并，
所以，
解得。
【知识点】同类二次根式
【解析】【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义得到，即可得解．
22．【答案】解：∵x，y都是正数，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的性质和加法法则将所求算式进行化简，再代入求值即可.
23．【答案】（1）
（2）解：不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：和，
∵，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：设正方形的边长为，
∴，而，
∴，
∴正方形的边长为；
【分析】（1）设正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
（2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论．
（1）解：设正方形的边长为，
∴，而，
∴，
∴正方形的边长为；
（2）不能截出，理由：
若能截出，则两个正方形的边长分别为：和，
∵，
∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．
24．【答案】（1）；
（2）解：由图可知：，，∴，，
∴．
∵是的一个平方根，是3的算术平方根，，
∴，，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：由数轴得：，，
，，
故答案为：；．
【分析】（1）由数轴上水的位置，得到，，再根据二次根式的性质及绝对值的意义，即可求解；
（2）由图得到，，求得，，再根据二次根式的性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义，得到，，进而得到答案．
25．【答案】解：（1），；
∴，
（2），
，，
∵是小数部分，是整数部分，
，，
∴4m2+4mn+n2=（2m+n）2=（2-4+4）2=20．
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【分析】（1）将a、b分别进行化简，再将化简结果代入计算即可；（2）根据无理数的估算求出m、n的值，再将代数式整理并代入求值．
26．【答案】解：（1），；（2）；
（3）
.
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；求算术平方根
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：，；
（2）由(1)得：
；
故答案为：；
【分析】
本题考查二次根式的化简规律探究及应用，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质：，化简计算即可得出答案；
（2）观察代数式，通过通分的性质，再根据完全平方公式展开，最后根据二次根式的性质化简即可得出规律，即可得出答案；
（3）根据(2)中的的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可得出答案.
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