第三章 《二次根式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·道里期末）下列选项中的式子，是最简二次根式的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，根据最简根式的定义及判断，分母中不能含有根号，还可以进一步化简，最简根式应为，故不符合题意；
B、 可以进一步进行化简， ，根据最简根式的定义及判断，故不符合题意；
C、 ，可以进一步化简，，根据最简根式的定义及判断，故不符合题意；
D、 ，不可以进一步化简，所以其为最简根式，故符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查的是最简二次根式的相关知识点。
如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式.
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.
2．（2017八上·扶余月考）已知 是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．6 D．36
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ ，且 是整数，
∴ 是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故答案为：C．
【分析】由=2是整数，得到6n是完全平方数，得到n的最小正整数值.
3．（2024七下·巴彦月考）若，，则的值为（ ）
A．0.01410 B．0.1410 C．4.459 D．0.4459
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据算数平方根的计算得到进而即可求解.
4．（2025七下·新会期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴图可知：，
∴，
∴
，
故答案为：A．
【分析】
本题主要考查了二次根式的性质、绝对值的性质和整式的化简，熟知二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键.二次根式的性质：，根据数轴图可知：a＜0＜b，由此可得出：a-b＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简后合并同类项即可得到答案．
5．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
6．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
7．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的乘除混合运算
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
8． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据，把与成，再依据计算，再计算与后一个因式相乘即可。
9．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.3二次根式的运算(2)）已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
10．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2023八下·东阳期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】二次根式的性质：.
12．（2023八下·嵊州期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义，
∴3x-6≥0，
解之：x≥2.
故答案为：x≥2
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
13．计算 的结果是 .
【答案】4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：4.
【分析】此题考查二次根式的混合运算，解题过程中运用乘法分配律直接计算.
14．若实数 满足 ，则
【答案】7
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴m-n-5=0，2m+n-4=0，
解得m=3，n=-2，
∴3m+n=3×3-2=7.
故答案为：7.
【分析】根据非负数的性质求出m，n的值，在解答即可.
15．（2023七下·亳州期末）已知，，则 ．
【答案】1
【知识点】平方根；立方根及开立方；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】9和-9的平方是81，a=9或-9；-2的三次方是-8，b=-8，当a=9时，-8-9小于0，二次根式无意义，当a=-9时，-8-（-9）=-8+9=1，1的算术平方根是1。
【分析】81的平方根是互为相反数的2个值，二次根式有意义，根号下要大于等于0.
16． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是 ．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
【分析】先确定的范围，再确定 的范围，求出的整数部分和小数部分，得出a，b值，代入 中计算即可。在计算时可运用乘法公式，会使计算简便些。
17．座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为r= 其中r 表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，g为重力加速度且 假如一台座钟的钟摆的长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出 次滴答声.(结果保留整数，参考数据：π取3.14，
【答案】42
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：当l=0.5m，g=9.8m/s2时，
(s)，
∴在1min内，该座钟发出滴答声的次数为：60÷1.42≈42，
答：在1min内，该座钟发出约42次滴答声.
故答案为：42.
【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数.
18．（2024八下·黄陂期中） 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，其中k为正整数，
则m=20k2，
∵20∴m=20，
∵F(n)=1，
∴n为一个正整数的平方数，
∵20∴0∴n=1或4，
n=1时，，
n=4时，
故答案为：或 .
【分析】可设，其中k为正整数，由20三、解答题（共8题，共66分）
19． 计算：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式将原式进行整理，然后利用完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可；
（2）先提取公因式( ，然后结合完全平方公式将原式进行化简计算即可.
20． 设实数的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(3a-b)的值.
【答案】解：∵22=4，32=9，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b
∴a=2，.
∴(2a+b)(3a-b)
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据，可得a、b的值，代入即可求解.
21．（2017八上·郑州期中）若x，y为实数，且 ，化简： .
【答案】解：由题意， ，解得x=2，当x=2时，y>2，∴y-2>0，
则原式= = =-1+2=1.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组 求解得出x的值，进而求出y的取值范围，然后根据二次根式的性质将代数式中的二次根式化简，最后根据分式除法约分，利用有理数的加减法法则算出答案。
22．已知 ， 求下列各式的值：
（1）
（2）．
（3）
【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据已知条件可以容易得到x+y.x+y，xy的值。可运用完全平方公式对 进行变形，使其成为含有x+y或x-y和xy的代数式。也可以直接代入x，y值进行计算，但计算会复杂些；
（2）运用平方差公式进行分解，再代入x+y和x-y的值进行计算即可；
（3）先通分，再代入相应的代数式的数进行计算即可。
23．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）一个三角形的三边长分别为 、 、 .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
【答案】【解答】① + + = + + × = + + = ．②根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12，此时三角形的周长C=15.
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】会计算根式的加法，并能够根据题意求出适当的x值满足题目要求，x值不唯一．
24．（2024八上·南海期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：；
例如：比较与2的大小．
∵又∵则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是________，的小数部分是________；
（2）比较与的大小．
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小．
【答案】（1）5，
（2）解：，
；
（3）解：
，
，
．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分是5；小数部分为，
故答案为：5；；
【分析】
（1）首先估算出，由此即可解答；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可解答；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可解答．
（1）解：，
的整数部分是5；小数部分为，
故答案为：5；；
（2）解：，
；
（3）解：
，
，
．
25．（2024八下·汕头期中）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：方法一：
方法二：
（2）解：由题意可得：
=
=
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）模仿题干给出的两种方法化简即可；
（2）将每一个加数利用分母有理化的方法分别化简，再根据同分母分数的加法法则计算即可；
（3）先将a进行分母有理化化简，可得，然后将此式两边同时平方可得a2+2a=1，进而将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
26．（2024八下·兴义月考）（1）【知识再现】
尝试：比较下列各式的大小关系：（用“＞”“＜”或“＝”填空）
； ； ；
（2）【猜想证明】
观察上面的式子，请你猜想与（，）的大小关系，并说明理由；
（3）【实践应用】
请利用上述结论解决问题：如图，一个长方形养鸡场的长边靠墙，其他三边用竹篱笆围成，已知长方形养鸡场的面积为，则所用篱笆的长度至少为多少米？
【答案】（1）；；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设垂直于墙的边为，平行于墙的边为 ，长方形的面积可表示为，
则，
，
∴，由（2）知：当时等号成立，
所以篱笆的长度至少为．
【知识点】实数的大小比较；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1），
，
；
，
，
；
7+7=14，，
.
故答案为：>；>；=.
【分析】（1）将原式变形为，利用完全平方公式展开并移项即可比较大小；
（2）由，， 得出， 再利用完全平方公式将其展开移项即可判断；
（3）设垂直于墙的边为，平行于墙的边为 ，可得，再根据（2）中结论得出即可求解.
1 / 1第三章 《二次根式》提升卷——湘教版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·道里期末）下列选项中的式子，是最简二次根式的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2017八上·扶余月考）已知 是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．6 D．36
3．（2024七下·巴彦月考）若，，则的值为（ ）
A．0.01410 B．0.1410 C．4.459 D．0.4459
4．（2025七下·新会期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
6．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
7．（新人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除 同步训练）等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
8． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
9．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.3二次根式的运算(2)）已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
10．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2023八下·东阳期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
12．（2023八下·嵊州期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是
13．计算 的结果是 .
14．若实数 满足 ，则
15．（2023七下·亳州期末）已知，，则 ．
16． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是 ．
17．座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为r= 其中r 表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，g为重力加速度且 假如一台座钟的钟摆的长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出 次滴答声.(结果保留整数，参考数据：π取3.14，
18．（2024八下·黄陂期中） 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19． 计算：
（1）
（2）.
20． 设实数的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(3a-b)的值.
21．（2017八上·郑州期中）若x，y为实数，且 ，化简： .
22．已知 ， 求下列各式的值：
（1）
（2）．
（3）
23．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）一个三角形的三边长分别为 、 、 .
①求它的周长（要求结果化简）；
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
24．（2024八上·南海期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：；
例如：比较与2的大小．
∵又∵则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
（1）的整数部分是________，的小数部分是________；
（2）比较与的大小．
（3）已知，试用“比差法”比较与的大小．
25．（2024八下·汕头期中）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
26．（2024八下·兴义月考）（1）【知识再现】
尝试：比较下列各式的大小关系：（用“＞”“＜”或“＝”填空）
； ； ；
（2）【猜想证明】
观察上面的式子，请你猜想与（，）的大小关系，并说明理由；
（3）【实践应用】
请利用上述结论解决问题：如图，一个长方形养鸡场的长边靠墙，其他三边用竹篱笆围成，已知长方形养鸡场的面积为，则所用篱笆的长度至少为多少米？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，根据最简根式的定义及判断，分母中不能含有根号，还可以进一步化简，最简根式应为，故不符合题意；
B、 可以进一步进行化简， ，根据最简根式的定义及判断，故不符合题意；
C、 ，可以进一步化简，，根据最简根式的定义及判断，故不符合题意；
D、 ，不可以进一步化简，所以其为最简根式，故符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查的是最简二次根式的相关知识点。
如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式.
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ ，且 是整数，
∴ 是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故答案为：C．
【分析】由=2是整数，得到6n是完全平方数，得到n的最小正整数值.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据算数平方根的计算得到进而即可求解.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴图可知：，
∴，
∴
，
故答案为：A．
【分析】
本题主要考查了二次根式的性质、绝对值的性质和整式的化简，熟知二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键.二次根式的性质：，根据数轴图可知：a＜0＜b，由此可得出：a-b＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简后合并同类项即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
6．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
7．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的乘除混合运算
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据，把与成，再依据计算，再计算与后一个因式相乘即可。
9．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
10．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
11．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】二次根式的性质：.
12．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义，
∴3x-6≥0，
解之：x≥2.
故答案为：x≥2
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
13．【答案】4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：4.
【分析】此题考查二次根式的混合运算，解题过程中运用乘法分配律直接计算.
14．【答案】7
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴m-n-5=0，2m+n-4=0，
解得m=3，n=-2，
∴3m+n=3×3-2=7.
故答案为：7.
【分析】根据非负数的性质求出m，n的值，在解答即可.
15．【答案】1
【知识点】平方根；立方根及开立方；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】9和-9的平方是81，a=9或-9；-2的三次方是-8，b=-8，当a=9时，-8-9小于0，二次根式无意义，当a=-9时，-8-（-9）=-8+9=1，1的算术平方根是1。
【分析】81的平方根是互为相反数的2个值，二次根式有意义，根号下要大于等于0.
16．【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
【分析】先确定的范围，再确定 的范围，求出的整数部分和小数部分，得出a，b值，代入 中计算即可。在计算时可运用乘法公式，会使计算简便些。
17．【答案】42
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：当l=0.5m，g=9.8m/s2时，
(s)，
∴在1min内，该座钟发出滴答声的次数为：60÷1.42≈42，
答：在1min内，该座钟发出约42次滴答声.
故答案为：42.
【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数.
18．【答案】或
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，其中k为正整数，
则m=20k2，
∵20∴m=20，
∵F(n)=1，
∴n为一个正整数的平方数，
∵20∴0∴n=1或4，
n=1时，，
n=4时，
故答案为：或 .
【分析】可设，其中k为正整数，由2019．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式将原式进行整理，然后利用完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可；
（2）先提取公因式( ，然后结合完全平方公式将原式进行化简计算即可.
20．【答案】解：∵22=4，32=9，
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b
∴a=2，.
∴(2a+b)(3a-b)
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据，可得a、b的值，代入即可求解.
21．【答案】解：由题意， ，解得x=2，当x=2时，y>2，∴y-2>0，
则原式= = =-1+2=1.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组 求解得出x的值，进而求出y的取值范围，然后根据二次根式的性质将代数式中的二次根式化简，最后根据分式除法约分，利用有理数的加减法法则算出答案。
22．【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据已知条件可以容易得到x+y.x+y，xy的值。可运用完全平方公式对 进行变形，使其成为含有x+y或x-y和xy的代数式。也可以直接代入x，y值进行计算，但计算会复杂些；
（2）运用平方差公式进行分解，再代入x+y和x-y的值进行计算即可；
（3）先通分，再代入相应的代数式的数进行计算即可。
23．【答案】【解答】① + + = + + × = + + = ．②根式内取偶数的完全平方数，如3x=36时，x=12，此时三角形的周长C=15.
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】会计算根式的加法，并能够根据题意求出适当的x值满足题目要求，x值不唯一．
24．【答案】（1）5，
（2）解：，
；
（3）解：
，
，
．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分是5；小数部分为，
故答案为：5；；
【分析】
（1）首先估算出，由此即可解答；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可解答；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可解答．
（1）解：，
的整数部分是5；小数部分为，
故答案为：5；；
（2）解：，
；
（3）解：
，
，
．
25．【答案】（1）解：方法一：
方法二：
（2）解：由题意可得：
=
=
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）模仿题干给出的两种方法化简即可；
（2）将每一个加数利用分母有理化的方法分别化简，再根据同分母分数的加法法则计算即可；
（3）先将a进行分母有理化化简，可得，然后将此式两边同时平方可得a2+2a=1，进而将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
26．【答案】（1）；；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设垂直于墙的边为，平行于墙的边为 ，长方形的面积可表示为，
则，
，
∴，由（2）知：当时等号成立，
所以篱笆的长度至少为．
【知识点】实数的大小比较；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1），
，
；
，
，
；
7+7=14，，
.
故答案为：>；>；=.
【分析】（1）将原式变形为，利用完全平方公式展开并移项即可比较大小；
（2）由，， 得出， 再利用完全平方公式将其展开移项即可判断；
（3）设垂直于墙的边为，平行于墙的边为 ，可得，再根据（2）中结论得出即可求解.
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