浙江省杭州市下沙区下沙中学2024-2025学年初三上开学考初中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．（2025九上·上城开学考）已知实数m，n满足，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2025九上·上城开学考）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．5
3．（2025九上·上城开学考）当式子取最小值时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·上城开学考）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·上城开学考）如图，甲处表示2街6巷的十字路口，乙处表示6街1巷的十字路口．如果用（2，6）表示甲处的位置，那么“（2，6）→（3，6）→（4，6）→（5，6）→（6，6）→（6，5）→（6，4）→（6，3）→（6，2）→（6，1）”表示从甲处到乙处的一种路线（规定：只能沿线向下和向右运动），则从甲处到乙处的路线中经过丙处的走法共有（ ）
A．38种 B．39种 C．40种 D．41种
6．（2025九上·上城开学考）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·上城开学考）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
8．（2025九上·上城开学考）已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·上城开学考）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，那么，的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
10．（2025九上·上城开学考）如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．（2025九上·上城开学考）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n= ．
12．（2025九上·上城开学考）为迎接G20杭州峰会的召开，某校八年级(1)(2)班准备集体购买一种T恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元．如果八(1)(2)班共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买数量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，则第一批T恤衫的购买 件．
13．（2025九上·上城开学考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数，直线都经过平面内一个定点．反比例函数的图象与直线交于点和另外一点．当时，的取值范围为 ．
14．（2025九上·上城开学考）如图，是外的一点，分别与相切于点是劣弧上的任意一点，过点的切线分别交于点．若，则的周长为 ．
15．（2025九上·上城开学考）如图，在菱形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号与）
16．（2025九上·上城开学考）二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2016在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2016在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2015B2016A2016都为等边三角形，则△A2015B2016A2016的边长= ．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．）
17．（2025九上·上城开学考）（1）计算：
（2）求满足 的x、y的正整数解．
18．（2025九上·上城开学考）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
19．（2025九上·上城开学考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．
20．（2025九上·上城开学考）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
21．（2025九上·上城开学考）如图1，是的外接，是直径，是外一点且满足，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求直径的长；
（3）如图2，当时，与交于点，试写出、、之间的数量关系并证明．
22．（2025九上·上城开学考）如图1，抛物线：经过点A（1，0）和点B（5，0）．已知直线l的解析式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
（3）如图2．当k＝2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值．
（4）如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为．
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用完全平方公式把原式转化为，然后根据偶次方的非负性求出，，最后再代入求值即可．
2．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：得的值，然后利用完全平方公式代入数值进行求解即可.
3．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵表示x到的距离加上x到的距离，
∴当表示x的点在和之间的线段上时，取最小值
∴x的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】根据"的最小值"的意义是"x到的距离与到的距离之和最小"可知：x应在和之间的线段上即可求解．
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，
，
，
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，根据等边三角形的性质得，由圆周角定理得，然后利用正多边形的性质求出
，最后求出的度数即可.
5．【答案】C
【知识点】用有序数对表示路线
【解析】【解答】解：根据题意，得从甲到丙有4条路线，从丙到乙有10条路线，
∴从甲处到乙处经过丙处的走法共有4×10＝40（种），
故答案为：C．
【分析】结合图形先确定从甲到丙的路线以及从丙到乙的路线，最后求出两种路线的乘积即可求解.
6．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵半圆的半径为10，
∴圆心运动路径的长度为：，
故答案为：A．
【分析】根据圆心运动路径的长度等于的长度与弧的长度之和，结合弧长公式进行求解即可.
7．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
8．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】∵方程组的解是，
∵方程组可化为，
的解是，即，
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程组的解的意义"能使方程组中两方程都成立的未知数的值就是原方程组的解"并仿照已知方程组的解可得关于vx、y的二元一次方程组，解之即可求解确.
9．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：∵，，，，且，
∴原式，
故答案为：D．
【分析】由的值可得到规律，每四项为一个循环，从而代入数值进行求解即可.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，取中点，以为圆心，为半径作，连接交于点，过点作于，
∵，
∴，
∴点在的上(不含点，可含点)运动，
∴当点与点重合时，取得最小值为，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，取得最大值为，
∵点与点不重合，
∴，
综上所述，的取值范围为，
故答案为：B．
【分析】取中点，以为圆心，为半径作，连接交于点，过点作于，先求出，由”定角定弦隐圆模型“得点在的上(不含点，可含点)运动，从而得当点与点重合时，取得最小值为，然后根据直角所对的圆周角是直角以及勾股定理求出，同时求出，证明，得，进而求出，接下来利用勾股定理求出，于是得，则，即可求出，当点与点重合时，取得最大值为，且根据点与点不重合得，据此即可得出答案．
11．【答案】500
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形： ，
第2幅图中有3个菱形： ，
第3幅图中有5个菱形： ，
……
∴第幅图中有个菱形，
当时，
解得：，
故答案为：500．
【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第幅图中有个菱形，然后令，解方程求出的值即可.
12．【答案】40
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设第一批购买x件，则第二批购买（100-x）件．
①当30＜x≤40时，则60≤100-x＜100，则x（150-x）+80（100-x）=9200，
解得x1=30（舍去），x2=40；
②当40＜x＜60时，则40＜100-x＜60，
则x（150-x）+（100-x）[150-（100-x）]=9200，
解得x=30或x=70，但40＜x＜60，所以无解；
答：第一批购买数量为40件．
【分析】设第一批购买x件，则第二批购买（100-x）件．根据1013．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线，
∴当，即时，有，
∴直线经过平面内一个定点，
∵反比例函数的图象与直线交于点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
若点在第一象限，当时，有，
若点在第三象限，当时，有，
综上所述，当时，的取值范围为：或，
故答案为：或．
【分析】先求出点，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质即可判定点在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可．
14．【答案】8
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵、分别与相切于点、，
∵过点的切线分别交、于点、，
∴的周长
，
故答案为：8．
【分析】根据切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等”可得，同理可得，再根据三角形周长的定义可求解．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据画图可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，根据菱形的性质得，，，由平行线的性质得，从而得，然后根据画图可知，由平行线性质得，进而得，于是根据等腰三角形的判定推出，接下来根据等腰三角形”三线合一“性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，则利用勾股定理求出，最后利用扇形面积以及三角形面积公式得的值即可.
16．【答案】2016
【知识点】等边三角形的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∴的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点位于坐标原点，
∴，
∴等边的边长为，
同理可得：的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∴等边的边长，
同理可求出，
∴等边的边长，
......
以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，
∴的边长为2016．
故答案为：2016．
【分析】先根据等边三角形的性质求出，从而得的解析式，进而与二次函数解析式联立求出点的坐标，再根据等边三角形的性质求出的值，同理表示出的解析式，与二次函数解析式联立求出点的坐标，再根据等边三角形的性质求出的值，同理求出的坐标，然后求出的值，于是得到规律：系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，且与三角形所在的序数相等，据此即可求解.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴的正整数值为1，
∴的正整数值为，
∴的正整数解为.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，最后进行加减乘运算；
（2）先用含的式子表示的值，然后代入不等式，从而求出的取值范围，进而得出的正整数值，于是求出的正整数值.
18．【答案】解：（1）4，-7；
（2）；
（3）；
（4）∵，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或或或，
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
∴或或或．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，，
故答案为：4，-7；
（2）∵，
∴的取值范围为：，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
解得：，
∵是整数，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据的定义直接得到答案；
（2）根据的定义直接得到答案；
（3）根据的定义直接得到不等式组，解不等式组得的取值范围，再由为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得的值．
19．【答案】解：（1）；
（2），理由如下：
如图2，延长交于点，
∵，为的中点，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，平分，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，延长交于点，延长交于点，
由（2）同理可证，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，平分，
∵，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型；求正切值
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
如图1，延长交于点，
∵，为的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）延长交于点，根据平行线的性质以及中点的定义得，，从而推出，得，进而根据直角三角形斜边上的中线性质得；
（2）延长交于点，由（1）同理可证，得，，推出是等边三角形，得，从而得，进而得，于是根据等腰三角形的判定得，则，即可求出，然后由等腰三角形“三线合一”性质得，平分，求出，利用正切的定义即可求出；
（3）延长交于点，延长交于点，由（2）同理可得，，然后根据平行线的性质以及等腰三角形“等边对等角”的性质得，，进行等量代换得，从而推出，进而根据等腰三角形的判定得，则，即可求出，接下来由等腰三角形“三线合一”性质得，平分，求出，最后利用正切的定义即可求解.
20．【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
（2）证明：四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图2，根据题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
故答案为：.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入求出b的值即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，先求出，再求出，再证出，并结合，证出四边形是平行四边形即可；
（3）连接，先利用“SAS”证出，可得，再结合（当，，三点共线时最短），可得的最小值为，最后利用勾股定理求出即可.
21．【答案】解：（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，，.
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图2，连接，在上取一点，使得，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴ ，
∴.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，结合等腰三角形“等边对等角”性质求出，由直径所对的圆周角是直角得出，从而推出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）先利用勾股定理求得，然后证明，得，据此求解可得；
（3）连接，在上取一点，使得，连接，由直径所对的圆周角是直角得出，从而得，进而根据等腰三角形的判定得，然后根据圆周角定理得，于是证明，得，接下来推出是等腰直角三角形，得 ，即可得出.
22．【答案】（1）解：抛物线经过点和点
，
抛物线的解析式为；
（2）直线将线段分成两部分，则经过点或，代入得：
或
解得：或；
（3）如图1
，
设是抛物线位于直线上方的一点，
解方程组，解得
或
不妨设、
过作轴交直线于点，
则，
，
当时，△PMN面积最大值为8，此时；
（4）如图2
，
，．由翻折，得，
①当或时随的增大而增大；
②当与抛物线相切时，由，消去，根据△，可得，
当过点时，，解得，
直线与抛物线的交点在之间时有四个交点，即，
当时，直线与图象有四个交点．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）根据线段的比，可求得直线与轴的交点坐标，然后将这两个点的坐标代入直线解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（3）过作轴交直线于点，将直线和抛物线的解析式联立解方程组可得两个交点M、N的坐标，根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可将用含x的代数式表示出来，根据三角形的面积公式可得S△PMN与x之间的函数关系式，并将关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解；
（4）①根据函数图象的增减趋势，可求解；
②根据函数图象的交点，结合特殊位置即可求解.
（1）抛物线经过点和点
，
抛物线的解析式为；
（2）直线将线段分成两部分，则经过点或，代入得：
或
或；
（3）如图1
，
设是抛物线位于直线上方的一点，
解方程组，解得
或
不妨设、
过做轴交直线于点，
则，
，
当时，△PMN面积最大值为8，此时；
（4）如图2
，
，．由翻折，得，
①当或时随的增大而增大；
②当与抛物线相切时，由，消去，根据△，可得，
当过点时，，解得，
直线与抛物线的交点在之间时有四个交点，即，
当时，直线与图象有四个交点．
1 / 1浙江省杭州市下沙区下沙中学2024-2025学年初三上开学考初中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1．（2025九上·上城开学考）已知实数m，n满足，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用完全平方公式把原式转化为，然后根据偶次方的非负性求出，，最后再代入求值即可．
2．（2025九上·上城开学考）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：得的值，然后利用完全平方公式代入数值进行求解即可.
3．（2025九上·上城开学考）当式子取最小值时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵表示x到的距离加上x到的距离，
∴当表示x的点在和之间的线段上时，取最小值
∴x的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】根据"的最小值"的意义是"x到的距离与到的距离之和最小"可知：x应在和之间的线段上即可求解．
4．（2025九上·上城开学考）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，
，
，
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，根据等边三角形的性质得，由圆周角定理得，然后利用正多边形的性质求出
，最后求出的度数即可.
5．（2025九上·上城开学考）如图，甲处表示2街6巷的十字路口，乙处表示6街1巷的十字路口．如果用（2，6）表示甲处的位置，那么“（2，6）→（3，6）→（4，6）→（5，6）→（6，6）→（6，5）→（6，4）→（6，3）→（6，2）→（6，1）”表示从甲处到乙处的一种路线（规定：只能沿线向下和向右运动），则从甲处到乙处的路线中经过丙处的走法共有（ ）
A．38种 B．39种 C．40种 D．41种
【答案】C
【知识点】用有序数对表示路线
【解析】【解答】解：根据题意，得从甲到丙有4条路线，从丙到乙有10条路线，
∴从甲处到乙处经过丙处的走法共有4×10＝40（种），
故答案为：C．
【分析】结合图形先确定从甲到丙的路线以及从丙到乙的路线，最后求出两种路线的乘积即可求解.
6．（2025九上·上城开学考）如图，半径为10的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵半圆的半径为10，
∴圆心运动路径的长度为：，
故答案为：A．
【分析】根据圆心运动路径的长度等于的长度与弧的长度之和，结合弧长公式进行求解即可.
7．（2025九上·上城开学考）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
8．（2025九上·上城开学考）已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】∵方程组的解是，
∵方程组可化为，
的解是，即，
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程组的解的意义"能使方程组中两方程都成立的未知数的值就是原方程组的解"并仿照已知方程组的解可得关于vx、y的二元一次方程组，解之即可求解确.
9．（2025九上·上城开学考）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，那么，的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；归纳与类比
【解析】【解答】解：∵，，，，且，
∴原式，
故答案为：D．
【分析】由的值可得到规律，每四项为一个循环，从而代入数值进行求解即可.
10．（2025九上·上城开学考）如图，AB是半圆O的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，取中点，以为圆心，为半径作，连接交于点，过点作于，
∵，
∴，
∴点在的上(不含点，可含点)运动，
∴当点与点重合时，取得最小值为，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，取得最大值为，
∵点与点不重合，
∴，
综上所述，的取值范围为，
故答案为：B．
【分析】取中点，以为圆心，为半径作，连接交于点，过点作于，先求出，由”定角定弦隐圆模型“得点在的上(不含点，可含点)运动，从而得当点与点重合时，取得最小值为，然后根据直角所对的圆周角是直角以及勾股定理求出，同时求出，证明，得，进而求出，接下来利用勾股定理求出，于是得，则，即可求出，当点与点重合时，取得最大值为，且根据点与点不重合得，据此即可得出答案．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．（2025九上·上城开学考）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n= ．
【答案】500
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形： ，
第2幅图中有3个菱形： ，
第3幅图中有5个菱形： ，
……
∴第幅图中有个菱形，
当时，
解得：，
故答案为：500．
【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第幅图中有个菱形，然后令，解方程求出的值即可.
12．（2025九上·上城开学考）为迎接G20杭州峰会的召开，某校八年级(1)(2)班准备集体购买一种T恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元．如果八(1)(2)班共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买数量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，则第一批T恤衫的购买 件．
【答案】40
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设第一批购买x件，则第二批购买（100-x）件．
①当30＜x≤40时，则60≤100-x＜100，则x（150-x）+80（100-x）=9200，
解得x1=30（舍去），x2=40；
②当40＜x＜60时，则40＜100-x＜60，
则x（150-x）+（100-x）[150-（100-x）]=9200，
解得x=30或x=70，但40＜x＜60，所以无解；
答：第一批购买数量为40件．
【分析】设第一批购买x件，则第二批购买（100-x）件．根据1013．（2025九上·上城开学考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数，直线都经过平面内一个定点．反比例函数的图象与直线交于点和另外一点．当时，的取值范围为 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线，
∴当，即时，有，
∴直线经过平面内一个定点，
∵反比例函数的图象与直线交于点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
若点在第一象限，当时，有，
若点在第三象限，当时，有，
综上所述，当时，的取值范围为：或，
故答案为：或．
【分析】先求出点，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质即可判定点在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可．
14．（2025九上·上城开学考）如图，是外的一点，分别与相切于点是劣弧上的任意一点，过点的切线分别交于点．若，则的周长为 ．
【答案】8
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵、分别与相切于点、，
∵过点的切线分别交、于点、，
∴的周长
，
故答案为：8．
【分析】根据切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等”可得，同理可得，再根据三角形周长的定义可求解．
15．（2025九上·上城开学考）如图，在菱形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，过点作交于点，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号与）
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据画图可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，根据菱形的性质得，，，由平行线的性质得，从而得，然后根据画图可知，由平行线性质得，进而得，于是根据等腰三角形的判定推出，接下来根据等腰三角形”三线合一“性质得，利用含30°的直角三角形的性质得，则利用勾股定理求出，最后利用扇形面积以及三角形面积公式得的值即可.
16．（2025九上·上城开学考）二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2016在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2016在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2015B2016A2016都为等边三角形，则△A2015B2016A2016的边长= ．
【答案】2016
【知识点】等边三角形的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∴的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点位于坐标原点，
∴，
∴等边的边长为，
同理可得：的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∴等边的边长，
同理可求出，
∴等边的边长，
......
以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，
∴的边长为2016．
故答案为：2016．
【分析】先根据等边三角形的性质求出，从而得的解析式，进而与二次函数解析式联立求出点的坐标，再根据等边三角形的性质求出的值，同理表示出的解析式，与二次函数解析式联立求出点的坐标，再根据等边三角形的性质求出的值，同理求出的坐标，然后求出的值，于是得到规律：系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，且与三角形所在的序数相等，据此即可求解.
三、解答题（本大题共6小题，共66分．）
17．（2025九上·上城开学考）（1）计算：
（2）求满足 的x、y的正整数解．
【答案】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴的正整数值为1，
∴的正整数值为，
∴的正整数解为.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，最后进行加减乘运算；
（2）先用含的式子表示的值，然后代入不等式，从而求出的取值范围，进而得出的正整数值，于是求出的正整数值.
18．（2025九上·上城开学考）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
【答案】解：（1）4，-7；
（2）；
（3）；
（4）∵，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或或或，
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
∴或或或．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，，
故答案为：4，-7；
（2）∵，
∴的取值范围为：，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
解得：，
∵是整数，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据的定义直接得到答案；
（2）根据的定义直接得到答案；
（3）根据的定义直接得到不等式组，解不等式组得的取值范围，再由为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得的值．
19．（2025九上·上城开学考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．
【答案】解：（1）；
（2），理由如下：
如图2，延长交于点，
∵，为的中点，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，平分，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，延长交于点，延长交于点，
由（2）同理可证，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，平分，
∵，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型；求正切值
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
如图1，延长交于点，
∵，为的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）延长交于点，根据平行线的性质以及中点的定义得，，从而推出，得，进而根据直角三角形斜边上的中线性质得；
（2）延长交于点，由（1）同理可证，得，，推出是等边三角形，得，从而得，进而得，于是根据等腰三角形的判定得，则，即可求出，然后由等腰三角形“三线合一”性质得，平分，求出，利用正切的定义即可求出；
（3）延长交于点，延长交于点，由（2）同理可得，，然后根据平行线的性质以及等腰三角形“等边对等角”的性质得，，进行等量代换得，从而推出，进而根据等腰三角形的判定得，则，即可求出，接下来由等腰三角形“三线合一”性质得，平分，求出，最后利用正切的定义即可求解.
20．（2025九上·上城开学考）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
（2）证明：四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图2，根据题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．
故答案为：.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入求出b的值即可；
（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，先求出，再求出，再证出，并结合，证出四边形是平行四边形即可；
（3）连接，先利用“SAS”证出，可得，再结合（当，，三点共线时最短），可得的最小值为，最后利用勾股定理求出即可.
21．（2025九上·上城开学考）如图1，是的外接，是直径，是外一点且满足，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求直径的长；
（3）如图2，当时，与交于点，试写出、、之间的数量关系并证明．
【答案】解：（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，，.
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图2，连接，在上取一点，使得，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴ ，
∴.
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，结合等腰三角形“等边对等角”性质求出，由直径所对的圆周角是直角得出，从而推出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）先利用勾股定理求得，然后证明，得，据此求解可得；
（3）连接，在上取一点，使得，连接，由直径所对的圆周角是直角得出，从而得，进而根据等腰三角形的判定得，然后根据圆周角定理得，于是证明，得，接下来推出是等腰直角三角形，得 ，即可得出.
22．（2025九上·上城开学考）如图1，抛物线：经过点A（1，0）和点B（5，0）．已知直线l的解析式为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
（3）如图2．当k＝2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值．
（4）如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为．
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线经过点和点
，
抛物线的解析式为；
（2）直线将线段分成两部分，则经过点或，代入得：
或
解得：或；
（3）如图1
，
设是抛物线位于直线上方的一点，
解方程组，解得
或
不妨设、
过作轴交直线于点，
则，
，
当时，△PMN面积最大值为8，此时；
（4）如图2
，
，．由翻折，得，
①当或时随的增大而增大；
②当与抛物线相切时，由，消去，根据△，可得，
当过点时，，解得，
直线与抛物线的交点在之间时有四个交点，即，
当时，直线与图象有四个交点．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）根据线段的比，可求得直线与轴的交点坐标，然后将这两个点的坐标代入直线解析式可得关于k的方程，解方程即可求解；
（3）过作轴交直线于点，将直线和抛物线的解析式联立解方程组可得两个交点M、N的坐标，根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可将用含x的代数式表示出来，根据三角形的面积公式可得S△PMN与x之间的函数关系式，并将关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解；
（4）①根据函数图象的增减趋势，可求解；
②根据函数图象的交点，结合特殊位置即可求解.
（1）抛物线经过点和点
，
抛物线的解析式为；
（2）直线将线段分成两部分，则经过点或，代入得：
或
或；
（3）如图1
，
设是抛物线位于直线上方的一点，
解方程组，解得
或
不妨设、
过做轴交直线于点，
则，
，
当时，△PMN面积最大值为8，此时；
（4）如图2
，
，．由翻折，得，
①当或时随的增大而增大；
②当与抛物线相切时，由，消去，根据△，可得，
当过点时，，解得，
直线与抛物线的交点在之间时有四个交点，即，
当时，直线与图象有四个交点．
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