浙江省建德市寿昌中学2024-2025学年高三上学期9月检测数学试题
一、单项选择题（6*7分=42分 ）
1．（2024高三上·建德月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·建德月考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高三上·建德月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三上·建德月考）已知向量，，且，则（ ）.
A． B．4 C． D．1
5．（2024高三上·建德月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·建德月考）若，则函数的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
二、多选题（2*7分=14分 ）
7．（2024高三上·建德月考）若，则（ ）
A．的最小正周期为 B．关于直线对称
C．的一个对称点是 D．在上单调递减
8．（2024高三上·建德月考）已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．有两个零点
C．的最小值为 D．在点处切线为
三、填空题（2*7分=14分 ）
9．（2024高三上·建德月考）若角的终边在第四象限，且，则＝ ．
10．（2024高三上·建德月考）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是 .
四、解答题（30分）
11．（2024高三上·建德月考）已知分别为的内角的对边，且.
（1）求角A；
（2）若，求出边并求出的面积
12．（2024高三上·建德月考）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极小值点和极小值；
（3）若方程恰好有2个解，则实数的范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，且，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用高次不等式求解方法，从而得出集合，再由交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是，.
故答案为：D.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由可得，又因为，所以函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据函数成立的条件求出函数的定义域.
4．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，因为，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求的值即可.
5．【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
设，由余弦定理得，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，设，利用余弦定理求解即可.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： 函数因为，所以故根据基本不等式可得：当且仅当即或时取等号，
故时，当函数的最小值为15.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查基本不等式的运用，根据已知函数的解析式结合基本不等式对其变形可得：，然后载运用基本不等式即可求出其最小值.
7．【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、，则的图象不关于直线对称，故B错误；
C、因为，所以的一个对称点是，故 C正确；
D、当时，，正弦函数在上单调递增，
在上单调递减，则函数在区间上不单调， 故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用正弦函数的最小正周期公式求解即可判断A；根据正弦型函数的对称轴过最值点，直接验证即可判断B；根据正弦型函数的对称点横坐标为零点，直接验证即可判断C；当时，，根据正弦函数的单调性即可判断D.
8．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，.
对于A，当时，，
所以在单调递增，故A正确；
由，得，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
则当时，取得最小值，故C正确；
当时，；当时，，
所以函数只有1个零点，故B错误，
对于D，因为，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先求出导函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，则可判断选项A、选项B和选项C；再根据导数的几何意义得出切线的斜率，则根据点斜式求出函数在点处的切线方程，z俄判断出选项D，从而找出正确的选项.
9．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为角的终边在第四象限，且，所以，，
则.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合两角和的正切公式求解即可.
10．【答案】或
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，即，由题意可知：与图象有两个交点，
分别画出与的图像，如图所示：
由图可知，直线与始终有一个交点，
当时，直线与相切时，
即，由可得，；
当时，要使得与有一个交点，则，即，
综上可得，或.
故答案为：或.
【分析】由题意，将问题转化为与图象有两个交点，画出函数图象，数形结合秋求解即可.
11．【答案】（1）解：，由正弦定理得，即，则，
因为，所以；
（2）解：在中，，
由余弦定理，可得，整理得，解得，
则的面积为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数基本关系化简求角即可；
（2）利用（1）的结论，结合余弦定理求的，再利用三角形面积公式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以；
（2）在中，，
所以由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去），或，
可得面积为.
12．【答案】（1）解：函数定义域为R，，
令，解得或，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（2）解：由（1）知：当时，函数取极小值，极小值为0，
则函数的极小值点为0，极小值为0；
（3）解：由（1）可知：函数在，单调递减，在单调递增，且，，
当时，，当时，，当时，，当时，，
函数的大致图象如下：
由图可知：当时，方程恰好有2个解，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由（1）函数的单调性，结合极值的定义求解即可；
（3）由（1）函数的单调性，作出函数图象，数形结合求解即可.
（1）因为，所以，定义域为R，
令，可得，所以或，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知：当时，函数取极小值，极小值为0，
所以函数的极小值点为0，极小值为0.
（3）由（1）函数在，单调递减，在单调递增，
且，，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以函数的大致图象如下：
由图可知当且仅当时，方程恰好有2个解，
所以；
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一、单项选择题（6*7分=42分 ）
1．（2024高三上·建德月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，且，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用高次不等式求解方法，从而得出集合，再由交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高三上·建德月考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是，.
故答案为：D.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
3．（2024高三上·建德月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由可得，又因为，所以函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据函数成立的条件求出函数的定义域.
4．（2024高三上·建德月考）已知向量，，且，则（ ）.
A． B．4 C． D．1
【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，因为，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求的值即可.
5．（2024高三上·建德月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
设，由余弦定理得，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，设，利用余弦定理求解即可.
6．（2024高三上·建德月考）若，则函数的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： 函数因为，所以故根据基本不等式可得：当且仅当即或时取等号，
故时，当函数的最小值为15.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查基本不等式的运用，根据已知函数的解析式结合基本不等式对其变形可得：，然后载运用基本不等式即可求出其最小值.
二、多选题（2*7分=14分 ）
7．（2024高三上·建德月考）若，则（ ）
A．的最小正周期为 B．关于直线对称
C．的一个对称点是 D．在上单调递减
【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、，则的图象不关于直线对称，故B错误；
C、因为，所以的一个对称点是，故 C正确；
D、当时，，正弦函数在上单调递增，
在上单调递减，则函数在区间上不单调， 故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用正弦函数的最小正周期公式求解即可判断A；根据正弦型函数的对称轴过最值点，直接验证即可判断B；根据正弦型函数的对称点横坐标为零点，直接验证即可判断C；当时，，根据正弦函数的单调性即可判断D.
8．（2024高三上·建德月考）已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．有两个零点
C．的最小值为 D．在点处切线为
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，.
对于A，当时，，
所以在单调递增，故A正确；
由，得，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
则当时，取得最小值，故C正确；
当时，；当时，，
所以函数只有1个零点，故B错误，
对于D，因为，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先求出导函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，则可判断选项A、选项B和选项C；再根据导数的几何意义得出切线的斜率，则根据点斜式求出函数在点处的切线方程，z俄判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题（2*7分=14分 ）
9．（2024高三上·建德月考）若角的终边在第四象限，且，则＝ ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为角的终边在第四象限，且，所以，，
则.
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合两角和的正切公式求解即可.
10．（2024高三上·建德月考）已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是 .
【答案】或
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，即，由题意可知：与图象有两个交点，
分别画出与的图像，如图所示：
由图可知，直线与始终有一个交点，
当时，直线与相切时，
即，由可得，；
当时，要使得与有一个交点，则，即，
综上可得，或.
故答案为：或.
【分析】由题意，将问题转化为与图象有两个交点，画出函数图象，数形结合秋求解即可.
四、解答题（30分）
11．（2024高三上·建德月考）已知分别为的内角的对边，且.
（1）求角A；
（2）若，求出边并求出的面积
【答案】（1）解：，由正弦定理得，即，则，
因为，所以；
（2）解：在中，，
由余弦定理，可得，整理得，解得，
则的面积为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数基本关系化简求角即可；
（2）利用（1）的结论，结合余弦定理求的，再利用三角形面积公式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以；
（2）在中，，
所以由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去），或，
可得面积为.
12．（2024高三上·建德月考）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极小值点和极小值；
（3）若方程恰好有2个解，则实数的范围.
【答案】（1）解：函数定义域为R，，
令，解得或，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（2）解：由（1）知：当时，函数取极小值，极小值为0，
则函数的极小值点为0，极小值为0；
（3）解：由（1）可知：函数在，单调递减，在单调递增，且，，
当时，，当时，，当时，，当时，，
函数的大致图象如下：
由图可知：当时，方程恰好有2个解，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由（1）函数的单调性，结合极值的定义求解即可；
（3）由（1）函数的单调性，作出函数图象，数形结合求解即可.
（1）因为，所以，定义域为R，
令，可得，所以或，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知：当时，函数取极小值，极小值为0，
所以函数的极小值点为0，极小值为0.
（3）由（1）函数在，单调递减，在单调递增，
且，，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以函数的大致图象如下：
由图可知当且仅当时，方程恰好有2个解，
所以；
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