广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八上·福田开学考）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 . B．5，6，7. C．4，5，6. D．7，24，25.
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵62+72=85；82=64，∴62+72≠82则此选项线段长不能组成直角三角形；
B，∵52+62=61；72=49，∴52+62≠72，则此选项线段长不能组成直角三角形；
C，∵42+52=41；62=36，∴42+52≠62，则此选项线段长不能组成直角三角形；
D，∵72+242=625；252=625，∴72+242=252则此选项线段长能组成直角三角形.
故选：D.
【分析】 本题主要考查勾股定理的逆定理.需要根据勾股定理的逆定理，分别计算每个选项中三条线段的平方关系，判断是否满足直角三角形的条件，将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形，即可得出答案．
2．（2024八上·福田开学考）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，（两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个，
故答案为：C．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
3．（2024八上·福田开学考）若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（ ）．
A．13 B． C．7或17 D．13或
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得：斜边长=＝13，故答案为：A。
【分析】根据勾股定理： 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，代入数据即可求解。
4．（2024八上·福田开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A.，结论错误，不符合题意；
B.，结论错误，不符合题意；
C.，结论错误，不符合题意；
D.，结论正确，符合题意.
故选：D.
【分析】本题主要考查二次根式的运算.需要根据二次根式的算术平方根定义，化简，乘除法法则来逐一判断每个选项的正确性由（，），，(，)，合并同类二次根式，据此进行计算即可.本题充分体现了二次根式运算的基本方法和技巧，是对基础知识的考查.
5．（2024八上·福田开学考）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：依题意得：，，
，、异号，且．
A，D错误，不符合题意；
；
C正确，符合题意；
∵；
B错误，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据a和b在数轴上的位置，可知，，可知、异号，，且，然后再根据有理数加减法法则，可得的符号；由，根据不等式的基本性质：不等式两边同时减去b，即可判断。
6．（2024八上·福田开学考）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
【答案】A
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：在中，勾股定理得
(米)，
(米)，
故选：A．
【分析】本题主要考查勾股定理的应用.需要先利用勾股定理求出AC的长度，再计算少走的距离．本题充分体现了勾股定理在实际问题中的应用，是对基础知识的考查.
7．（2024八上·福田开学考）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（ ）
A．17 B．24 C．26 D．28
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设
根据题意可知，，，，，
在中，
，即
解得：，即钟摆AD的长度是26cm.
故答案为：C．
【分析】设，根据平行线间的距离处处相等得，然后根据线段的和差可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
8．（2024八上·福田开学考）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，，，
∴的值最大，
故答案为：A．
【分析】根据算术平方根及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出x、y的值，然后分别代入四个选项所给代数式计算后比较大小即可．
9．（2024八上·福田开学考）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心．以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故答案为：A
【分析】根据正方形的面积可得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
10．（2024八上·福田开学考）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ）
A．49 B．28 C．21 D．14
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：在与中，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
化简得：①，
∵，
∴②，
，得：，
∴，所以正方形ABEJ的面积为21．
故选：C．
【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质。通过证明和，利用全等三角形的性质得到面积之间的关系，再结合已知条件列出方程，最后根据勾股定理求出正方形ABEJ的面积．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2024八上·福田开学考）9的算术平方根是 ．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．（2024八上·福田开学考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
【答案】16
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：
即这棵大树在折断前的高度为16米．
故答案为：16．
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2024八上·福田开学考）如图，在数轴上点表示的实数是 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图设B点，
由勾股定理，得，
，
点A在数轴的负半轴上，
点A表示的实数是．
故填：．
【分析】本题主要考查勾股定理以及实数与数轴的关系。勾股定理是计算线段长度的重要工具，通过勾股定理求出OB的长度，再根据数轴上点的位置关系确定点A所表示的实数．
14．（2024八上·福田开学考）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ．
【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，连接，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是的长度，
由勾股定理得，解得，
则这条丝线的最小长度是，
故答案为：15。
【分析】先将圆柱的侧面展开，得到一个长为12cm，宽为9cm的长方形，然后再连接AB，根据两点间连线最短，最后再根据勾股定理，代入数据即可求解。
15．（2024八上·福田开学考）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ．
A B
5 C
10 D
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：对角线方向上的实数相乘的结果为
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得
，解得
，解得
，解得
，解得
.
故填：.
【分析】 本题主要考查数的规律探究以及一元一次方程和二次根式乘法的应用.需要根据横向，纵向及对角线方向上实数相乘结果相等的条件，列出方程求解各个未知数，再计算它们的和 .
三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2024八上·福田开学考）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】结合乘方运算法则、负整数指数幂运算法则、算术平方根逐步计算得出结果.
17．（2024八上·福田开学考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
。
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）对各个二次根式进行化简，然后再进行合并同类项即可求解。
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值，然后再对各个二次根式进行化简，最后再进行合并同类项，即可求解。
（3）对各个二次根式进行化简，然后再进行合并同类项，即可求解。
（4）根据平方差公式和完全平方公式，对式子进行展开，然后再合并同类项，即可求解。
（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18．（2024八上·福田开学考）如图，每个格子都是边长为的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上．
（1）求四边形的周长；
（2）连接，试判断的形状，并求四边形的面积．
【答案】（1）解：根据题意，得，，，，
∴四边形的周长为：；
（2）解：如图，
由（1）得，，，
∴，，
∴，
∴，即是直角三角形，
∵，，，
∴四边形的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用网格和勾股定理求出四边形各边的长，然后再求和即可求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，然后利用三角形面积公式求出的值即可求解.
（1）解：，，，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
19．（2024八上·福田开学考）已知：的平方根是与，且的算术平方根是3．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3，
，，
解得：，
（2）解：，，
，
的立方根是2．
【知识点】平方根的性质；算术平方根的实际应用；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质及算术平方根的性质即可求出答案.
（2）将a，b值代入代数式，再根据立方根的性质即可求出答案.
20．（2024八上·福田开学考）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
【答案】（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形
答：是直角三角形.
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；直角三角形的判定
【解析】【分析】本题围绕三角形的性质展开，着重考查勾股定理逆定理以及三角形面积公式的应用.
(1)判断的形状，需要运用勾股定理逆定理，通过验证三边是否满足来确定是否为直角三角形；
(2)求修建的公路CD的长，利用三角形面积公式，结合的条件，通过面积的两种不同表示方法列出等式，进而求解CD的长度.
（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
21．（2024八上·福田开学考）学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．
报告 测量风筝的垂直高度
成员 组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
示意图
方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高
数据 米 米 米
评价
（1）求此时风筝的垂直高度；
（2）若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？
【答案】（1）解：由题意得：米，
在中，
由勾股定理得，
∴（负值舍去），
∴（米）.
（2）解：由题意得米，
∵米，
∴米，
在中，
∴（米），
∴（米），
故还需放出风筝线14米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出DF的长，再利用线段的和差求出EF的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求解即可.
22．（2024八上·福田开学考）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，
．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可
（2）将下列各式分母有理化要求写出变形过程：
①；
②．
（3）请计算下列式子要求写出计算过程．
计算：的结果．
【答案】（1），
（2）解：①原式
；
原式
；
（3）解：，
，
同理，，
原式
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
的有理化因式可以为，
，
的有理化因式可以为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据算术平方根的定义以及平方差公式进行计算即可求出答案.
（2）①分子、分母分别乘以即可求出答案.
②分子、分母分别乘以即可求出答案.
（3）根据分母有理化的方法将原式化为，再进行计算即可求出答案.
（1）解：，
的有理化因式可以为，
，
的有理化因式可以为，
故答案为：，；
（2）①原式
；
原式
；
（3），
，
同理，，
原式
．
1 / 1广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八上·福田开学考）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 . B．5，6，7. C．4，5，6. D．7，24，25.
2．（2024八上·福田开学考）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2024八上·福田开学考）若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（ ）．
A．13 B． C．7或17 D．13或
4．（2024八上·福田开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·福田开学考）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·福田开学考）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
7．（2024八上·福田开学考）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（ ）
A．17 B．24 C．26 D．28
8．（2024八上·福田开学考）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（ ）．
A． B． C． D．
9．（2024八上·福田开学考）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心．以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·福田开学考）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ）
A．49 B．28 C．21 D．14
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2024八上·福田开学考）9的算术平方根是 ．
12．（2024八上·福田开学考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
13．（2024八上·福田开学考）如图，在数轴上点表示的实数是 ．
14．（2024八上·福田开学考）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ．
15．（2024八上·福田开学考）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ．
A B
5 C
10 D
三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2024八上·福田开学考）计算：
17．（2024八上·福田开学考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2024八上·福田开学考）如图，每个格子都是边长为的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上．
（1）求四边形的周长；
（2）连接，试判断的形状，并求四边形的面积．
19．（2024八上·福田开学考）已知：的平方根是与，且的算术平方根是3．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
20．（2024八上·福田开学考）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
（1）请判断的形状？
（2）求修建的公路的长．
21．（2024八上·福田开学考）学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．
报告 测量风筝的垂直高度
成员 组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
示意图
方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高
数据 米 米 米
评价
（1）求此时风筝的垂直高度；
（2）若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？
22．（2024八上·福田开学考）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，
．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可
（2）将下列各式分母有理化要求写出变形过程：
①；
②．
（3）请计算下列式子要求写出计算过程．
计算：的结果．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵62+72=85；82=64，∴62+72≠82则此选项线段长不能组成直角三角形；
B，∵52+62=61；72=49，∴52+62≠72，则此选项线段长不能组成直角三角形；
C，∵42+52=41；62=36，∴42+52≠62，则此选项线段长不能组成直角三角形；
D，∵72+242=625；252=625，∴72+242=252则此选项线段长能组成直角三角形.
故选：D.
【分析】 本题主要考查勾股定理的逆定理.需要根据勾股定理的逆定理，分别计算每个选项中三条线段的平方关系，判断是否满足直角三角形的条件，将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形，即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，（两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个，
故答案为：C．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得：斜边长=＝13，故答案为：A。
【分析】根据勾股定理： 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，代入数据即可求解。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A.，结论错误，不符合题意；
B.，结论错误，不符合题意；
C.，结论错误，不符合题意；
D.，结论正确，符合题意.
故选：D.
【分析】本题主要考查二次根式的运算.需要根据二次根式的算术平方根定义，化简，乘除法法则来逐一判断每个选项的正确性由（，），，(，)，合并同类二次根式，据此进行计算即可.本题充分体现了二次根式运算的基本方法和技巧，是对基础知识的考查.
5．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：依题意得：，，
，、异号，且．
A，D错误，不符合题意；
；
C正确，符合题意；
∵；
B错误，不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据a和b在数轴上的位置，可知，，可知、异号，，且，然后再根据有理数加减法法则，可得的符号；由，根据不等式的基本性质：不等式两边同时减去b，即可判断。
6．【答案】A
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：在中，勾股定理得
(米)，
(米)，
故选：A．
【分析】本题主要考查勾股定理的应用.需要先利用勾股定理求出AC的长度，再计算少走的距离．本题充分体现了勾股定理在实际问题中的应用，是对基础知识的考查.
7．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设
根据题意可知，，，，，
在中，
，即
解得：，即钟摆AD的长度是26cm.
故答案为：C．
【分析】设，根据平行线间的距离处处相等得，然后根据线段的和差可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
8．【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，，，
∴的值最大，
故答案为：A．
【分析】根据算术平方根及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出x、y的值，然后分别代入四个选项所给代数式计算后比较大小即可．
9．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故答案为：A
【分析】根据正方形的面积可得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：在与中，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
化简得：①，
∵，
∴②，
，得：，
∴，所以正方形ABEJ的面积为21．
故选：C．
【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质。通过证明和，利用全等三角形的性质得到面积之间的关系，再结合已知条件列出方程，最后根据勾股定理求出正方形ABEJ的面积．
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．【答案】16
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：
即这棵大树在折断前的高度为16米．
故答案为：16．
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图设B点，
由勾股定理，得，
，
点A在数轴的负半轴上，
点A表示的实数是．
故填：．
【分析】本题主要考查勾股定理以及实数与数轴的关系。勾股定理是计算线段长度的重要工具，通过勾股定理求出OB的长度，再根据数轴上点的位置关系确定点A所表示的实数．
14．【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，连接，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是的长度，
由勾股定理得，解得，
则这条丝线的最小长度是，
故答案为：15。
【分析】先将圆柱的侧面展开，得到一个长为12cm，宽为9cm的长方形，然后再连接AB，根据两点间连线最短，最后再根据勾股定理，代入数据即可求解。
15．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：对角线方向上的实数相乘的结果为
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得
，解得
，解得
，解得
，解得
.
故填：.
【分析】 本题主要考查数的规律探究以及一元一次方程和二次根式乘法的应用.需要根据横向，纵向及对角线方向上实数相乘结果相等的条件，列出方程求解各个未知数，再计算它们的和 .
16．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】结合乘方运算法则、负整数指数幂运算法则、算术平方根逐步计算得出结果.
17．【答案】（1）解：
。
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）对各个二次根式进行化简，然后再进行合并同类项即可求解。
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值，然后再对各个二次根式进行化简，最后再进行合并同类项，即可求解。
（3）对各个二次根式进行化简，然后再进行合并同类项，即可求解。
（4）根据平方差公式和完全平方公式，对式子进行展开，然后再合并同类项，即可求解。
（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18．【答案】（1）解：根据题意，得，，，，
∴四边形的周长为：；
（2）解：如图，
由（1）得，，，
∴，，
∴，
∴，即是直角三角形，
∵，，，
∴四边形的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用网格和勾股定理求出四边形各边的长，然后再求和即可求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，然后利用三角形面积公式求出的值即可求解.
（1）解：，，，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
19．【答案】（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3，
，，
解得：，
（2）解：，，
，
的立方根是2．
【知识点】平方根的性质；算术平方根的实际应用；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质及算术平方根的性质即可求出答案.
（2）将a，b值代入代数式，再根据立方根的性质即可求出答案.
20．【答案】（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形
答：是直角三角形.
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；直角三角形的判定
【解析】【分析】本题围绕三角形的性质展开，着重考查勾股定理逆定理以及三角形面积公式的应用.
(1)判断的形状，需要运用勾股定理逆定理，通过验证三边是否满足来确定是否为直角三角形；
(2)求修建的公路CD的长，利用三角形面积公式，结合的条件，通过面积的两种不同表示方法列出等式，进而求解CD的长度.
（1）解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
（2）解：，
，
．
答：修建的公路的长是．
21．【答案】（1）解：由题意得：米，
在中，
由勾股定理得，
∴（负值舍去），
∴（米）.
（2）解：由题意得米，
∵米，
∴米，
在中，
∴（米），
∴（米），
故还需放出风筝线14米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出DF的长，再利用线段的和差求出EF的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求解即可.
22．【答案】（1），
（2）解：①原式
；
原式
；
（3）解：，
，
同理，，
原式
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
的有理化因式可以为，
，
的有理化因式可以为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据算术平方根的定义以及平方差公式进行计算即可求出答案.
（2）①分子、分母分别乘以即可求出答案.
②分子、分母分别乘以即可求出答案.
（3）根据分母有理化的方法将原式化为，再进行计算即可求出答案.
（1）解：，
的有理化因式可以为，
，
的有理化因式可以为，
故答案为：，；
（2）①原式
；
原式
；
（3），
，
同理，，
原式
．
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