第23天 万有引力定律
1．(2024·河北校联考模拟预测)我国首次火星探测任务“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征五号”运载火箭发射升空，开启了我国行星探测之旅，“天问一号”离开地球时，所受万有引力F1与它距离地面高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”奔向火星时，所受万有引力F2与它距离火星表面高度h2的关系图像如图乙所示，已知地球半径是火星半径的2倍，则下列说法正确的是( )
A．地球与火星的表面重力加速度之比为3∶2
B．地球与火星的质量之比为9∶2
C．地球与火星的第一宇宙速度之比为∶3
D．地球与火星的密度之比为9∶8
D [设“天问一号”的质量为m，结合题图分析可知，在地球与火星表面，“天问一号”的重力分别为9F0和4F0，由此可知地球与火星的表面重力加速度之比为＝9∶4，故A错误；由星球表面重力等于万有引力有mg＝G，解得M＝，又有R地＝2R火，联立解得＝9∶1，故B错误；由第一宇宙速度表达式v＝可得，第一宇宙速度之比为＝3∶，故C错误；由密度公式ρ＝＝＝，解得＝9∶8，故D正确。故选D。]
2．(2024·广东中山市华侨中学校考模拟预测)在高空运行的同步卫星功能失效后，往往会被送到同步轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其他在轨卫星并节省轨道资源。如图所示，2022年1月22日，我国“实践21号”卫星在地球同步轨道“捕获”已失效的“北斗二号G2”卫星后，成功将其送入“墓地轨道”。已知转移轨道与同步轨道、墓地轨道分别相切于P、Q点，则“北斗二号G2”卫星( )
A．在墓地轨道运行时的速度大于其在同步轨道运行的速度
B．在转移轨道上经过P点的加速度大于在同步轨道上经过P点的加速度
C．在墓地轨道上经过Q点的速度大于转移轨道上经过Q点的速度
D．若要从Q点逃脱地球的引力束缚，则在该处速度必须大于11.2 km/s
C [由G＝m得v＝，知轨道半径越大，速度越小，所以在“墓地轨道”运行时的速度小于其在同步轨道运行的速度，故A错误；由G＝ma得a＝，知在转移轨道上经过P点的加速度等于在同步轨道上经过P点的加速度，故B错误；在转移轨道上经过Q点时点火加速，卫星能做离心运动，运动到“墓地轨道”，所以在墓地轨道上经过Q点的速度大于转移轨道上经过Q点的速度，故C正确；卫星脱离地球引力束缚，则卫星离开地球时的速度大于等于11.2 km/s，所以卫星从Q点逃脱地球的引力束缚，需要的速度小于11.2 km/s，故D错误。故选C。]
3．(2024·四川成都石室中学校考一模)如图甲所示，“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图乙是航天控制中心大屏幕上显示卫星FZ01的“星下点”在一段时间内的轨迹，已知地球同步卫星的轨道半径为r＝6.6R(R是地球的半径)，FZ01绕行方向与地球自转方向一致，则下列说法正确的是( )
A．卫星FZ01的轨道半径约为
B．卫星FZ01的轨道半径约为
C．卫星FZ01可以记录到南极点的气候变化
D．卫星FZ01不可以记录到北极点的气候变化
C [由轨迹图可知，地球自转一圈，卫星运动3圈，卫星做圆周运动，根据万有引力提供向心力G＝mr，可得同步卫星的周期为T＝2π，卫星FZ01的周期为T′＝2π，则卫星FZ01的轨道半径与同步卫星的轨道半径关系为r′＝≈，故A、B错误；卫星FZ01纬度最高时有θ＝30°，卫星离地球球心所在水平面的高度为h＝r′sin 30°＝＝1.65R>R，即卫星高度大于北极点的高度，卫星FZ01可以记录到北极点的气候变化，同理可得，卫星FZ01可以记录到南极点的气候变化，故C正确，D错误。故选C。
]
4．(2024·浙江校联考模拟预测)如图所示，地球与月球可以看作双星系统，它们均绕连线上的C点(图中未画出)转动。沿地月球心连线的延长线上有一个拉格朗日点P，位于这个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C点做匀速圆周运动，并保持与地球、月球相对位置不变。我国发射的“鹊桥”中继卫星位于P点附近，它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。已知地球质量M是月球质量的81倍，“鹊桥”中继星质量为m，地月球心距离为L，P点与月球球心距离为d。若忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，则( )
A．地球球心和月球球心到C点的距离之比为81∶1
B．地球和月球对“鹊桥”中继星的引力大小之比为81∶1
C．月球与“鹊桥”中继星的线速度大小之比为L∶
D．月球与“鹊桥”中继星的向心加速度大小之比为(L＋d)2∶L2
C [设地球球心到C点的距离为r1，月球球心到C点的距离为r2，可得G＝M地ω2r1，G＝M月ω2r2，且M地＝81M月，可得地球球心和月球球心到C点的距离之比为r1∶r2＝1∶81，故A错误；根据万有引力公式F＝G，地球和月球对“鹊桥”中继星的引力大小之比为F1∶F2＝∶＝81d2∶(L＋d)2，故B错误；“鹊桥”中继星与地球、月球相对位置不变，角速度相等，月球与“鹊桥”中继星的线速度大小之比为v月∶v中＝ωr2∶ω(r2＋d)＝L∶，故C正确；月球与“鹊桥”中继星的向心加速度大小之比为a月∶a中＝ω2r2∶ω2(r2＋d)＝L∶，故D错误。故选C。]
5．(多选)(2024·四川内江统考一模)2023年4月14日，我国首颗太阳探测卫星“夸父一号”准时观测了部分数据，实现了数据共享。如图所示，“夸父一号”卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道、椭圆轨道绕地球沿逆时针运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法正确的是( )
A．两颗卫星的运动周期相等
B．两卫星在图示位置的速度v1C．两卫星在A处受到的万有引力大小一定相等
D．两颗卫星在A或B点处不可能相遇
AD [根据开普勒第三定律可得＝k，由于圆的半径与椭圆的半长轴相等，则两颗卫星的运动周期相等，故A正确；设沿椭圆轨道运行的卫星在远地点变轨后绕地球做匀速圆周运动，则需要在变轨处点火加速，可知v2小于变轨后圆轨道的运行速度v′2，卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力＝m可得v＝，可知v1>v′2，则两卫星在题图位置的速度v1>v2，故B错误；根据万有引力表达式F引＝，由于两卫星的质量不一定相等，则两卫星在A处受到的万有引力大小不一定相等，故C错误；由于两卫星的周期相等，从题图所示位置开始运动，圆轨道卫星到A处所用时间大于半个周期，椭圆轨道卫星到A处所用时间小于半个周期，圆轨道卫星到B处所用时间小于半个周期，椭圆轨道卫星到B处所用时间大于半个周期，所以两颗卫星在A或B点处不可能相遇，故D正确。故选AD。]
3/5第23天 万有引力定律
1．(2024·河北校联考模拟预测)我国首次火星探测任务“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征五号”运载火箭发射升空，开启了我国行星探测之旅，“天问一号”离开地球时，所受万有引力F1与它距离地面高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”奔向火星时，所受万有引力F2与它距离火星表面高度h2的关系图像如图乙所示，已知地球半径是火星半径的2倍，则下列说法正确的是( )
A．地球与火星的表面重力加速度之比为3∶2
B．地球与火星的质量之比为9∶2
C．地球与火星的第一宇宙速度之比为∶3
D．地球与火星的密度之比为9∶8
2．(2024·广东中山市华侨中学校考模拟预测)在高空运行的同步卫星功能失效后，往往会被送到同步轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其他在轨卫星并节省轨道资源。如图所示，2022年1月22日，我国“实践21号”卫星在地球同步轨道“捕获”已失效的“北斗二号G2”卫星后，成功将其送入“墓地轨道”。已知转移轨道与同步轨道、墓地轨道分别相切于P、Q点，则“北斗二号G2”卫星( )
A．在墓地轨道运行时的速度大于其在同步轨道运行的速度
B．在转移轨道上经过P点的加速度大于在同步轨道上经过P点的加速度
C．在墓地轨道上经过Q点的速度大于转移轨道上经过Q点的速度
D．若要从Q点逃脱地球的引力束缚，则在该处速度必须大于11.2 km/s
3．(2024·四川成都石室中学校考一模)如图甲所示，“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图乙是航天控制中心大屏幕上显示卫星FZ01的“星下点”在一段时间内的轨迹，已知地球同步卫星的轨道半径为r＝6.6R(R是地球的半径)，FZ01绕行方向与地球自转方向一致，则下列说法正确的是( )
A．卫星FZ01的轨道半径约为
B．卫星FZ01的轨道半径约为
C．卫星FZ01可以记录到南极点的气候变化
D．卫星FZ01不可以记录到北极点的气候变化
4．(2024·浙江校联考模拟预测)如图所示，地球与月球可以看作双星系统，它们均绕连线上的C点(图中未画出)转动。沿地月球心连线的延长线上有一个拉格朗日点P，位于这个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C点做匀速圆周运动，并保持与地球、月球相对位置不变。我国发射的“鹊桥”中继卫星位于P点附近，它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。已知地球质量M是月球质量的81倍，“鹊桥”中继星质量为m，地月球心距离为L，P点与月球球心距离为d。若忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，则( )
A．地球球心和月球球心到C点的距离之比为81∶1
B．地球和月球对“鹊桥”中继星的引力大小之比为81∶1
C．月球与“鹊桥”中继星的线速度大小之比为L∶
D．月球与“鹊桥”中继星的向心加速度大小之比为(L＋d)2∶L2
5．(多选)(2024·四川内江统考一模)2023年4月14日，我国首颗太阳探测卫星“夸父一号”准时观测了部分数据，实现了数据共享。如图所示，“夸父一号”卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道、椭圆轨道绕地球沿逆时针运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法正确的是( )
A．两颗卫星的运动周期相等
B．两卫星在图示位置的速度v1C．两卫星在A处受到的万有引力大小一定相等
D．两颗卫星在A或B点处不可能相遇
1/3第23天
1．D [设“天问一号”的质量为m，结合题图分析可知，在地球与火星表面，“天问一号”的重力分别为9F0和4F0，由此可知地球与火星的表面重力加速度之比为＝9∶4，故A错误；由星球表面重力等于万有引力有mg＝G，解得M＝，又有R地＝2R火，联立解得＝9∶1，故B错误；由第一宇宙速度表达式v＝可得，第一宇宙速度之比为＝3∶，故C错误；由密度公式ρ＝＝＝，解得＝9∶8，故D正确。故选D。]
2．C [由G＝m得v＝，知轨道半径越大，速度越小，所以在“墓地轨道”运行时的速度小于其在同步轨道运行的速度，故A错误；由G＝ma得a＝，知在转移轨道上经过P点的加速度等于在同步轨道上经过P点的加速度，故B错误；在转移轨道上经过Q点时点火加速，卫星能做离心运动，运动到“墓地轨道”，所以在墓地轨道上经过Q点的速度大于转移轨道上经过Q点的速度，故C正确；卫星脱离地球引力束缚，则卫星离开地球时的速度大于等于 11.2 km/s，所以卫星从Q点逃脱地球的引力束缚，需要的速度小于11.2 km/s，故D错误。故选C。]
3．C [由轨迹图可知，地球自转一圈，卫星运动3圈，卫星做圆周运动，根据万有引力提供向心力G＝mr，可得同步卫星的周期为T＝2π，卫星FZ01的周期为T′＝2π，则卫星FZ01的轨道半径与同步卫星的轨道半径关系为r′＝≈，故A、B错误；卫星FZ01纬度最高时有θ＝30°，卫星离地球球心所在水平面的高度为h＝r′sin 30°＝＝1.65R>R，即卫星高度大于北极点的高度，卫星FZ01可以记录到北极点的气候变化，同理可得，卫星FZ01可以记录到南极点的气候变化，故C正确，D错误。故选C。
]
4．C [设地球球心到C点的距离为r1，月球球心到C点的距离为r2，可得G＝M地ω2r1，G＝M月ω2r2，且M地＝81M月，可得地球球心和月球球心到C点的距离之比为r1∶r2＝1∶81，故A错误；根据万有引力公式F＝G， 地球和月球对“鹊桥”中继星的引力大小之比为F1∶F2＝∶＝81d2∶(L＋d)2，故B错误；“鹊桥”中继星与地球、月球相对位置不变，角速度相等，月球与“鹊桥”中继星的线速度大小之比为v月∶v中＝ωr2∶ω(r2＋d)＝L∶，故C正确；月球与“鹊桥”中继星的向心加速度大小之比为a月∶a中＝ω2r2∶ω2(r2＋d)＝L∶，故D错误。故选C。]
5．AD [根据开普勒第三定律可得＝k，由于圆的半径与椭圆的半长轴相等，则两颗卫星的运动周期相等，故A正确；设沿椭圆轨道运行的卫星在远地点变轨后绕地球做匀速圆周运动，则需要在变轨处点火加速，可知v2小于变轨后圆轨道的运行速度v′2，卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力＝m可得v＝，可知v1>v′2，则两卫星在题图位置的速度v1>v2，故B错误；根据万有引力表达式F引＝，由于两卫星的质量不一定相等，则两卫星在A处受到的万有引力大小不一定相等，故C错误；由于两卫星的周期相等，从题图所示位置开始运动，圆轨道卫星到A处所用时间大于半个周期，椭圆轨道卫星到A处所用时间小于半个周期，圆轨道卫星到B处所用时间小于半个周期，椭圆轨道卫星到B处所用时间大于半个周期，所以两颗卫星在A或B点处不可能相遇，故D正确。故选AD。]
2/2
