第28天 电磁感应
1．(2024·陕西商洛校联考一模)如图所示，边长为L的正方形金属回路(总电阻为R)正好与虚线圆形边界相切，虚线圆形边界内(包括边界)存在与圆面垂直的匀强磁场，其磁感应强度与时间的关系式为B＝kt(k>0且为常量)，则金属回路产生的感应电流大小为( )
A． B．
C． D．
B [回路产生的感应电动势E＝S＝kπ，则金属回路产生的感应电流大小为I＝＝，故选B。]
2．(2024·河南统考二模)如图所示，一个质量为m、电阻为R、边长为L的正方形金属线框abcd放在光滑绝缘水平面上，空间存在一磁感应强度为B、方向竖直向下的有界匀强磁场，磁场的左右边界刚好和线框的ab边、cd边重合。现在线框cd的中点加一水平向右的恒力F，使线框从图示位置由静止开始水平向右运动。已知经过时间t，线框的ab边刚好向右运动到磁场的右边界处，此时线框的速度大小为v。若在同一时间t内，线框内产生的热量与一恒定电流I在该线框内产生的热量相同，则关于该恒定电流I的表达式，下列正确的是( )
A．I＝ B．I＝
C．I＝ D．I＝
D [对线框根据能量守恒有FL＝Q＋mv2，线框内产生的热量与一恒定电流I在该线框内产生的热量相同，则恒定电流产生的热量为Q＝I2Rt，解得I＝，故选D。]
3．如图1所示，光滑水平桌面上有竖直向下、宽度为L的匀强磁场，正方形闭合导线框abcd的边长为l，放在桌面上，bc边与磁场边界平行，L>l。让导线框在沿ab方向的恒力F作用下穿过匀强磁场，导线框的v-t图像如图2所示，t4时刻导线框的ad边刚好离开磁场。以下判断正确的是( )
A．t1～t2时间内，导线框受到的安培力逐渐增大
B．t1～t2时间内，F对导线框做的功等于其动能的增加量
C．t2～t3时间内，v-t图中阴影部分的面积表示磁场的宽度L
D．t3～t4时间内，导线框产生的焦耳热大于Fl
D [t1时刻，导线框开始进入磁场区域，做减速运动，安培力大于恒力F，加速度逐渐变小，安培力减小，故A错误；t2时刻，导线框全部进入磁场区域，t3时刻，导线框开始离开磁场区域，t1～t3时间段图线和坐标轴围成的面积表示磁场的宽度L，故C错误；t1～t2时间内，由动能定理可得WF＋W安＝ΔEk，故B错误；时间t3～t4段的安培力大于恒力F，位移是l，故导线框产生的焦耳热大于Fl，故D正确。故选D。]
4．(多选)(2024·吉林统考二模)列车进站时如图所示，其刹车原理可简化如下：在车身下方固定一水平矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab边和cd边长度均为L(L小于匀强磁场的宽度)，线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B，方向竖直向上。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。下列说法正确的是( )
A．列车进站过程中电流方向为abcd
B．列车ab边进入磁场瞬间，加速度大小a＝
C．列车从进站到停下来的过程中，线框产生的热量为
D．从车头进入磁场到停止所用的时间为
ABD [根据楞次定律结合安培定则可知，线框中电流的方向为顺时针(俯视)，即列车进站过程中电流方向为abcd，故A正确；列车车头进入磁场瞬间产生的感应电动势的大小为E＝BLv0，则回路中产生的瞬时感应电流的大小为I＝，可得车头进入磁场瞬间所受安培力的大小为F＝BIL，则由牛顿第二定律有F＋f＝ma，联立解得a＝，故B正确；列车从进入磁场到停止的过程中，克服安培力所做的功在数值上等于线框产生的热量，则由能量守恒有＝fs＋Q，解得Q＝－fs，故C错误；根据动量定理有－BL＝＝，联立以上各式解得t＝，故D正确。故选ABD。]
5．(2024·河南统考二模)如图所示，两条相距为d的光滑平行金属导轨固定在同一绝缘水平面内，其左端接一阻值为R的电阻，一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上。在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，在该区域中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小B随时间t的变化关系为B＝kt，式中k为常量且k>0。在金属棒右侧还有一宽度为L的匀强磁场区域，区域左边界为ab(虚线)、右边界为cd(虚线)，边界ab和cd均与导轨垂直，该匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向也竖直向下。金属棒通过平行于导轨的绝缘细线跨过光滑轻质定滑轮与一物体相连。开始时，用手托着物体静止不动，使连接金属棒的细线处于水平伸直状态。现突然把手撤去，金属棒从静止开始向右运动，在某一时刻(此时t＝0)恰好以速度v越过ab，此后金属棒在磁场B0中向右做匀速直线运动。设金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，金属棒和两导轨的电阻均忽略不计；金属棒向右运动过程中，物体始终在空中运动；重力加速度为g。求：
(1)金属棒从ab运动到cd的过程中，通过金属棒的电流大小；
(2)物体的质量；
(3)金属棒从ab运动到cd的过程中，物体重力势能的减少量；
(4)金属棒从ab运动到cd的过程中，阻值为R的电阻上产生的热量。
[解析] (1)设金属棒在磁场B0中运动的过程中，通过金属棒的电流大小为I，设在时间t内，金属棒的位移为x，有x＝vt
在时间t时刻，对于磁场B，穿过回路的磁通量为Φ＝ktS
对于匀强磁场B0，穿过回路的磁通量为Φ0＝B0dx
回路的总磁通量为Φt＝Φ＋Φ0
联立可得，在时刻t穿过回路的总磁通量为Φt＝ktS＋B0dvt
在t到t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变量为ΔΦt＝(kS＋B0dv)Δt
由法拉第电磁感应定律得，回路中感应电动势的大小为E＝
由闭合电路的欧姆定律得I＝
联立可得，通过金属棒的电流大小为I＝。
(2)设在t时刻，金属棒上细线的拉力为F，由于金属棒在ab右侧做匀速运动，则有
F＝B0Id
设物体的质量为m，在t时刻，对物体有mg＝F
联立以上各式可得，物体的质量为m＝(B0dv＋kS)。
(3)设金属棒在磁场B0中从ab向右运动到cd的过程中，物体重力势能的减少量为ΔE，则ΔE＝mgL
其中m＝(B0dv＋kS)
则金属棒从ab运动到cd的过程中，物体重力势能的减少量为ΔE＝(B0dv＋kS)。
(4)设金属棒在磁场B0中从ab向右运动到cd的过程中，阻值为R的电阻上产生的热量为Q，运动时间为t′，由Q＝I2Rt′，L＝vt′，其中I＝，联立可得，金属棒从ab运动到cd的过程中，阻值为R的电值上产生的热量为
Q＝＝(B0dv＋2kS)。
[答案] (1) (2)(B0dv＋kS) (3)(B0dv＋kS) (4)(B0dv＋2kS)
5/5第28天
1．B [回路产生的感应电动势E＝S＝kπ，则金属回路产生的感应电流大小为I＝＝，故选B。]
2．D [对线框根据能量守恒有FL＝Q＋mv2，线框内产生的热量与一恒定电流I在该线框内产生的热量相同，则恒定电流产生的热量为Q＝I2Rt，解得I＝，故选D。]
3．D [t1时刻，导线框开始进入磁场区域，做减速运动，安培力大于恒力F，加速度逐渐变小，安培力减小，故A错误；t2时刻，导线框全部进入磁场区域，t3时刻，导线框开始离开磁场区域，t1～t3时间段图线和坐标轴围成的面积表示磁场的宽度L，故C错误；t1～t2时间内，由动能定理可得WF＋W安＝ΔEk，故B错误；时间t3～t4段的安培力大于恒力F，位移是l，故导线框产生的焦耳热大于Fl，故D正确。故选D。]
4．ABD [根据楞次定律结合安培定则可知，线框中电流的方向为顺时针(俯视)，即列车进站过程中电流方向为abcd，故A正确；列车车头进入磁场瞬间产生的感应电动势的大小为E＝BLv0，则回路中产生的瞬时感应电流的大小为I＝，可得车头进入磁场瞬间所受安培力的大小为F＝BIL，则由牛顿第二定律有F＋f＝ma，联立解得a＝，故B正确；列车从进入磁场到停止的过程中，克服安培力所做的功在数值上等于线框产生的热量，则由能量守恒有＝fs＋Q，解得Q＝－fs，故C错误；根据动量定理有－BL＝＝，联立以上各式解得t＝，故D正确。故选ABD。]
5．解析：(1)设金属棒在磁场B0中运动的过程中，通过金属棒的电流大小为I，设在时间t内，金属棒的位移为x，有x＝vt
在时间t时刻，对于磁场B，穿过回路的磁通量为Φ＝ktS
对于匀强磁场B0，穿过回路的磁通量为Φ0＝B0dx
回路的总磁通量为Φt＝Φ＋Φ0
联立可得，在时刻t穿过回路的总磁通量为Φt＝ktS＋B0dvt
在t到t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变量为ΔΦt＝(kS＋B0dv)Δt
由法拉第电磁感应定律得，回路中感应电动势的大小为E＝
由闭合电路的欧姆定律得I＝
联立可得，通过金属棒的电流大小为I＝。
(2)设在t时刻，金属棒上细线的拉力为F，由于金属棒在ab右侧做匀速运动，则有
F＝B0Id
设物体的质量为m，在t时刻，对物体有mg＝F
联立以上各式可得，物体的质量为m＝(B0dv＋kS)。
(3)设金属棒在磁场B0中从ab向右运动到cd的过程中，物体重力势能的减少量为ΔE，则ΔE＝mgL
其中m＝(B0dv＋kS)
则金属棒从ab运动到cd的过程中，物体重力势能的减少量为ΔE＝(B0dv＋kS)。
(4)设金属棒在磁场B0中从ab向右运动到cd的过程中，阻值为R的电阻上产生的热量为Q，运动时间为t′，由Q＝I2Rt′，L＝vt′，其中I＝，联立可得，金属棒从ab运动到cd的过程中，阻值为R的电值上产生的热量为
Q＝＝(B0dv＋2kS)。
答案：(1) (2)(B0dv＋kS) (3)(B0dv＋kS) (4)(B0dv＋2kS)
1/2第28天 电磁感应
1．(2024·陕西商洛校联考一模)如图所示，边长为L的正方形金属回路(总电阻为R)正好与虚线圆形边界相切，虚线圆形边界内(包括边界)存在与圆面垂直的匀强磁场，其磁感应强度与时间的关系式为B＝kt(k>0且为常量)，则金属回路产生的感应电流大小为( )
A． B．
C． D．
2．(2024·河南统考二模)如图所示，一个质量为m、电阻为R、边长为L的正方形金属线框abcd放在光滑绝缘水平面上，空间存在一磁感应强度为B、方向竖直向下的有界匀强磁场，磁场的左右边界刚好和线框的ab边、cd边重合。现在线框cd的中点加一水平向右的恒力F，使线框从图示位置由静止开始水平向右运动。已知经过时间t，线框的ab边刚好向右运动到磁场的右边界处，此时线框的速度大小为v。若在同一时间t内，线框内产生的热量与一恒定电流I在该线框内产生的热量相同，则关于该恒定电流I的表达式，下列正确的是( )
A．I＝ B．I＝
C．I＝ D．I＝
3．如图1所示，光滑水平桌面上有竖直向下、宽度为L的匀强磁场，正方形闭合导线框abcd的边长为l，放在桌面上，bc边与磁场边界平行，L>l。让导线框在沿ab方向的恒力F作用下穿过匀强磁场，导线框的v-t图像如图2所示，t4时刻导线框的ad边刚好离开磁场。以下判断正确的是( )
A．t1～t2时间内，导线框受到的安培力逐渐增大
B．t1～t2时间内，F对导线框做的功等于其动能的增加量
C．t2～t3时间内，v-t图中阴影部分的面积表示磁场的宽度L
D．t3～t4时间内，导线框产生的焦耳热大于Fl
4．(多选)(2024·吉林统考二模)列车进站时如图所示，其刹车原理可简化如下：在车身下方固定一水平矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab边和cd边长度均为L(L小于匀强磁场的宽度)，线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B，方向竖直向上。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。下列说法正确的是( )
A．列车进站过程中电流方向为abcd
B．列车ab边进入磁场瞬间，加速度大小a＝
C．列车从进站到停下来的过程中，线框产生的热量为
D．从车头进入磁场到停止所用的时间为
5．(2024·河南统考二模)如图所示，两条相距为d的光滑平行金属导轨固定在同一绝缘水平面内，其左端接一阻值为R的电阻，一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上。在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，在该区域中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小B随时间t的变化关系为B＝kt，式中k为常量且k>0。在金属棒右侧还有一宽度为L的匀强磁场区域，区域左边界为ab(虚线)、右边界为cd(虚线)，边界ab和cd均与导轨垂直，该匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向也竖直向下。金属棒通过平行于导轨的绝缘细线跨过光滑轻质定滑轮与一物体相连。开始时，用手托着物体静止不动，使连接金属棒的细线处于水平伸直状态。现突然把手撤去，金属棒从静止开始向右运动，在某一时刻(此时t＝0)恰好以速度v越过ab，此后金属棒在磁场B0中向右做匀速直线运动。设金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，金属棒和两导轨的电阻均忽略不计；金属棒向右运动过程中，物体始终在空中运动；重力加速度为g。求：
(1)金属棒从ab运动到cd的过程中，通过金属棒的电流大小；
(2)物体的质量；
(3)金属棒从ab运动到cd的过程中，物体重力势能的减少量；
(4)金属棒从ab运动到cd的过程中，阻值为R的电阻上产生的热量。
[解析] (1)设金属棒在磁场B0中运动的过程中，通过金属棒的电流大小为I，设在时间t内，金属棒的位移为x，有x＝vt
在时间t时刻，对于磁场B，穿过回路的磁通量为Φ＝ktS
对于匀强磁场B0，穿过回路的磁通量为Φ0＝B0dx
回路的总磁通量为Φt＝Φ＋Φ0
联立可得，在时刻t穿过回路的总磁通量为Φt＝ktS＋B0dvt
在t到t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变量为ΔΦt＝(kS＋B0dv)Δt
由法拉第电磁感应定律得，回路中感应电动势的大小为E＝
由闭合电路的欧姆定律得I＝
联立可得，通过金属棒的电流大小为I＝。
(2)设在t时刻，金属棒上细线的拉力为F，由于金属棒在ab右侧做匀速运动，则有
F＝B0Id
设物体的质量为m，在t时刻，对物体有mg＝F
联立以上各式可得，物体的质量为m＝(B0dv＋kS)。
(3)设金属棒在磁场B0中从ab向右运动到cd的过程中，物体重力势能的减少量为ΔE，则ΔE＝mgL
其中m＝(B0dv＋kS)
则金属棒从ab运动到cd的过程中，物体重力势能的减少量为ΔE＝(B0dv＋kS)。
(4)设金属棒在磁场B0中从ab向右运动到cd的过程中，阻值为R的电阻上产生的热量为Q，运动时间为t′，由Q＝I2Rt′，L＝vt′，其中I＝，联立可得，金属棒从ab运动到cd的过程中，阻值为R的电值上产生的热量为
Q＝＝(B0dv＋2kS)。
[答案] (1) (2)(B0dv＋kS) (3)(B0dv＋kS) (4)(B0dv＋2kS)
