微专题突破练(五)
1．B [负电荷产生的电场指向负电荷，可知两个负电荷在D处产生的电场强度分别指向A与B，由于两个点电荷的电荷量是相等的，所以两个点电荷在D点产生的电场强度的大小相等，则它们的合电场强度的方向沿∠ADB的角平分线DO，由库仑定律得两负电荷在D点产生的电场强度大小为EA＝EB＝＝，它们的合电场强度ED＝EA cos 30°＋EB cos 30°＝，故A错误；由几何关系得DO＝CO＝L，则∠OCD＝45°，对小球受力分析，其受力的剖面图如图，由于C到A、B的距离与D到A、B的距离都等于L，结合以上分析可知，C点的电场强度的大小与D点的电场强度的大小相等，方向指向O点，即EC＝ED＝，沿轨道方向mg cos 45°－F cos 45°＝ma，垂直于轨道方向mg sin 45°＋F sin 45°＝N，其中F是静电力，F＝qEC＝mg，联立解得a＝0，故B正确；由于C与D到A、B的距离都等于L，结合等量同种电荷的电场特点可知，C点与D点的电势是相等的，所以小球从D到C静电力做功等于0，得mg·OD＝mv2，小球的动能Ek＝mv2＝mgL，故C错误；由几何关系可知，在CD上，CD的中点到A、B的距离最小，电势最低，小球带正电，所以小球在CD的中点处的电势能最小，则小球沿直轨道CD下滑过程中，其电势能先减小后增大，故D错误。]
2．D [根据功率的计算公式可知P＝Fv cos θ，则静电力的瞬时功率为P＝Eqv1，A错误；由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F洛＝qv2B，B错误；根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的安培力不变，静电力不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。故选D。]
3．解析：(1)速度大小不变，因为y轴方向与磁场平行，质子在y轴方向受力为0。
(2)y轴方向有L＝v cos θ·t
垂直y轴方向的平面内，质子做圆周运动，有Bqv sin θ＝
又T＝
解得T＝
当t＝nT(n＝1，2，3，…)时，所有质子会聚一点，可得L＝(n＝1，2，3，…)。
(3)当L＝时，可得t1＝
又r＝
如图，α＝，r′＝＝r
解得r′＝
当α＝π时，Rm＝2r，此时圆环面积最大，易知最大面积为S＝＝。
答案：(1)见解析 (2)(n＝1，2，3，…)(3)
4．解析：(1)结合题意作出粒子的运动轨迹，俯视图如图甲所示，粒子在区域Ⅰ中运动时，由动能定理得qEd＝
解得v1＝
又由AC＝2d以及两平面之间的距离为d可知，△ACO1为正三角形，所以粒子在区域Ⅱ中运动的轨道半径为R1＝2d
又qv1B＝
解得B＝。
(2)粒子进入区域Ⅲ后做类斜抛运动，粒子在C点平行电场方向的分速度为vx＝v1sin 30°
沿CD方向做匀速直线运动，分速度为vy＝v1cos 30°
又由牛顿第二定律有qE＝ma
则粒子由C到D的时间为t＝，xCD＝vyt
解得xCD＝d
由类斜抛运动的对称性可知，粒子在D点的速度大小仍为v1＝
则粒子再次回到区域Ⅱ的轨道半径仍为R1＝2d
则粒子第一次、第二次通过左侧平面时，两点之间的距离为s＝2R1cos 60°＋xCD
解得s＝(2＋)d。
(3)若粒子的释放点O向左平移2d后由静止释放，粒子在区域Ⅰ中运动时，由动能定理得qE·3d＝
解得v2＝
粒子在区域Ⅱ中，运动轨迹的俯视图如图乙所示，则有qv2B＝
解得R2＝2d
由几何关系可知粒子在区域Ⅱ中的轨迹所对应的圆心角为 sin α＝＝，则α＝30°
粒子由A到P的时间为t1＝
结合(2)中的解析可知粒子在区域Ⅲ中的运动时间为t2＝
又v′x＝v2cos 30°
由对称性可知，粒子由Q到M的时间为t3＝t1＝
又T＝
所以粒子第一次、第二次通过左侧平面的时间间隔为t＝2t1＋t2＝＋3＝。
答案：(1) (2)(2＋)d (3)
4/4微专题突破练(五) 带电粒子在立体空间中的运动
1．如图所示，水平面内的等边三角形ABC的边长为L，顶点C恰好位于光滑绝缘直轨道CD的最低点，光滑直导轨的上端点D到A、B两点的距离均为L，D在AB边上的竖直投影点为O。一对电荷量均为－Q的点电荷分别固定于A、B两点。在D处将质量为m、电荷量为＋q的小球套在轨道上(忽略它对原电场的影响)，将小球由静止开始释放，已知静电力常量为k，重力加速度为g，且k＝mg，忽略空气阻力，则( )
A．轨道上D点的电场强度大小为
B．小球刚到达C点时，其加速度为0
C．小球刚到达C点时，其动能为mgL
D．小球沿直轨道CD下滑过程中，其电势能先增大后减小
2．2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图所示)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子所受重力，则( )
A．静电力的瞬时功率为
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
3．如图甲是医用肿瘤放疗装置，其原理如图乙所示，利用在O点沿y轴正方向射出的高能质子束对肿瘤病灶精准打击从而杀死癌细胞。实际中，质子束的运动方向并不是严格沿y轴，而是与y轴有一个很小的偏角，呈发散状。为此加一个方向沿y轴正向、磁感应强度大小为B的匀强磁场，使得质子参与两种运动，沿y轴方向的直线运动和在垂直y轴的平面内的圆周运动。为研究方便，用垂直y轴足够大的显示屏表示病人，癌细胞位于屏上，从O点射出的质子速度为v，质量为m，电荷量为q，所有质子与y轴正方向偏差角均为θ，不考虑质子所受重力和空气阻力，不考虑质子间的相互作用。
(1)质子在y轴方向的分运动速度大小是否变化，请简述理由；
(2)当显示屏离O点距离为多大时，所有的质子会重新会聚于一点？
(3)移动显示屏，屏上出现一亮环，当屏到O点的距离为L＝时，亮环半径多大？在移动显示屏过程中，最大亮环的面积是多少？
4．如图所示的足够大的长方体空间被两竖直平面分成三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中区域Ⅰ、Ⅲ中分别存在水平向右和水平向左的匀强电场，电场强度大小均为E，区域Ⅱ中存在竖直向上的匀强磁场。O点为区域Ⅰ的点，O点到左侧竖直平面的距离为d，两平面之间的距离为d，一比荷为k的带正电的粒子由O点静止释放，依次经过两平面，经过两平面的点之间的距离为2d，忽略粒子所受重力。
(1)求区域Ⅱ中磁感应强度的大小；
(2)求粒子第一次、第二次通过左侧平面时，两点之间的距离；
(3)若粒子的释放点O向左平移2d后，由静止释放，求粒子第一次、第二次通过左侧平面的时间间隔。
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