湘教版（2024）数学 八年级上册 4.1 认识三角形 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2018八上·南充期中）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A．5 B．6 C．11 D．16
2．（2024八上·婺城期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2024八上·汇川月考）如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·天山期中）如图，在中，边上的高为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·嘉兴期末）如图，在锐角中，为边上的中线，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·河南驻马店经济开发月考）已知等腰三角形的两边长分别为3，6，则其周长为 ．
7．（2017七下·博兴期末）已知一个三角形的三条边长为2、7、 ，则 的取值范围是 ．
8．（2025八上·绵阳期中）如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”）
9．说出图中所有的三角形，以及每一个三角形的三条边和三个内角。
10．下列长度的三条线段能组成三角形吗 请说明理由。
（1） 20cm，15cm，8cm；
（2） 7cm，15cm，8cm；
（3） 5cm，15cm，8cm。
二、能力提升
11．（2025八上·鄞州期末）下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ）
A． B． C．2，2， 4 D．
12．（2024八上·武昌期末）若等腰三角形的周长为20cm，一边为6cm，则底边长为（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm或7cm D．6cm或8cm
13．（2024八上·嘉兴期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（2025七下·福田期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAF=∠CAF B．BF＝CF
C．∠B+∠BAD=90° D．S△ABC＝2S△ABF
15．（2025七下·遂宁期末）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，且点在的延长线上，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．是等腰三角形
C． D．
16．（2025七下·深圳期中）在中，为偶数，则 。
17．（2025·雨花期末）已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则此三角形的周长为 ．
18．（2024八上·凉州月考）已知，，为的三边，化简： ．
19．（2024八上·香洲期末）如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示）
20．（2024七下·南海期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有 （填正确的序号）．
21．（2023八上·海淀期中）如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数．
22．（2025·雨花期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O
（1）若，求的度数；
（2）若∠BAD=35°，∠CBE=α，用含α的式子表示∠ADC．
三、拓展创新
23．（2024八上·镇海区期中）已知关于的方程组．
（1）若方程组的解满足，求的取值范围．
（2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【解答】设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4，∴它的底边长为10-4-4=2．
故选：A．
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，结合已知条件即可求出底边的长度．
3．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：过点作的垂线，且垂足在直线上，
所以正确画出边上的高的是D选项，
故选：D．
【分析】
根据三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高进行各个选项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：在锐角中，为边上的中线，
，
故答案为：B.
【分析】利用三角形中线的定义解题．
6．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①当3为腰时，另两边为3、6，，不能构成三角形，舍去；
②当6为腰时，另两边为3、6，，能构成三角形，
此时三角形的周长为
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边即可求出答案.
7．【答案】5 x 9
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和得：7 2即58．【答案】
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解： ∵点O是的重心，
∴AD是三角形中线，
∴，
故答案为：．
【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点.根据重心是三角形中线的交点解题即可．
9．【答案】解：图中的三角形有 的三条边是 AB，AC，BC，三个内角是 的三条边是AB，AD，BD，三个内角是 的三条边是BC，BD，CD，三个内角是
【知识点】三角形相关概念
【解析】【分析】根据三角形、三角形的边和内角的定义解答即可.
10．【答案】（1）解：
∴能组成三角形；
（2）解：
∴不能组成三角形；
（3）解：
∴不能组成三角形.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】利用三角形的三边关系定理进行计算即可.
11．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.1+2=3， 三条线段无法构成三角形 ，故A不符合题意；
B.1+＞，1+＞，+＞1，三条线段可构成三角形 ，故B符合题意；
C.2+2=4，三条线段无法构成三角形 ，故C不符合题意；
D.2+3＜6，三条线段无法构成三角形 ，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差必须小于第三边，判断即可得出答案.
12．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①6cm是底边时，腰长＝（20 6）＝7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
符合三角形三边关系，
②6cm是腰长时，底边＝20 6×2＝8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
符合三角形三边关系，
综上所述，底边长为6或8cm.
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①6cm是底边时，腰长＝（20 6）＝7cm，②6cm是腰长时，底边＝20 6×2＝8cm，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
13．【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点，分别为，边上的中点，
∴，，
∵的面积为12，
∴，
故选：A．
【分析】三角形中线平分三角形面积．
14．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：∵AE是角平分线
∴∠BAE=∠CAE，A错误
∵AF是中线
∴BF=CF，B正确
∵∠ADB=90°
∴∠B+∠BAD=90°，C正确
∵AF是中线
∴S△ABC＝2S△ABF，D正确
故答案为：D
【分析】根据三角形角平分线定义，中线性质，三角形高的性质逐项进行判断即可求出答案.
15．【答案】C
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A：旋转的性质：对应边相等，即AB=AD，A选项正确.
B：旋转的性质：对应边相等，即AC=AE，所以是等腰三角形，B选项正确.
C： 旋转的性质：旋转角相等，即 ∠ABC=∠ADE ，∴∠ACE=∠ABC+∠BAC=∠ADE+∠BAC，C选项不正确
D：旋转的性质：旋转角相等，即∠BAD=∠EAC，D选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质即可判断选项正确与否.
16．【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵| a b| < c< a +b
代入a=2.5，b=1，得：
∴| 2.5 1 | = 1.5 < c< 2.5 + 1 = 3.5
即 1.5 < < 3.5
又∵c为偶数
∴c=2
故答案为：2.
【分析】根据 三角形三边关系 ：三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，求出c的范围，再结合c是偶数即可解答。
17．【答案】10或11
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由已知可得：
3-a≥0 且 2a-6≥0，
∴a=3.
∴b=4.
当此三角形的腰为a，底是b时，周长=3+3+4=10.
当此三角形的腰是b，底是a时，周长=4+4+3=11.
∴此三角形的周长为10或11.
故答案为：10或11.
【分析】先由已知求出a、b的值。再分别讨论：a为该等腰三角形的腰，b为底时该三角形的周长和b为该等腰三角形的腰，a为底时该三角形的周长。即可得出结果.
18．【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵的三边长分别是，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形三边关系得到，， 然后取绝对值合并同类项解题即可．
19．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
连接DC、AE，因为为中点，则，同理，，则，即可求解．
20．【答案】①②③
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角；补角；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE= EC，
∴，
故①正确；
∵ CF平分∠ACB，
∴，
∵∠BAC= 90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵∠BAC = 90°
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠BCF，
∴，
故④错误；
∴上面说法中正确的有3个，
故答案为：①②③．
【分析】①利用三角形的中线，得到△ABE和△BEC是等底同高的两个三角形，所以；
②根据等角的补角相等，先证得∠AFC=∠DGC，再利用对顶角相等，得到 ∠AFG=∠AGF ；
③根据同角的余角相等，证得∠FAG =∠ACD，即可求解；
④根据已知条件，不能推出∠HBC和∠HCB的关系，即可作出判断．
21．【答案】解：∵，∴，
∵是角平分线，
∴．
∵是高，，
∴，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】由三角形内角和定理可求得的度数，由角平分线的定义可得，在中，可求得的度数，再由可求的度数．
22．【答案】（1）解：是高，
，
又，
，
是角平分线，
，
的度数为
（2）解：∵∠BAD=35°，AD是角平分线
∴∠CAD=35°
是高，
，
∵∠CBE=α，
∴∠C=90°-α
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=55°+α
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）由BE是高，∠AOE=60°可知：∠EAD=30°；结合AD是角平分线，可以知道∠BAC=60°。所以可以得到：∠ABE=30°.
（2）由AD是角平分线，∠BAD=35°，可得：∠CAD=35°。由BE是高，可知∠BEC=90°，再结合已知∠CBE=，所以∠C=90°-。所以∠ADC=180°-∠CAD-∠C=55°+.
23．【答案】（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）两方程相减得：，即可得到，然后解不等式组即可；
（2）利用加减消元法解方程得到，分类讨论若x或是等腰三角形的腰时，利用三角形的三边关系加以验证即可．
（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：
1 / 1湘教版（2024）数学 八年级上册 4.1 认识三角形 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2018八上·南充期中）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A．5 B．6 C．11 D．16
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【解答】设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．（2024八上·婺城期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4，∴它的底边长为10-4-4=2．
故选：A．
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，结合已知条件即可求出底边的长度．
3．（2024八上·汇川月考）如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：过点作的垂线，且垂足在直线上，
所以正确画出边上的高的是D选项，
故选：D．
【分析】
根据三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高进行各个选项判断即可。
4．（2024八上·天山期中）如图，在中，边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。
5．（2025八上·嘉兴期末）如图，在锐角中，为边上的中线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：在锐角中，为边上的中线，
，
故答案为：B.
【分析】利用三角形中线的定义解题．
6．（2024七下·河南驻马店经济开发月考）已知等腰三角形的两边长分别为3，6，则其周长为 ．
【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①当3为腰时，另两边为3、6，，不能构成三角形，舍去；
②当6为腰时，另两边为3、6，，能构成三角形，
此时三角形的周长为
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边即可求出答案.
7．（2017七下·博兴期末）已知一个三角形的三条边长为2、7、 ，则 的取值范围是 ．
【答案】5 x 9
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和得：7 2即58．（2025八上·绵阳期中）如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解： ∵点O是的重心，
∴AD是三角形中线，
∴，
故答案为：．
【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点.根据重心是三角形中线的交点解题即可．
9．说出图中所有的三角形，以及每一个三角形的三条边和三个内角。
【答案】解：图中的三角形有 的三条边是 AB，AC，BC，三个内角是 的三条边是AB，AD，BD，三个内角是 的三条边是BC，BD，CD，三个内角是
【知识点】三角形相关概念
【解析】【分析】根据三角形、三角形的边和内角的定义解答即可.
10．下列长度的三条线段能组成三角形吗 请说明理由。
（1） 20cm，15cm，8cm；
（2） 7cm，15cm，8cm；
（3） 5cm，15cm，8cm。
【答案】（1）解：
∴能组成三角形；
（2）解：
∴不能组成三角形；
（3）解：
∴不能组成三角形.
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】利用三角形的三边关系定理进行计算即可.
二、能力提升
11．（2025八上·鄞州期末）下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ）
A． B． C．2，2， 4 D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.1+2=3， 三条线段无法构成三角形 ，故A不符合题意；
B.1+＞，1+＞，+＞1，三条线段可构成三角形 ，故B符合题意；
C.2+2=4，三条线段无法构成三角形 ，故C不符合题意；
D.2+3＜6，三条线段无法构成三角形 ，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差必须小于第三边，判断即可得出答案.
12．（2024八上·武昌期末）若等腰三角形的周长为20cm，一边为6cm，则底边长为（ ）
A．6cm B．7cm C．6cm或7cm D．6cm或8cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①6cm是底边时，腰长＝（20 6）＝7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
符合三角形三边关系，
②6cm是腰长时，底边＝20 6×2＝8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
符合三角形三边关系，
综上所述，底边长为6或8cm.
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①6cm是底边时，腰长＝（20 6）＝7cm，②6cm是腰长时，底边＝20 6×2＝8cm，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
13．（2024八上·嘉兴期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点，分别为，边上的中点，
∴，，
∵的面积为12，
∴，
故选：A．
【分析】三角形中线平分三角形面积．
14．（2025七下·福田期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAF=∠CAF B．BF＝CF
C．∠B+∠BAD=90° D．S△ABC＝2S△ABF
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：∵AE是角平分线
∴∠BAE=∠CAE，A错误
∵AF是中线
∴BF=CF，B正确
∵∠ADB=90°
∴∠B+∠BAD=90°，C正确
∵AF是中线
∴S△ABC＝2S△ABF，D正确
故答案为：D
【分析】根据三角形角平分线定义，中线性质，三角形高的性质逐项进行判断即可求出答案.
15．（2025七下·遂宁期末）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，且点在的延长线上，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．是等腰三角形
C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：A：旋转的性质：对应边相等，即AB=AD，A选项正确.
B：旋转的性质：对应边相等，即AC=AE，所以是等腰三角形，B选项正确.
C： 旋转的性质：旋转角相等，即 ∠ABC=∠ADE ，∴∠ACE=∠ABC+∠BAC=∠ADE+∠BAC，C选项不正确
D：旋转的性质：旋转角相等，即∠BAD=∠EAC，D选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质即可判断选项正确与否.
16．（2025七下·深圳期中）在中，为偶数，则 。
【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵| a b| < c< a +b
代入a=2.5，b=1，得：
∴| 2.5 1 | = 1.5 < c< 2.5 + 1 = 3.5
即 1.5 < < 3.5
又∵c为偶数
∴c=2
故答案为：2.
【分析】根据 三角形三边关系 ：三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，求出c的范围，再结合c是偶数即可解答。
17．（2025·雨花期末）已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则此三角形的周长为 ．
【答案】10或11
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由已知可得：
3-a≥0 且 2a-6≥0，
∴a=3.
∴b=4.
当此三角形的腰为a，底是b时，周长=3+3+4=10.
当此三角形的腰是b，底是a时，周长=4+4+3=11.
∴此三角形的周长为10或11.
故答案为：10或11.
【分析】先由已知求出a、b的值。再分别讨论：a为该等腰三角形的腰，b为底时该三角形的周长和b为该等腰三角形的腰，a为底时该三角形的周长。即可得出结果.
18．（2024八上·凉州月考）已知，，为的三边，化简： ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵的三边长分别是，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形三边关系得到，， 然后取绝对值合并同类项解题即可．
19．（2024八上·香洲期末）如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
∵为中点，
∴，
设，
∴，
∵为中点，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
连接DC、AE，因为为中点，则，同理，，则，即可求解．
20．（2024七下·南海期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有 （填正确的序号）．
【答案】①②③
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角；补角；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE= EC，
∴，
故①正确；
∵ CF平分∠ACB，
∴，
∵∠BAC= 90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵∠BAC = 90°
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠BCF，
∴，
故④错误；
∴上面说法中正确的有3个，
故答案为：①②③．
【分析】①利用三角形的中线，得到△ABE和△BEC是等底同高的两个三角形，所以；
②根据等角的补角相等，先证得∠AFC=∠DGC，再利用对顶角相等，得到 ∠AFG=∠AGF ；
③根据同角的余角相等，证得∠FAG =∠ACD，即可求解；
④根据已知条件，不能推出∠HBC和∠HCB的关系，即可作出判断．
21．（2023八上·海淀期中）如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数．
【答案】解：∵，∴，
∵是角平分线，
∴．
∵是高，，
∴，
∴．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】由三角形内角和定理可求得的度数，由角平分线的定义可得，在中，可求得的度数，再由可求的度数．
22．（2025·雨花期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O
（1）若，求的度数；
（2）若∠BAD=35°，∠CBE=α，用含α的式子表示∠ADC．
【答案】（1）解：是高，
，
又，
，
是角平分线，
，
的度数为
（2）解：∵∠BAD=35°，AD是角平分线
∴∠CAD=35°
是高，
，
∵∠CBE=α，
∴∠C=90°-α
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=55°+α
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）由BE是高，∠AOE=60°可知：∠EAD=30°；结合AD是角平分线，可以知道∠BAC=60°。所以可以得到：∠ABE=30°.
（2）由AD是角平分线，∠BAD=35°，可得：∠CAD=35°。由BE是高，可知∠BEC=90°，再结合已知∠CBE=，所以∠C=90°-。所以∠ADC=180°-∠CAD-∠C=55°+.
三、拓展创新
23．（2024八上·镇海区期中）已知关于的方程组．
（1）若方程组的解满足，求的取值范围．
（2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
【答案】（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）两方程相减得：，即可得到，然后解不等式组即可；
（2）利用加减消元法解方程得到，分类讨论若x或是等腰三角形的腰时，利用三角形的三边关系加以验证即可．
（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：
1 / 1
