第一章《有理数》提升卷—华东师大版（2024）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2025七上·金华月考）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“”中，个位数上画上斜线表示负数，再由“个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横”可得所表示的数是，D正确.
故选：．
【分析】本题解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可.
2．（2025七上·海珠期中）下列数字中有理数共有（ ）个
，，，，，，，（每两个1之间依次增加一个0）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：有理数有：，，，，，，是有理数，共6个
故答案为：C．
【分析】
本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．有理数：整数和分数统称为有理数；根据题目中的数据可知：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；是负整数，属于有理数；3.14是小数，属于有理数；-0.0105是负数，属于有理数；π是无限不循环小数，不是有理数；-0.2是负数，属于有理数；0.1010010001……（每两个1之间依次增加一个0）是无限不循环小数，不是有理数，由此可判断出答案．
3．（2023七上·中山期末）在数轴上，把表示的点沿着数轴移动7个单位长度得到的点所表示的数是（ ）
A．5 B． C． D．5或
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：当沿数轴向左运动时，表示的数为：，
当沿数轴向右运动时，表示的数为：，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，再利用两点之间的距离求解即可。
4．（2023七上·平昌月考）下列各对数：“①与；②与；③与；④与”中，互为相反数的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】B
【知识点】判断两个数互为相反数；化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：①与，∴-（-4）=+（+4），
∴此结论不合题意；
②与，互为相反数，
∴此结论符合题意，；
③=与，相等，
∴此结论不合题意；
④与，互为相反数，
∴此结论符合题意，
∴互为相反数的有②④，共2对
故答案为：B．
【分析】由题意，先将每一组数据简化符号，然后根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可判断求解．
5．式子 的所有可能的值有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】A
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：当a>0，b>0时
原式=1+1+1=3
当a<0，b<0时
原式=-1-1+1=-1
当a>0，b<0时
原式=1-1-1=-1
当a<0，b>0时
原式=-1+1-1=-1
∴所有可能的值有2个
故答案为：A
【分析】分情况讨论，结合绝对值的性质化简即可求出答案.
6．（2024七上·临平期中）若，，，则x，y，，这四个数的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由，，可知，x为正，y为负，且x到原点的距离大于y到原点距离，
则x最大，-x最小，y和-y处于中间且y<-y，故-x故答案为：A.
【分析】根据已知判断出x，y的正负以及距离原点的远近，进而判断出大小关系.
7．（2018-2019学年数学北师大版七年级上册2.4《有理数的加法》同步练习）下面结论正确的有（ ）
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数．
②一个正数与一个负数相加得正数．
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和．
④两个正数相加，和为正数．
⑤两个负数相加，绝对值相减．
⑥正数加负数，其和一定等于0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解：∵①3+（﹣1）=2，和2不大于加数3，
∴①是错误的；
从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0，
∴②是错误的．
由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，
可以得到③、④都是正确的．
⑤两个负数相加取相同的符号，然后把绝对值相加，故错误．
⑥﹣1+2=1，故正数加负数，其和一定等于0错误．
正确的有2个，
故选C．
【分析】可用举特殊例子法解决本题．
可以举个例子．如①3+（﹣1）=2，得出①、②是错误的．
由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，可以③、④都是正确的．
8．（2024七上·瑞安期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵九宫格中数字总和为，
∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为，
∵，
∴阴影格子中最大数字可能是4，
故答案为：A．
【分析】先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解．
9．（2024七上·西湖期中）要使得算式的值最大，则“△”中填的运算符号是（ ）
A．+ B． C．× D．÷
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的大小比较-直接比较法；有理数的加法运算律
【解析】【解答】解：∵，，，，
，
∴“△”中填入的运算符号是×，
故答案为：C．
【分析】先根据有理数的加减乘除运算法则得到每一项的结果，然后将每一项的结果比较大小即可求解.
10．（2023七上·东安月考）今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】根据已有数据可得规律为：从6点30分进园人数为21人，然后每个30分钟进园人数分别为：22，23，24，25......，出园人数分别为：6点30分为0人，然后每个30分钟出园人数分别为：1，2，3，4......
∵11点30分-6点30分=5（小时）=10个30分钟，
∴上午时分公园内的人数是 ：2+22-1+23-2+24-3+25-4+26-5+27-6+28-7+29-8+210-9+211-10=(2+21+22+23+......+211)-(1+2+3+4+......+10)==212-57.
故答案为：B。
【分析】首先根据已有数据找出规律，每往后n个30分钟，进园人数分别为2n，出园人数分别为1，2，3.....n，由此得出上午时分公园内的人数是 ：(2+21+22+23+......+211)-(1+2+3+4+......+10)，然后简便计算得出结果为212-57.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．比-2大的负整数是 ；比-3.45 小的最大负整数是 .
【答案】-1；-4
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：画数轴如下：
比﹣2大的负整数是﹣1；比﹣3.45小的最大负整数是﹣4.
故答案为：﹣1；﹣4.
【分析】结合数轴判断答案即可.
12．（2024七上·江北开学考）六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛，其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人，乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 人．
【答案】5
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解析】解：根据已知条件可知：
∵ 参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人
∴ 至少一项比赛的总人数应该是24 + 27 = 51人 ，
∵ 六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛 ，
∴ 乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 ：51-46=5；
故答案为：
【分析】根据集合以及交集的定义，根据已知条件， 其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人 ，两数之和>实际参加的总人数，一定会有即参加 乒乓球和羽毛球比赛的人，即可计算出.
13．若两个负整数的乘积是4，则这两个负整数的和为 。
【答案】-5或-4
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵ 两个负整数的乘积是4，
∴ 这两个负整数为：-1、-4或者-2、-2，
∴-1+（-4）=-5，
-2+（-2）=-4，
故答案为：-5或-4.
【分析】根据有理数的乘法写出符合条件的两个负整数，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可.
14．（2024七上·新昌开学考）第六次人口普查中统计显示：诸暨市拥有汉族，蒙古族，……共计41个民族．总计人口为人，其中汉族人口为1133923人．把横线上的数改写成以“万”为单位的数是 ，把汉族人口数用“四舍五入”法省略万后面的尾数是 ．
【答案】116万；1130000
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：将1157938改写为以“万”为单位的数是116万；
将1133923用“四舍五入”法省略万后面的尾数是1130000．
故答案为：116万，1130000．
【分析】先数到万位的数字是5，再观察后面的数字，根据四舍五入解答即可；再看汉族人口数的万位的数字是3，下一位是3，根据四舍五入将后面的数字变为0解答即可．
15．康托尔集
1883年，康托尔构造的一个“分形”，称作康托尔集.从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间的三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间的三分之一而达到第二阶段.无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称作康托尔集.
如图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八阶段时，余下的所有线段的长度之和为 .
【答案】
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为，
…
以此类推，
第五阶段时，余下的线段的长度之和为，
当达到第n阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为，
把n=8代入中得
故答案为：.
【分析】在第一阶段拿走中间的三分之一，剩下的线段长度之和为2×，第二阶段对剩下的每个线段再拿走中间的三分之一，剩下的线段长度之和为，以此类推，可以推断出第n阶段时，剩下的线段长度之和为，这样可以计算出第八阶段时剩下的线段长度.
三、解答题：本大题共7小题，共50分
16．（2019七上·周口期中）计算.
（1） ；
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】有理数的乘法运算律；含括号的有理数混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用乘法分配律计算；（2）先算乘方，再将除法变乘法进行计算；（3）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算；（4）括号内的乘法可用乘法分配律.
17．（2024七上·绍兴开学考）已知下列各有理数：，，，．
（1）求出这些数的相反数；
（2）画出数轴，并在数轴上标出这些相反数表示的点；
（3）用“”号把这些相反数连接起来．
【答案】（1）解：的相反数是；的相反数是；，的相反数是，即的相反数是；的相反数是
（2）解：如图，
（3）解：
【知识点】有理数在数轴上的表示；求有理数的相反数的方法；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【分析】（1）根据相反数的概念，比如-2的相反数是2，，，，．可以写出；
（2）根据数轴的概念，根据（1）标出相反数的点；
（3）根据数的大小的比较，用<号标出数的大小.
18．（2025七上·宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） ， ．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
【分析】(1)根据钟表运算中的加减法，计算出结果；
(2)根据颖意，钟表运算中的相反数的概念，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的结果就是钟表上的时间；
(3)根据题意，钟表运算中的不等式的性质，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的纪果就是钟表上的时间.
19．（2024七上·福田期中）国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地．
为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人，
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
变化/万人
（1）国庆7天，________日的实际访问量最大；
（2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）；
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
差值/万人 ________ ________
（3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位）
（4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？
【答案】（1）3
（2）0，
（3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)．
（4）解：7天总差值为：（万人）∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．
∴总交换次数为：（万次）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）1号访问量人数为(万)，
2日访问人数为(万)，
3日访问人数为(万)，
4日访问人数为(万)，
5日访问人数为(万)，
6日访问人数为(万)，
7日访问人数为(万)．
∵，
∴3日访问人数最多，
故答案为∶3．
解：（2）2日的差值为：，7日的差值为：，
故答案为：0，
【分析】（1）根据表格中的数据， 分别求出每一天的访问人数，再结合有理数的比较大小，得出访问量最高的一天，即可得到答案．
（2）结合差值当日实际访问量—日标准访问量，计算出2日和7日的差值，即可求解．
（3）根据表格中的数据，将7日的总访问量相加然后乘以，即可得出答案．
（4）根据第二问，求得国庆七天的差值，再根据差值计算交换次数，即可得到答案．
（1）解：1号访问量人数为(万)，
2日访问人数为(万)，
3日访问人数为(万)，
4日访问人数为(万)，
5日访问人数为(万)，
6日访问人数为(万)，
7日访问人数为(万)．
∵，
∴3日访问人数最多，
故答案为∶3．
（2）解：2日的差值为：，7日的差值为：，
故答案为：0，
（3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)．
（4）解：7天总差值为：（万人）
∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．
∴总交换次数为：（万次）
20．（2024七上·东阳期末）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴(单位长度为1cm)上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
（3）实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，豆豆去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就109岁啦！”请问豆豆现在多少岁了 (画出数轴会更方便)
【答案】（1）8
（2）14；22
（3）解：当奶奶像妙妙这样大时，豆豆为岁，
∴ 奶奶与豆豆的年龄差为[109-(-35)]÷3=48（岁），
∴ 豆豆现在的年龄为109-48-48=13（岁）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：(1)由数轴可知三根木棒长为（cm），
∴ 这根木棒的长为（cm）；
故答案为：8．
(2)∵这根木棒的长为8cm，
，
．
∴ 图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．
故答案为：14；22．
【分析】(1)根据数轴可知3倍的长为（cm），即可求得AB.
（2）根据数轴可知6向右移动8为A，再向右移动8为B，直接计算即可.
（3）根据模型可以把奶奶与豆豆的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，先求出两人的年龄差．进而得到豆豆的年龄即可．
21．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记做2③，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记做(-3)④，一般地把n个a 相除记做，读做“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ； .
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢 方法如下：
除方→2④ =2÷2÷2÷2=2×→乘方的形式
仿照以上例子，把除方运算写乘方形式： （-3）⑤= ，= .
（3）算一算：
【答案】（1）；-2
（2）；
（3）解：
=1-3
=-2.
【知识点】有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：（1）；
；
故答案为：，-2；
（2）
；
；
故答案为：，.
【分析】（1）根据新定义的运算法则，展开，结合有理数的混合运法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则，展开，结合有理数的混合运算法则计算即可；
（3）结合（2）中的方法，代入化简，然后计算，即可求解.
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）
素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．
素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．
问题解决
分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为 ▲ ，单人单程乘坐需车费 ▲ 元．
任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．
确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
【答案】解：任务1：；.
任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：
从新桥站到三坪湿地站的里程为：，∴需要车费为：（元）；
∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费.
任务3：最远游玩站点是科技城．
理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，∴一家三口每人元，
∵起步价元可乘，∴元可乘，∴最远可行，
∵向桐岭方向里程为，
∴向瑶溪方向：，即最远游玩站点是科技城．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：任务1：由题意，从新桥站到桐岭站为：，
此时单人单程乘坐需车费：（元），故答案为：；；
【分析】（1）根据素材1可得：新桥到 桐岭站 为：，再根据 起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算） 可得单人单程为（元）.
（2）先计算出新桥站到三坪湿地站的里程为：，根据乘车规则可得单人单程需要车费为：4元，再乘以3即可.
（3）由于弟弟免费，三人往返需要车费30元，因此3人单程需要15元，即1人单程需要5元，去掉起步价2元，3元最远可行驶：3×4=12千米，即：一共可以行驶16千米，再根据素材一可以得到代科技城的距离为，因此可得最远游玩站点是科技城．
1 / 1第一章《有理数》提升卷—华东师大版（2024）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2025七上·金华月考）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七上·海珠期中）下列数字中有理数共有（ ）个
，，，，，，，（每两个1之间依次增加一个0）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023七上·中山期末）在数轴上，把表示的点沿着数轴移动7个单位长度得到的点所表示的数是（ ）
A．5 B． C． D．5或
4．（2023七上·平昌月考）下列各对数：“①与；②与；③与；④与”中，互为相反数的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．式子 的所有可能的值有（ ）.
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
6．（2024七上·临平期中）若，，，则x，y，，这四个数的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2018-2019学年数学北师大版七年级上册2.4《有理数的加法》同步练习）下面结论正确的有（ ）
①两个有理数相加，和一定大于每一个加数．
②一个正数与一个负数相加得正数．
③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和．
④两个正数相加，和为正数．
⑤两个负数相加，绝对值相减．
⑥正数加负数，其和一定等于0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2024七上·瑞安期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2024七上·西湖期中）要使得算式的值最大，则“△”中填的运算符号是（ ）
A．+ B． C．× D．÷
10．（2023七上·东安月考）今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．比-2大的负整数是 ；比-3.45 小的最大负整数是 .
12．（2024七上·江北开学考）六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛，其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人，乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 人．
13．若两个负整数的乘积是4，则这两个负整数的和为 。
14．（2024七上·新昌开学考）第六次人口普查中统计显示：诸暨市拥有汉族，蒙古族，……共计41个民族．总计人口为人，其中汉族人口为1133923人．把横线上的数改写成以“万”为单位的数是 ，把汉族人口数用“四舍五入”法省略万后面的尾数是 ．
15．康托尔集
1883年，康托尔构造的一个“分形”，称作康托尔集.从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间的三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间的三分之一而达到第二阶段.无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称作康托尔集.
如图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八阶段时，余下的所有线段的长度之和为 .
三、解答题：本大题共7小题，共50分
16．（2019七上·周口期中）计算.
（1） ；
（2）
（3）
（4）
17．（2024七上·绍兴开学考）已知下列各有理数：，，，．
（1）求出这些数的相反数；
（2）画出数轴，并在数轴上标出这些相反数表示的点；
（3）用“”号把这些相反数连接起来．
18．（2025七上·宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） ， ．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
19．（2024七上·福田期中）国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地．
为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人，
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
变化/万人
（1）国庆7天，________日的实际访问量最大；
（2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）；
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
差值/万人 ________ ________
（3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位）
（4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？
20．（2024七上·东阳期末）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴(单位长度为1cm)上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
（3）实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，豆豆去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就109岁啦！”请问豆豆现在多少岁了 (画出数轴会更方便)
21．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记做2③，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记做(-3)④，一般地把n个a 相除记做，读做“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ； .
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢 方法如下：
除方→2④ =2÷2÷2÷2=2×→乘方的形式
仿照以上例子，把除方运算写乘方形式： （-3）⑤= ，= .
（3）算一算：
22．根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）
素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．
素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．
问题解决
分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为 ▲ ，单人单程乘坐需车费 ▲ 元．
任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．
确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“”中，个位数上画上斜线表示负数，再由“个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横”可得所表示的数是，D正确.
故选：．
【分析】本题解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可.
2．【答案】C
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：有理数有：，，，，，，是有理数，共6个
故答案为：C．
【分析】
本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．有理数：整数和分数统称为有理数；根据题目中的数据可知：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；是负整数，属于有理数；3.14是小数，属于有理数；-0.0105是负数，属于有理数；π是无限不循环小数，不是有理数；-0.2是负数，属于有理数；0.1010010001……（每两个1之间依次增加一个0）是无限不循环小数，不是有理数，由此可判断出答案．
3．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：当沿数轴向左运动时，表示的数为：，
当沿数轴向右运动时，表示的数为：，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，再利用两点之间的距离求解即可。
4．【答案】B
【知识点】判断两个数互为相反数；化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：①与，∴-（-4）=+（+4），
∴此结论不合题意；
②与，互为相反数，
∴此结论符合题意，；
③=与，相等，
∴此结论不合题意；
④与，互为相反数，
∴此结论符合题意，
∴互为相反数的有②④，共2对
故答案为：B．
【分析】由题意，先将每一组数据简化符号，然后根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可判断求解．
5．【答案】A
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：当a>0，b>0时
原式=1+1+1=3
当a<0，b<0时
原式=-1-1+1=-1
当a>0，b<0时
原式=1-1-1=-1
当a<0，b>0时
原式=-1+1-1=-1
∴所有可能的值有2个
故答案为：A
【分析】分情况讨论，结合绝对值的性质化简即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由，，可知，x为正，y为负，且x到原点的距离大于y到原点距离，
则x最大，-x最小，y和-y处于中间且y<-y，故-x故答案为：A.
【分析】根据已知判断出x，y的正负以及距离原点的远近，进而判断出大小关系.
7．【答案】C
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解：∵①3+（﹣1）=2，和2不大于加数3，
∴①是错误的；
从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0，
∴②是错误的．
由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，
可以得到③、④都是正确的．
⑤两个负数相加取相同的符号，然后把绝对值相加，故错误．
⑥﹣1+2=1，故正数加负数，其和一定等于0错误．
正确的有2个，
故选C．
【分析】可用举特殊例子法解决本题．
可以举个例子．如①3+（﹣1）=2，得出①、②是错误的．
由加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加，可以③、④都是正确的．
8．【答案】A
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵九宫格中数字总和为，
∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为，
∵，
∴阴影格子中最大数字可能是4，
故答案为：A．
【分析】先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解．
9．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的大小比较-直接比较法；有理数的加法运算律
【解析】【解答】解：∵，，，，
，
∴“△”中填入的运算符号是×，
故答案为：C．
【分析】先根据有理数的加减乘除运算法则得到每一项的结果，然后将每一项的结果比较大小即可求解.
10．【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】根据已有数据可得规律为：从6点30分进园人数为21人，然后每个30分钟进园人数分别为：22，23，24，25......，出园人数分别为：6点30分为0人，然后每个30分钟出园人数分别为：1，2，3，4......
∵11点30分-6点30分=5（小时）=10个30分钟，
∴上午时分公园内的人数是 ：2+22-1+23-2+24-3+25-4+26-5+27-6+28-7+29-8+210-9+211-10=(2+21+22+23+......+211)-(1+2+3+4+......+10)==212-57.
故答案为：B。
【分析】首先根据已有数据找出规律，每往后n个30分钟，进园人数分别为2n，出园人数分别为1，2，3.....n，由此得出上午时分公园内的人数是 ：(2+21+22+23+......+211)-(1+2+3+4+......+10)，然后简便计算得出结果为212-57.
11．【答案】-1；-4
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：画数轴如下：
比﹣2大的负整数是﹣1；比﹣3.45小的最大负整数是﹣4.
故答案为：﹣1；﹣4.
【分析】结合数轴判断答案即可.
12．【答案】5
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解析】解：根据已知条件可知：
∵ 参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人
∴ 至少一项比赛的总人数应该是24 + 27 = 51人 ，
∵ 六年级有46人参加了学校的乒乓球比赛和羽毛球比赛 ，
∴ 乒乓球和羽毛球比赛都参加的有 ：51-46=5；
故答案为：
【分析】根据集合以及交集的定义，根据已知条件， 其中参加乒乓球比赛的有24人，参加羽毛球比赛的有27人 ，两数之和>实际参加的总人数，一定会有即参加 乒乓球和羽毛球比赛的人，即可计算出.
13．【答案】-5或-4
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵ 两个负整数的乘积是4，
∴ 这两个负整数为：-1、-4或者-2、-2，
∴-1+（-4）=-5，
-2+（-2）=-4，
故答案为：-5或-4.
【分析】根据有理数的乘法写出符合条件的两个负整数，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可.
14．【答案】116万；1130000
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：将1157938改写为以“万”为单位的数是116万；
将1133923用“四舍五入”法省略万后面的尾数是1130000．
故答案为：116万，1130000．
【分析】先数到万位的数字是5，再观察后面的数字，根据四舍五入解答即可；再看汉族人口数的万位的数字是3，下一位是3，根据四舍五入将后面的数字变为0解答即可．
15．【答案】
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为，
…
以此类推，
第五阶段时，余下的线段的长度之和为，
当达到第n阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为，
把n=8代入中得
故答案为：.
【分析】在第一阶段拿走中间的三分之一，剩下的线段长度之和为2×，第二阶段对剩下的每个线段再拿走中间的三分之一，剩下的线段长度之和为，以此类推，可以推断出第n阶段时，剩下的线段长度之和为，这样可以计算出第八阶段时剩下的线段长度.
16．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】有理数的乘法运算律；含括号的有理数混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用乘法分配律计算；（2）先算乘方，再将除法变乘法进行计算；（3）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算；（4）括号内的乘法可用乘法分配律.
17．【答案】（1）解：的相反数是；的相反数是；，的相反数是，即的相反数是；的相反数是
（2）解：如图，
（3）解：
【知识点】有理数在数轴上的表示；求有理数的相反数的方法；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【分析】（1）根据相反数的概念，比如-2的相反数是2，，，，．可以写出；
（2）根据数轴的概念，根据（1）标出相反数的点；
（3）根据数的大小的比较，用<号标出数的大小.
18．【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
【分析】(1)根据钟表运算中的加减法，计算出结果；
(2)根据颖意，钟表运算中的相反数的概念，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的结果就是钟表上的时间；
(3)根据题意，钟表运算中的不等式的性质，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的纪果就是钟表上的时间.
19．【答案】（1）3
（2）0，
（3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)．
（4）解：7天总差值为：（万人）∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．
∴总交换次数为：（万次）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）1号访问量人数为(万)，
2日访问人数为(万)，
3日访问人数为(万)，
4日访问人数为(万)，
5日访问人数为(万)，
6日访问人数为(万)，
7日访问人数为(万)．
∵，
∴3日访问人数最多，
故答案为∶3．
解：（2）2日的差值为：，7日的差值为：，
故答案为：0，
【分析】（1）根据表格中的数据， 分别求出每一天的访问人数，再结合有理数的比较大小，得出访问量最高的一天，即可得到答案．
（2）结合差值当日实际访问量—日标准访问量，计算出2日和7日的差值，即可求解．
（3）根据表格中的数据，将7日的总访问量相加然后乘以，即可得出答案．
（4）根据第二问，求得国庆七天的差值，再根据差值计算交换次数，即可得到答案．
（1）解：1号访问量人数为(万)，
2日访问人数为(万)，
3日访问人数为(万)，
4日访问人数为(万)，
5日访问人数为(万)，
6日访问人数为(万)，
7日访问人数为(万)．
∵，
∴3日访问人数最多，
故答案为∶3．
（2）解：2日的差值为：，7日的差值为：，
故答案为：0，
（3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)．
（4）解：7天总差值为：（万人）
∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．
∴总交换次数为：（万次）
20．【答案】（1）8
（2）14；22
（3）解：当奶奶像妙妙这样大时，豆豆为岁，
∴ 奶奶与豆豆的年龄差为[109-(-35)]÷3=48（岁），
∴ 豆豆现在的年龄为109-48-48=13（岁）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：(1)由数轴可知三根木棒长为（cm），
∴ 这根木棒的长为（cm）；
故答案为：8．
(2)∵这根木棒的长为8cm，
，
．
∴ 图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．
故答案为：14；22．
【分析】(1)根据数轴可知3倍的长为（cm），即可求得AB.
（2）根据数轴可知6向右移动8为A，再向右移动8为B，直接计算即可.
（3）根据模型可以把奶奶与豆豆的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，先求出两人的年龄差．进而得到豆豆的年龄即可．
21．【答案】（1）；-2
（2）；
（3）解：
=1-3
=-2.
【知识点】有理数的乘除混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：（1）；
；
故答案为：，-2；
（2）
；
；
故答案为：，.
【分析】（1）根据新定义的运算法则，展开，结合有理数的混合运法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则，展开，结合有理数的混合运算法则计算即可；
（3）结合（2）中的方法，代入化简，然后计算，即可求解.
22．【答案】解：任务1：；.
任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：
从新桥站到三坪湿地站的里程为：，∴需要车费为：（元）；
∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费.
任务3：最远游玩站点是科技城．
理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，∴一家三口每人元，
∵起步价元可乘，∴元可乘，∴最远可行，
∵向桐岭方向里程为，
∴向瑶溪方向：，即最远游玩站点是科技城．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：任务1：由题意，从新桥站到桐岭站为：，
此时单人单程乘坐需车费：（元），故答案为：；；
【分析】（1）根据素材1可得：新桥到 桐岭站 为：，再根据 起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算） 可得单人单程为（元）.
（2）先计算出新桥站到三坪湿地站的里程为：，根据乘车规则可得单人单程需要车费为：4元，再乘以3即可.
（3）由于弟弟免费，三人往返需要车费30元，因此3人单程需要15元，即1人单程需要5元，去掉起步价2元，3元最远可行驶：3×4=12千米，即：一共可以行驶16千米，再根据素材一可以得到代科技城的距离为，因此可得最远游玩站点是科技城．
1 / 1
