第十章《数的开方》提升卷—华东师大版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2023八上·临汾月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七上·镇海区期末）下列各数中： ，无理数的个数为（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
3．（2019七下·滨州期中）若 ， ，则 （ ）
A． 8 B．±8 C．±2 D．±8或±2
4．已知非零实数a，b满足 则a+b等于（ ）.
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（2025七下·中山月考）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（ ）
A． B． C． D．5
6．（2023七下·浏阳期末）一个正方体的体积扩大为原来的倍，则它的棱长为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
7．（2024七下·临高期中）当式子取最小值时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B 关于点A 的对称点为C，则点C 所表示的数是（ ）.
A． B． C． D．
9．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示：，那么代数式 可以化简为（ ）.
A．2c-a B．2a-2b C．-a D．a
10．（2025七下·陆川期中）如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．（2024八上·衡阳月考）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是 ．
12．（2025七下·雨花期末） 已知，，则 （保留两位小数）.
13．（2025七上·新昌期末）一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为 的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）．
14．（2025七下·梓潼期末）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b-a的平方根是 ．
15．（2024八上·双流月考）已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是．
三、解答题：本大题共7小题，共75分
16．（2023七下·江津期中）计算：
（1）；
（2）．
17．已知关于x，y的方程组 的解满足 求 mn的值.
18．（2024七上·长兴期中）已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题．
（1）请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________．
（2）计算的值．
（3）若x是c的算术平方根的小数部分，求的值．
19．（2025七下·浏阳期末）学方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答．
例如：求x2＝0.01．
分析：要求x，也就是找出一个数，使得它的平方等于0.01．
解答：因为（±0.1）2＝0.01，所以这个数是±0.1，即．
题目：求下列各式中x的值．
（1）；
（2）4x2＝9．
20．（2024七下·黔南期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小．
小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”）
小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”）
（1）将上述材料补充完成；
（2）请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小．
21．（2025七下·南宁月考）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
（1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______；
（2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中是整数，且，求的值．
22．（2024七下·新余期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： 故A错误；
故B错误；
故C错误；
故C正确.
故答案为：D
【分析】根据算数平方根的定义和立方根的定义即可求解.
2．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：|-3|=3，
无理数为 ，共2个，
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”解题即可.
3．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据绝对值和偶次幂的定义，可得出a、b可能的取值，得出结果即可。
4．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由原式，得：
∴2a-4≥0，
∴
∴
∴b=-2，a=3，
∴a+b=1.
故答案为：C。
【分析】首先根据绝对值、算术平方根的非负性，判断出2a - 4的取值范围，进而得出的表达式，再根据几个非负数的和为0，则这几个非负数分别为0，求出a、b的值，最后计算a + b的值。
5．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入，先取算术平方根，根据算术平方根定义，的算术平方根是 ，因为是有理数（有理数包括整数和分数，是整数 ），所以进入“取平方根”步骤：对取平方根是 ，由于是开不尽的方根，是无限不循环小数，属于无理数，按照程序，得到无理数就输出，所以输出的值是 .
故答案为：B.
【分析】本题需要依据算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，按照程序流程图的逻辑逐步计算，解题思路是：先对输入值取算术平方根，判断结果是否为无理数；若不是（是有理数），则对该结果取平方根，再判断，直到得到无理数输出.
6．【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：设正方体原来的棱长为a，体积扩大后的棱长为b，根据题意，得：
则b=2a
故答案为：A
【分析】本题考查立方根的应用。根据正方体的体积变化，可得棱长的数量关系。
7．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵表示x到的距离加上x到的距离，
∴当表示x的点在和之间的线段上时，取最小值
∴x的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】根据"的最小值"的意义是"x到的距离与到的距离之和最小"可知：x应在和之间的线段上即可求解．
8．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；轴对称的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解： 点C 所表示的数是 ：1-（）=2-.
故答案为：2-.
【分析】首先求出1和之间的距离为，然后再根据对称的性质，即可得出 点C 所表示的数是1-（）=2-.
9．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：
=-a+(a+b)+(c-a)-(b+c)
=-a+a+b+c-a-b-c
=-a.
故答案为：C.
【分析】根据数轴上a，b，c的位置，可得出a＜0，a+b＜0，c-a＞0，b+c＜0，即可进行化简，得出结论。
10．【答案】A
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵体积为的正方体的棱长为：，
体积为的正方体的棱长为：，
又∵，
∴棱长应变为原来的倍．
故答案为：A．
【分析】先利用正方体体积的计算方法和立方根的计算方法求出正方体的棱长，再求解即可.
11．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正实数的平方根是和，
∴，
∴，
∴，
∴这个数为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程，解方程求出a的值，即可求出这个正实数的平方根，根据如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即可求出这个正实数．
12．【答案】6.30
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解： 6.30.
故答案为：6.30.
【分析】本题考查了利用计算器求立方根，解题的关键是正确使用计算器计算立方根并按要求保留小数位数.
13．【答案】
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：设立方体的棱长为，
则，
∴，
∴，
∴立方体棱长为，
故答案为：．
【分析】设立方体的棱长为，则，利用开立方解题．
14．【答案】±1
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵a、b为两个连续的整数，且，
∴a=3，b=4，
∴b-a=4-3=1，
∵1的平方根为±1，
∴b-a的平方根是±1，
故答案为：±1．
【分析】根据估算的大小得出a=3，b=4，求出b-a=1，根据如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，即可求解，
15．【答案】解：∵，
∴，即，
∴，，
∵x的整数部分为a，y的小数部分为b，
∴，，
∴，
∴的平方根是，
故答案为：．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【分析】先估算出，再结合题意得出，，求出的值，再根据平方根的定义求解即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、立方根的性质及二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式的性质及立方根的性质化简，再计算即可。
17．【答案】解：∵ 足
∴
∴
解得，
∴mn=3.
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】首先根据非负数的性质得出继而得出方程组，解方程组即可得出，再求出mn的值即可。
18．【答案】（1），，5，0
（2）解：由（1）得：
（3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，，∴，
∴
【知识点】无理数的估值；相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身，
，，
，，且与乘积小于0，，
，，
故答案为：，，5，0；
【分析】（1）最大的负整数是-1，可得到a的值，相反数等于它本身的数是0，可得到d的值，再利用绝对值的性质及bc＜0，b+c＞0，可确定出b、c的值.
（2）将a、b、c、d的值代入代数式进行计算.
（3）根据x是c的算术平方根的小数部分，可求出x的值，然后将x的值代入代数式进行计算即可.
（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身，
，，
，，且与乘积小于0，，
，，
故答案为：，，5，0；
（2）解：由（1）得：
；
（3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，，
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：
x＝±
（2）解：4x2＝9，
x2＝，
x＝±．
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【分析】模仿示范，根据平方根的定义进行计算即可.
20．【答案】（1）
（2）解：选小明的方法：
∵，
∴，
∴，
选小英的方法：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）小明的方法：∵，
∴，
∴，
小英的方法：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据小明、小英的方法，分别填空；
（2）先估计出，再估计出-1，然后估计出．
21．【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出的整数部分和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出x、y的值，再将其代入计算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
22．【答案】解：（1），；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】（1）由图1知，小正方形的对角线长是，∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长为，进而可得出数轴上点A和点B表示的数，得到答案；
（2）根据长方形的面积得正方形的面积为5，进而得到正方形的边长，再画出图象，即可求解；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即为a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N，即可得到答案．
1 / 1第十章《数的开方》提升卷—华东师大版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2023八上·临汾月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： 故A错误；
故B错误；
故C错误；
故C正确.
故答案为：D
【分析】根据算数平方根的定义和立方根的定义即可求解.
2．（2025七上·镇海区期末）下列各数中： ，无理数的个数为（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：|-3|=3，
无理数为 ，共2个，
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数是无理数”解题即可.
3．（2019七下·滨州期中）若 ， ，则 （ ）
A． 8 B．±8 C．±2 D．±8或±2
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据绝对值和偶次幂的定义，可得出a、b可能的取值，得出结果即可。
4．已知非零实数a，b满足 则a+b等于（ ）.
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由原式，得：
∴2a-4≥0，
∴
∴
∴b=-2，a=3，
∴a+b=1.
故答案为：C。
【分析】首先根据绝对值、算术平方根的非负性，判断出2a - 4的取值范围，进而得出的表达式，再根据几个非负数的和为0，则这几个非负数分别为0，求出a、b的值，最后计算a + b的值。
5．（2025七下·中山月考）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入，先取算术平方根，根据算术平方根定义，的算术平方根是 ，因为是有理数（有理数包括整数和分数，是整数 ），所以进入“取平方根”步骤：对取平方根是 ，由于是开不尽的方根，是无限不循环小数，属于无理数，按照程序，得到无理数就输出，所以输出的值是 .
故答案为：B.
【分析】本题需要依据算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，按照程序流程图的逻辑逐步计算，解题思路是：先对输入值取算术平方根，判断结果是否为无理数；若不是（是有理数），则对该结果取平方根，再判断，直到得到无理数输出.
6．（2023七下·浏阳期末）一个正方体的体积扩大为原来的倍，则它的棱长为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：设正方体原来的棱长为a，体积扩大后的棱长为b，根据题意，得：
则b=2a
故答案为：A
【分析】本题考查立方根的应用。根据正方体的体积变化，可得棱长的数量关系。
7．（2024七下·临高期中）当式子取最小值时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵表示x到的距离加上x到的距离，
∴当表示x的点在和之间的线段上时，取最小值
∴x的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】根据"的最小值"的意义是"x到的距离与到的距离之和最小"可知：x应在和之间的线段上即可求解．
8．如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B 关于点A 的对称点为C，则点C 所表示的数是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；轴对称的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解： 点C 所表示的数是 ：1-（）=2-.
故答案为：2-.
【分析】首先求出1和之间的距离为，然后再根据对称的性质，即可得出 点C 所表示的数是1-（）=2-.
9．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示：，那么代数式 可以化简为（ ）.
A．2c-a B．2a-2b C．-a D．a
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：
=-a+(a+b)+(c-a)-(b+c)
=-a+a+b+c-a-b-c
=-a.
故答案为：C.
【分析】根据数轴上a，b，c的位置，可得出a＜0，a+b＜0，c-a＞0，b+c＜0，即可进行化简，得出结论。
10．（2025七下·陆川期中）如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C． D．
【答案】A
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵体积为的正方体的棱长为：，
体积为的正方体的棱长为：，
又∵，
∴棱长应变为原来的倍．
故答案为：A．
【分析】先利用正方体体积的计算方法和立方根的计算方法求出正方体的棱长，再求解即可.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．（2024八上·衡阳月考）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是 ．
【答案】
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正实数的平方根是和，
∴，
∴，
∴，
∴这个数为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程，解方程求出a的值，即可求出这个正实数的平方根，根据如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即可求出这个正实数．
12．（2025七下·雨花期末） 已知，，则 （保留两位小数）.
【答案】6.30
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解： 6.30.
故答案为：6.30.
【分析】本题考查了利用计算器求立方根，解题的关键是正确使用计算器计算立方根并按要求保留小数位数.
13．（2025七上·新昌期末）一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为 的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）．
【答案】
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：设立方体的棱长为，
则，
∴，
∴，
∴立方体棱长为，
故答案为：．
【分析】设立方体的棱长为，则，利用开立方解题．
14．（2025七下·梓潼期末）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b-a的平方根是 ．
【答案】±1
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵a、b为两个连续的整数，且，
∴a=3，b=4，
∴b-a=4-3=1，
∵1的平方根为±1，
∴b-a的平方根是±1，
故答案为：±1．
【分析】根据估算的大小得出a=3，b=4，求出b-a=1，根据如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，即可求解，
15．（2024八上·双流月考）已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是．
【答案】解：∵，
∴，即，
∴，，
∵x的整数部分为a，y的小数部分为b，
∴，，
∴，
∴的平方根是，
故答案为：．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【分析】先估算出，再结合题意得出，，求出的值，再根据平方根的定义求解即可求出答案.
三、解答题：本大题共7小题，共75分
16．（2023七下·江津期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、立方根的性质及二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式的性质及立方根的性质化简，再计算即可。
17．已知关于x，y的方程组 的解满足 求 mn的值.
【答案】解：∵ 足
∴
∴
解得，
∴mn=3.
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】首先根据非负数的性质得出继而得出方程组，解方程组即可得出，再求出mn的值即可。
18．（2024七上·长兴期中）已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题．
（1）请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________．
（2）计算的值．
（3）若x是c的算术平方根的小数部分，求的值．
【答案】（1），，5，0
（2）解：由（1）得：
（3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，，∴，
∴
【知识点】无理数的估值；相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身，
，，
，，且与乘积小于0，，
，，
故答案为：，，5，0；
【分析】（1）最大的负整数是-1，可得到a的值，相反数等于它本身的数是0，可得到d的值，再利用绝对值的性质及bc＜0，b+c＞0，可确定出b、c的值.
（2）将a、b、c、d的值代入代数式进行计算.
（3）根据x是c的算术平方根的小数部分，可求出x的值，然后将x的值代入代数式进行计算即可.
（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身，
，，
，，且与乘积小于0，，
，，
故答案为：，，5，0；
（2）解：由（1）得：
；
（3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，，
∴，
∴．
19．（2025七下·浏阳期末）学方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答．
例如：求x2＝0.01．
分析：要求x，也就是找出一个数，使得它的平方等于0.01．
解答：因为（±0.1）2＝0.01，所以这个数是±0.1，即．
题目：求下列各式中x的值．
（1）；
（2）4x2＝9．
【答案】（1）解：
x＝±
（2）解：4x2＝9，
x2＝，
x＝±．
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【分析】模仿示范，根据平方根的定义进行计算即可.
20．（2024七下·黔南期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小．
小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”）
小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”）
（1）将上述材料补充完成；
（2）请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小．
【答案】（1）
（2）解：选小明的方法：
∵，
∴，
∴，
选小英的方法：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）小明的方法：∵，
∴，
∴，
小英的方法：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据小明、小英的方法，分别填空；
（2）先估计出，再估计出-1，然后估计出．
21．（2025七下·南宁月考）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
（1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______；
（2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出的整数部分和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出x、y的值，再将其代入计算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
22．（2024七下·新余期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
【答案】解：（1），；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，
如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】（1）由图1知，小正方形的对角线长是，∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案是：，；
【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长为，进而可得出数轴上点A和点B表示的数，得到答案；
（2）根据长方形的面积得正方形的面积为5，进而得到正方形的边长，再画出图象，即可求解；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即为a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N，即可得到答案．
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