第十一章《整式的乘除》提升卷—华东师大版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2025七上·金华月考）的计算结果是（ ）
A． B．5 C． D．
2．有( )个整数n(不必是正的)可以使得 的值是一个整数.
A．3 B．4 C．6 D．8 E．9
3．（2023七下·蜀山期中）已知，若，均为整数，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·裕华期中）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A．， B．，7 C．2， D．2，7
5．（2025七下·钱塘期末） “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·偃师期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（ ）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
8．（2025七下·蒲江月考）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七下·上城期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（ ）
A．121 B．210 C．335 D．505
10．（2025七下·浙江月考）已知矩形的长为，宽为．若是有理数，且该矩形的周长与面积的数值是相等的整数，则满足条件的矩形个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．（2025七下·杭州期末） 因式分解：
12．（2025七下·金华期末） 已知代数式 中含 项的系数为 3，则 n 的值为 .
13．（2024七下·凤城期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
14．（2025七下·德清期末） 若满足，则 ．
15．（2025七下·莲都期末） 规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ．
三、解答题：本大题共7小题，共75分
16．（2024七下·慈利期中）计算：
（1）
（2）．
17．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
18．（2025七下·光明期末）数学课上，王老师请了小深和小圳上讲台做题，以下是他们的解答过程：
（小深）计算：[（x+y2-（x-y）2] ÷2xy 解：原式=[（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）]÷2xy... ① =（x2+2xy+y2-x2+2xy-y2）÷2xy……② =4xy+2xy……③ =2 （小圳）先化简，再求值： x（x+2y）-（x+1）2+2x，其中x=，y=-2025. 解：原式=x2+2xy-x2+2x+1+2x... ① ＝2xy+1……② .......
（1）解答过程里，小深第②步的解法依据是____（填选项）·
A．等式的基本性质 B．乘法交换律
C．去括号法则 D．合并同类项
（2）小圳从第 ▲ 步开始出现错误；请你写出这道题正确且完整的解答过程.
19．（2025七下·奉化期末）
（1）基础体验：若实数满足，求的值．
（2）进阶实践：若实数满足，求的值．
对于（2），甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出x的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难．乙同学：本题中的x与隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第（1）题的形式求解．请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第（2）小题．
20．（2025七下·滨江期末） 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
（1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
（2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
21．（2025七下·成都期末） 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
22．（2025七下·深圳期末）【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．
（1）【类比探究】
利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为 （请填序号）．
①②
③④
（2）【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
①已知，则 ▲ ；
②若，求的值；
（3）【拓展应用】
如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边的正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=
，D正确
故答案为：D.
【分析】逆用幂的乘法法则，将分为，再利用积的乘方计算即可．考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
2．【答案】E
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：当n≥0时， 是整数，则n=0，1，2，3；
当n<0时， 是整数，则n=-1，-2，-3，-4，-5.
因此n共有9个取值.
故答案为：E .
【分析】要确定使的值为整数的整数n的个数，需分n≥0和n<0两种情况讨论，通过对表达式进行变形，根据整数的性质来确定n的取值。
3．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
得a+b=c，ab=-8，
a，b均为整数，
a和b是-8的因数，
则a的值可以是-1，-2，-4，1，2，4，8，
而对应b的值是8，4，2，-8，-4，-2，-1，
则c=a+b=-1+8=7
或-2+4=2
或-4+2=-2
或1+（-8）=-7
所以，c的值可以是，不可能是4
故答案是A
【分析】本题考查多项式相乘法则：多项式乘以多项式，先用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加。用公式表示：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。根据每一项对应相等，得到c和a、b的数量关系即可。
4．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
【分析】观察多项式的乘法得出规律“两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项”，然后解答即可．
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（a+b）2-（a-b）2=4ab表示边长为（a+b）的大正方形与边长为（a-b）的小正方形的面积差，等于4个长宽分别为a、b的长方形的面积和．
选项A：根据面积关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，不符合题意，故A错误；
选项B：根据面积关系可得，，不符合题意，故B错误；
选项C：根据面积关系可得，，即，不符合题意，故C错误；
选项D：大正方形边长（a+b）、小正方形边长（a-b），根据面积关系可得，，符合题意，故D正确.
故选：D．
【分析】通过图形的面积计算，利用面积相等，帮助理解代数关系．熟练掌握完全平方公式，运用数形结合思想是解题的关键.
6．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意，可得图象面积为，
因为长方形的长为，
所以宽为：=.
故选：C
【分析】本题主要考查了长方形的面积公式，以及整式除法法则，根据题意，先求得长方形的面积，集合长方形的面积除以长，结合整式的运算法则，准确计算，即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
故①正确。
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。
故答案为：C .
【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。
8．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用一个因式等于积除以另一个因式，列式计算，可求出结果.
9．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：原式，
∴为三个连续的正整数的积，
∴可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，
∴是一个偶数．而且是3的倍数，
选项只有B，符合条件，
又∵，
故选：B．
【分析】
代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积，则其中必有一个数能被3整除，即必然能被3整除．
10．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
即：
即：
当时，；则，满足条件；
当时，；则，满足条件；
当时，；则，满足条件；
故答案为：A.
【分析】先对等式移项，再利用添项法等式左边分解因式得，此时再求满足条件的二元一次方程的特殊解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解
∴
故答案为：.
【分析】将多项式因式分解时，先观察各项是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再观察剩余部分是否满足乘法公式。
12．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
由化简后的代数式可得，含项的系数为3n-6
由已知条件可得， 含 项的系数为 3，因此3n-6=3，解得n=3
故答案为：3.
【分析】由多项式与多项式相乘的法则，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，可以求得 的结果，将结果进行化简便能得到含 项的系数，从而可以求得n的值。
13．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意可得，所捂多项式=
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则直接进行计算即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设
故答案为：
【分析】设 ，则 然后利用完全平方公式进行计算，即可解答.
15．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
16．【答案】（1）解：
=
（2）解：
=
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据整式运算的顺序，先乘方，再乘除，最后加减运算可得结果；
(2)根据多项式乘多项式的规则去括号，再全并同类项即可得结果.
17．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
（3）解：原式
.
（4）解：原式
.
（5）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）先提取公因式-1，然后利用完全平方公式计算即可；
（3）直接利用完全平方公式计算即可；
（4）先提取公因式，然后利用完全平方公式计算即可；
（5）将原式变形为，然后利用完全平方公式计算即可.
18．【答案】（1）C
（2）解：①；原式=x2+2xy-(x2+2x+1)+2x
=x2+2xy-x2-2x-1+2x··
=2xy-1
当，时
原式=.
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据去括号法则即可求出答案.
（2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式化简，再合并同类项，再将x，y值代入即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
（2）解：设，则
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式可得，代入求得代数式的值.
(2)设，则，利用完全平方公式求得的值，进而求得代数式的值.
20．【答案】（1）解：
=x(3x-y)(3x+y)，
当x=10， y=10时，
3x-y=3×10-10=20，
3x+y=3×10+10=40，
这个个六位数密码是102040.（答案不唯一）
（2）解：能，理由为：
因为x = 25， 这个六位数密码为242527，
24=25-1，
所以其中一个因式是(x-1)，
27=25+2，
所以另外一个因式是(x+2)，
所以
-2x，
所以p=1， q=-2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)先提取公因式x，然后利用平方差公式将式子进行因式分解，将x=10，y=10代入求出三个因式的值，表示出密码即可；
(2)当x = 25时， 六位数密码为242527， 即另外两个因式的结果分别是24、27，所以另外两个因式表示为x﹣1、x+2， 所以这个因式表示为x(x﹣1)(x+2)， 据此求出p、q.
21．【答案】（1）解： = .
（2）解：设，则AC=OA+OB=a+b=17(米)，
∵
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
∴S△AOD=，
S△BOC=，
S△AOB=，
S△COD=，
∵ 种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，
∴S△AOD+S△BOC=( 平方米 )
∴，
∴种茄子和黄瓜区域的面积和：S△AOB+S△COD=
=ab
=
=
=60（平方米）.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用 计算即可；
(2)先用a，b表示出 种豇豆和辣椒区域的面积和 、 种茄子和黄瓜区域的面积和 ；再利用计算即可.
22．【答案】（1）②
（2）解：①；
②设，，则，，
；
（3）解：（3）设长为长为y，
两正方形的面积和为50，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）S阴影=（a-b)2=a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+2b2-b2=a2-2ab+b2.
故答案为：②；
（2）由（1）知：（a-b)2=a2-2ab+b2，
∴-2ab=（a-b)2-(a2+b2)=32-5=4，
∴ab=-2；
故答案为：-2；
【分析】（1）用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即可得出公式；
（2）①运用（1）的结论。进行适当的变形，即可得出ab的值；②设，，首先可求得a-b=6，相当于已知a-b=6，ab=7，求a2+b2的值，仍然是利用（1）的结论，进行适当变形，即可得出a2+b2的值，即为的值；
（3）设长为长为y，题中已知条件：两正方形的面积和为50，相当于，，相当于x-y=6， 求图中阴影部分面积． 相当于求的值，所以可以转化为利用公式，进行适当变形，即可求出未知量。
1 / 1第十一章《整式的乘除》提升卷—华东师大版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2025七上·金华月考）的计算结果是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=
，D正确
故答案为：D.
【分析】逆用幂的乘法法则，将分为，再利用积的乘方计算即可．考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
2．有( )个整数n(不必是正的)可以使得 的值是一个整数.
A．3 B．4 C．6 D．8 E．9
【答案】E
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：当n≥0时， 是整数，则n=0，1，2，3；
当n<0时， 是整数，则n=-1，-2，-3，-4，-5.
因此n共有9个取值.
故答案为：E .
【分析】要确定使的值为整数的整数n的个数，需分n≥0和n<0两种情况讨论，通过对表达式进行变形，根据整数的性质来确定n的取值。
3．（2023七下·蜀山期中）已知，若，均为整数，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
得a+b=c，ab=-8，
a，b均为整数，
a和b是-8的因数，
则a的值可以是-1，-2，-4，1，2，4，8，
而对应b的值是8，4，2，-8，-4，-2，-1，
则c=a+b=-1+8=7
或-2+4=2
或-4+2=-2
或1+（-8）=-7
所以，c的值可以是，不可能是4
故答案是A
【分析】本题考查多项式相乘法则：多项式乘以多项式，先用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加。用公式表示：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。根据每一项对应相等，得到c和a、b的数量关系即可。
4．（2024七下·裕华期中）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A．， B．，7 C．2， D．2，7
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
【分析】观察多项式的乘法得出规律“两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项”，然后解答即可．
5．（2025七下·钱塘期末） “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（a+b）2-（a-b）2=4ab表示边长为（a+b）的大正方形与边长为（a-b）的小正方形的面积差，等于4个长宽分别为a、b的长方形的面积和．
选项A：根据面积关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，不符合题意，故A错误；
选项B：根据面积关系可得，，不符合题意，故B错误；
选项C：根据面积关系可得，，即，不符合题意，故C错误；
选项D：大正方形边长（a+b）、小正方形边长（a-b），根据面积关系可得，，符合题意，故D正确.
故选：D．
【分析】通过图形的面积计算，利用面积相等，帮助理解代数关系．熟练掌握完全平方公式，运用数形结合思想是解题的关键.
6．（2024八上·偃师期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意，可得图象面积为，
因为长方形的长为，
所以宽为：=.
故选：C
【分析】本题主要考查了长方形的面积公式，以及整式除法法则，根据题意，先求得长方形的面积，集合长方形的面积除以长，结合整式的运算法则，准确计算，即可得到答案.
7．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（ ）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
故①正确。
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。
故答案为：C .
【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。
8．（2025七下·蒲江月考）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用一个因式等于积除以另一个因式，列式计算，可求出结果.
9．（2025七下·上城期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（ ）
A．121 B．210 C．335 D．505
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：原式，
∴为三个连续的正整数的积，
∴可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数，
∴是一个偶数．而且是3的倍数，
选项只有B，符合条件，
又∵，
故选：B．
【分析】
代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积，则其中必有一个数能被3整除，即必然能被3整除．
10．（2025七下·浙江月考）已知矩形的长为，宽为．若是有理数，且该矩形的周长与面积的数值是相等的整数，则满足条件的矩形个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
即：
即：
当时，；则，满足条件；
当时，；则，满足条件；
当时，；则，满足条件；
故答案为：A.
【分析】先对等式移项，再利用添项法等式左边分解因式得，此时再求满足条件的二元一次方程的特殊解即可.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．（2025七下·杭州期末） 因式分解：
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解
∴
故答案为：.
【分析】将多项式因式分解时，先观察各项是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再观察剩余部分是否满足乘法公式。
12．（2025七下·金华期末） 已知代数式 中含 项的系数为 3，则 n 的值为 .
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
由化简后的代数式可得，含项的系数为3n-6
由已知条件可得， 含 项的系数为 3，因此3n-6=3，解得n=3
故答案为：3.
【分析】由多项式与多项式相乘的法则，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，可以求得 的结果，将结果进行化简便能得到含 项的系数，从而可以求得n的值。
13．（2024七下·凤城期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意可得，所捂多项式=
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则直接进行计算即可得出答案．
14．（2025七下·德清期末） 若满足，则 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设
故答案为：
【分析】设 ，则 然后利用完全平方公式进行计算，即可解答.
15．（2025七下·莲都期末） 规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是 ．
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
三、解答题：本大题共7小题，共75分
16．（2024七下·慈利期中）计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
=
（2）解：
=
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据整式运算的顺序，先乘方，再乘除，最后加减运算可得结果；
(2)根据多项式乘多项式的规则去括号，再全并同类项即可得结果.
17．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
（3）解：原式
.
（4）解：原式
.
（5）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）先提取公因式-1，然后利用完全平方公式计算即可；
（3）直接利用完全平方公式计算即可；
（4）先提取公因式，然后利用完全平方公式计算即可；
（5）将原式变形为，然后利用完全平方公式计算即可.
18．（2025七下·光明期末）数学课上，王老师请了小深和小圳上讲台做题，以下是他们的解答过程：
（小深）计算：[（x+y2-（x-y）2] ÷2xy 解：原式=[（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）]÷2xy... ① =（x2+2xy+y2-x2+2xy-y2）÷2xy……② =4xy+2xy……③ =2 （小圳）先化简，再求值： x（x+2y）-（x+1）2+2x，其中x=，y=-2025. 解：原式=x2+2xy-x2+2x+1+2x... ① ＝2xy+1……② .......
（1）解答过程里，小深第②步的解法依据是____（填选项）·
A．等式的基本性质 B．乘法交换律
C．去括号法则 D．合并同类项
（2）小圳从第 ▲ 步开始出现错误；请你写出这道题正确且完整的解答过程.
【答案】（1）C
（2）解：①；原式=x2+2xy-(x2+2x+1)+2x
=x2+2xy-x2-2x-1+2x··
=2xy-1
当，时
原式=.
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；去括号法则及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据去括号法则即可求出答案.
（2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式化简，再合并同类项，再将x，y值代入即可求出答案.
19．（2025七下·奉化期末）
（1）基础体验：若实数满足，求的值．
（2）进阶实践：若实数满足，求的值．
对于（2），甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出x的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难．乙同学：本题中的x与隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第（1）题的形式求解．请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第（2）小题．
【答案】（1）解：
（2）解：设，则
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式可得，代入求得代数式的值.
(2)设，则，利用完全平方公式求得的值，进而求得代数式的值.
20．（2025七下·滨江期末） 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
（1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
（2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：
=x(3x-y)(3x+y)，
当x=10， y=10时，
3x-y=3×10-10=20，
3x+y=3×10+10=40，
这个个六位数密码是102040.（答案不唯一）
（2）解：能，理由为：
因为x = 25， 这个六位数密码为242527，
24=25-1，
所以其中一个因式是(x-1)，
27=25+2，
所以另外一个因式是(x+2)，
所以
-2x，
所以p=1， q=-2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)先提取公因式x，然后利用平方差公式将式子进行因式分解，将x=10，y=10代入求出三个因式的值，表示出密码即可；
(2)当x = 25时， 六位数密码为242527， 即另外两个因式的结果分别是24、27，所以另外两个因式表示为x﹣1、x+2， 所以这个因式表示为x(x﹣1)(x+2)， 据此求出p、q.
21．（2025七下·成都期末） 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
【答案】（1）解： = .
（2）解：设，则AC=OA+OB=a+b=17(米)，
∵
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
∴S△AOD=，
S△BOC=，
S△AOB=，
S△COD=，
∵ 种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，
∴S△AOD+S△BOC=( 平方米 )
∴，
∴种茄子和黄瓜区域的面积和：S△AOB+S△COD=
=ab
=
=
=60（平方米）.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用 计算即可；
(2)先用a，b表示出 种豇豆和辣椒区域的面积和 、 种茄子和黄瓜区域的面积和 ；再利用计算即可.
22．（2025七下·深圳期末）【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．
（1）【类比探究】
利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为 （请填序号）．
①②
③④
（2）【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
①已知，则 ▲ ；
②若，求的值；
（3）【拓展应用】
如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边的正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）②
（2）解：①；
②设，，则，，
；
（3）解：（3）设长为长为y，
两正方形的面积和为50，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）S阴影=（a-b)2=a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+2b2-b2=a2-2ab+b2.
故答案为：②；
（2）由（1）知：（a-b)2=a2-2ab+b2，
∴-2ab=（a-b)2-(a2+b2)=32-5=4，
∴ab=-2；
故答案为：-2；
【分析】（1）用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即可得出公式；
（2）①运用（1）的结论。进行适当的变形，即可得出ab的值；②设，，首先可求得a-b=6，相当于已知a-b=6，ab=7，求a2+b2的值，仍然是利用（1）的结论，进行适当变形，即可得出a2+b2的值，即为的值；
（3）设长为长为y，题中已知条件：两正方形的面积和为50，相当于，，相当于x-y=6， 求图中阴影部分面积． 相当于求的值，所以可以转化为利用公式，进行适当变形，即可求出未知量。
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