第十二章《全等三角形》提升卷—华东师大版（2024）数学八（上）单元分层测

第十二章《全等三角形》提升卷—华东师大版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2025七下·深圳期末）如图，，，，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠C＝∠E，BC＝DE，∠B＝∠D，
故B，C，D一定成立，不符合题意，
当∠E＝∠EAC时，AF＝EF，
∴A不一定成立．
故答案为：A
【分析】先根据题意进行角的运算得到∠BAC＝∠DAE，进而根据三角形全等的判定与性质（SAS）证明△ABC≌△ADE（SAS）得到∠C＝∠E，BC＝DE，∠B＝∠D，从而对比选项即可求解。
2．（2020八上·平江期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A． 外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项不符合题意；
B． 等边三角形有3条对称轴，故B选项不符合题意；
C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项符合题意；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判定即可。
3．（2023八上·宣化期中） 下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．直角三角形的两锐角互余 D．全等三角形的三组对应边相等
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A：若，则的逆命题是：若，则，则，是真命题，不符合题意；
B：若，则的逆命题是：若，则，是假命题，符合题意；
C：直角三角形的两锐角互余的逆命题是：有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；
D：全等三角形的三组对应边相等逆命题是：三组对应边相等的两个三角形是全等三角形，是真命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先分别写出每一个命题的逆命题，再进行逐一判断真假即可.
4．（2025七下·揭西期末） 如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　　）
A．AC＝DB B．AB＝DC
C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、补充AC=DB，在△ABC和△DCB中，
SSA不能判定△ABC≌△DCB，故该选项错误；
B、补充AB=DC，在△ABC和△DCB中，
可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故该选项正确；
C、补充∠A=∠D，在△ABC和△DCB中，
可根据AAS判定△ABC ≌ △DCB，故该选项正确；
D、补充∠ABD=∠DCA，在△ABC和△DCB中，
可根据ASA判定△ABC ≌ △DCB，故该选项正确.
故选项为：A
【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC共边，对选项根据三角形全等的判定逐一分析即可。
5．（2025七下·福田期末） 图是一段双向等宽道路，点A，B是马路两边正对面的两个公交站牌，点E是隔离带EF中的一个花坛，.小田所在点C，学校门口D和花坛E在同一条直线上.小田测量出点A，C之间的距离是18m，就可知道学校门口D与公交站牌B之间的距离为18m.此方案的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．SSA D．SAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由，可得，，又（双向等宽道路，、 正对面 ），所以，故，依据是.
故答案为： .
【分析】根据平行线性质得角相等，结合双向等宽道路隐含，用判定三角形全等，进而由全等性质得线段相等.
6．（2025七下·榕城期末）油纸伞是汉族古老的传统用品之一.图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图.已知 那么△AED ≌△AFD 的依据是(　　)
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴AE=AF，
在 △AED 和△AFD中：∵AE=AF，ED=FD，AD=AD，
∴ △AED ≌△AFD （SSS）。
故答案为：A。
【分析】首先根据等式的性质，得出AE=AF，然后根据SSS即可得出 △AED ≌△AFD ，即可得出答案。
7．（2024八上·船营月考）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
8．（2024八上·衡山期末）在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起李老师将三角板绕点顺时针旋转保持，延长线段，与线段的延长线交于点如图所示，随着的增大，的值（　　）
A．一直变小 B．保持不变
C．先变小，后变大 D．一直变大
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质
【解析】【解答】在CF上截取FG=FE，连接AG，AF，如图所示：
根据题意可得：∠ABF=∠ADF=90°，AB=AD，DE=BC，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），
∴BF=DF，
∴CF-EF=BC+BF-EF=BC+DE+EF-EF=BC+DE=2BC，
∴CF-EF的值保持不变，
故答案为：B.
【分析】在CF上截取FG=FE，连接AG，AF，先利用“HL”证出Rt△ABF≌Rt△ADF可得BF=DF，再利用线段的和差及等量代换可得CF-EF=2BC，从而可得CF-EF的值保持不变.
9．（2025八上·余姚期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，整理得，．
故选：B．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，进而得到，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
10．（2025八上·台州期末）如图，是等边三角形，，与的角平分线交于点，过点作，交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OBC=∠OBD=∠OCB=∠OCE=30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵∠DOB=∠OBC=30°，
∴∠DBO=∠DOB=30°，
∴BD=OD，
同法可证EO=EC，
∴DE=AD=2BD，
∴3DB=1，
∴，
故选：B
【分析】证明△ADE是等边三角形，DE=2BD，推出AD=2BD，再根据AB=BC=1可得结论.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．（2023八上·亳州月考）把命题“全等三角形的对应高线相等”改写成“如果……，那么……．的形式：　 　．
【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：把命题“全等三角形对应边上的高相等”改写成“如果……，那……的形式为是如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高相等．
【分析】确定命题的条件和结论，在条件的前面加上“如果”，在结论前面加上“那么”即可．
12．（2020七下·温州月考）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　。
【答案】180°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：对图中的点进行标注，如图所示，设正方形网格的单位长度为1.
∵ 如图是一个3×3的正方形网格
∴
∵正方形网格的单位长度为1
∴BC=AE=1，AB=ED=MN=3，BF=AN=2
∵BC=AE=1，，AB=ED
∴ABC≌DEA（SAS）
∴
∵在AED中，
∴
∴
同理可得：
∴∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
故答案为：180°.
【分析】根据全等三角形的判定可以得到ABC≌DEA，从而得知，结合直角三角形的性质得到，继而得到了，同理可以得到，即可以求出∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
13．（2023八上·丰城开学考）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝　 　°．
【答案】47
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△ABC和△ADE中，，
∴（SSS），
∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，
∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，
∵，
∴，
∴．
故答案为：47．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，先由“边边边”，证得，得到∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，求出∠3＝∠1＋∠2，结合，即可求解.
14．（2025·雨花期末）已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则此三角形的周长为　 　．
【答案】10或11
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由已知可得：
3-a≥0 且 2a-6≥0，
∴a=3.
∴b=4.
当此三角形的腰为a，底是b时，周长=3+3+4=10.
当此三角形的腰是b，底是a时，周长=4+4+3=11.
∴此三角形的周长为10或11.
故答案为：10或11.
【分析】先由已知求出a、b的值。再分别讨论：a为该等腰三角形的腰，b为底时该三角形的周长和b为该等腰三角形的腰，a为底时该三角形的周长。即可得出结果.
15．（2024八上·巴楚期中）如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O点作于H点，如图，
平分，
，
∵点E为射线上一动点，
∴的最小值为的长，
即的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】过O点作于H点，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得的最小值为3．
三、解答题：本大题共8小题，共70分
16．（2025八上·西湖期末）在和中，，点D，点E分别在边，上，与交于点F．有以下四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并说明理由．
【答案】解：选一个条件③AD=AE(答案不唯一)，
理由如下：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】若选一个条件①∠BDC=∠CEB，可用角角边可判断两个三角形全等；
若选一个条件②BE=CD，不能判断两个三角形全等；
若选一个条件③AD=AE，可用边角边可判断两个三角形全等；
若选一个条件④∠B=∠C，可用角边角可判断两个三角形全等.
17．（2023八上·庄浪期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）
【答案】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点 ，则P点为所求 ．
【知识点】线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．故如图，作的角平分线，再连接，作的垂直平分线，两线的交点即为发射塔P应建的位置．
18．（2023八上·汉川月考）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求DG的长度．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
∵
∴
∴
在与中，，
∴≌，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴在中，，
∵
∴DG=2
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AC=BC=AB，∠A=∠BCE=60°，同时可证得AD=CE，利用SAS可证得≌，然后利用全等三角形的性质可证得结论
（2）利用由（1）可求出∠DGF、∠EGC的度数，即可求出∠FDG的度数，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出GD的长
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵
∴
∴
在与中，，
∴≌，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴在中，，
∵，
∴．
19．（2019八上·临海期中）如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°.
又∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC，∠EDC＋∠DEC＝∠ACB，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠EDC＋∠DEC.
∵DE＝DA，∴∠DAC＝∠DEC，
∴∠BAD＝∠EDC.
（2）解：按题意画图如图所示．
猜想：DM＝AM.
理由如下：∵点M、E关于直线BC对称，
∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM.
又由(1)知∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD.
∵∠ADC＝∠BAD＋∠B，即∠ADM＋∠MDC＝∠BAD＋∠B，
∴∠ADM＝∠B＝60°.
又∵DA＝DE＝DM，
∴△ADM是等边三角形，
∴DM＝AM.
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的角，相等的边，再等量代换即可得证；（2）根据题意画出图形，根据轴对称的性质，得∠MDC＝∠EDC，DE＝DM，然后根据（1）的结论和等边三角形的性质证明即可.
20．（2024八上·新会月考）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E.
（1）求证： ；
（2） 若 ， 求 的长.
【答案】（1）证明：(1)连接BP、CP
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴DP=EP，
在RtABP和Rt△CEP中，
∵BP=CP，DP=EP，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL)，
∴BD=CE；
（2）解：(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=AP，DP=EP，
在Rt△ADP≌Rt△AEP（HL)，
∴AD=AE，
∴AB=6cm，AC=10cm，
∴6 +AD=10-AE.
即6+AD =10-AD，解得AD =2cm.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线的性质，可得BP=CP，根据角平分线的性质可得DP=EP，然后根据HL即可判定Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得出BD=CE；
（2）首先根据HL可判定Rt△ADP≌Rt△AEP，得出AD=AE，再根据（1）的结论，BD=CE，可得出等式：6 +AD=10-AE.即：
6 +AD=10-AD，解得AD的长即可。
21．（2023八上·桐乡市月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
【答案】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；
任务二：，
，
，
；
应用：如图，延长、交于点，
∵CE⊥BD交BD延长线于点E，
，
平分，
，
在和中，
，
，
∴EF=CE，
∵CE=6，
，
，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠BEC，∠CAF=∠BAD=90°，
∵∠ABD=180°-∠BAC-∠ADB，∠ACF=180°-∠BEC-∠CDE，∠ADB=∠CDE，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理“ASA”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等、全等三角形的性质进行求解即可；
任务二：根据角平分线、垂直的定义，易证，得，，从而得，进而有，最后求出；
应用：延长、交于点，根据垂直、角平分线的定义，易证，得，从而得，接下来求出∠BAC=∠BEC，∠CAF=∠BAD=90°，根据三角形内角和定理、对顶角相等，得∠ABD=∠ACF，从而推出，进而得BD=CF=12.
22．（2024八上·南宁开学考）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E． 求证：PD＝PE． 分析： 图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE．
（1）【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明PD＝PE的过程．
（2）【类比探究】
如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；
（3）如图③，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为 　 　．
【答案】（1）证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°，
∵ OC是∠AOB的平分线
∴∠EOP=∠DOP，
∵OP=OP
∴△PEO≌△PDO（AAS），
∴PE=PD；
（2）证明：过点P分别作PE⊥OB，PF⊥OA，
∵ OC是∠AOB的平分线， PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PE=PF，
∵∠PMO+∠PME=180°，∠PMO+∠PNO=180°，
∴∠PME=∠PNO
∴△PME≌△PNF（AAS）
∴PM=PN.
（3）18
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC，连接AO，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO=DO，OF=DO，
∴EO=OF=DO=3，
∵△ABC的周长为12，
∴△ABC的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△ACO的面积=AB·OE+CB·OD+AC·OF，
=（AB+BC+AC）×DO=×12×3=18，
故答案为：18.
【分析】（1）根据AAS证明△PEO≌△PDO，可得PE=PD；
（2）过点P分别作PE⊥OB，PF⊥OA，证明△PME≌△PNF（AAS），可得PM=PN.
（3）过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC，连接AO，由角平分线的性质可得EO=OF=DO=3，根据△ABC的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△ACO的面积=AB·OE+CB·OD+AC·OF，
=（AB+BC+AC）×DO，据此计算即可.
23．（2024八上·百色期末） 【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点.则　 　（填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分.
【答案】（1）=
（2）解：猜想.
证明如下：
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（3）解：过点作于，于，则，
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分.
【知识点】角的大小比较；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
故答案为：＝.
【分析】（1）利用角的运算方法及等量代换可得∠BAD＝∠CAE；
（2）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）过点作于，于，先利用”SAS“证出，可得，再利用”AAS“证出，可得，最后结合，，即可证出平分.
1 / 1第十二章《全等三角形》提升卷—华东师大版（2024）数学八（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2025七下·深圳期末）如图，，，，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020八上·平江期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
3．（2023八上·宣化期中） 下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．直角三角形的两锐角互余 D．全等三角形的三组对应边相等
4．（2025七下·揭西期末） 如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　　）
A．AC＝DB B．AB＝DC
C．∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA
5．（2025七下·福田期末） 图是一段双向等宽道路，点A，B是马路两边正对面的两个公交站牌，点E是隔离带EF中的一个花坛，.小田所在点C，学校门口D和花坛E在同一条直线上.小田测量出点A，C之间的距离是18m，就可知道学校门口D与公交站牌B之间的距离为18m.此方案的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．SSA D．SAS
6．（2025七下·榕城期末）油纸伞是汉族古老的传统用品之一.图1是一把油纸伞实物图，图2 为其伞骨示意图.已知 那么△AED ≌△AFD 的依据是(　　)
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
7．（2024八上·船营月考）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．（2024八上·衡山期末）在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起李老师将三角板绕点顺时针旋转保持，延长线段，与线段的延长线交于点如图所示，随着的增大，的值（　　）
A．一直变小 B．保持不变
C．先变小，后变大 D．一直变大
9．（2025八上·余姚期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八上·台州期末）如图，是等边三角形，，与的角平分线交于点，过点作，交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．（2023八上·亳州月考）把命题“全等三角形的对应高线相等”改写成“如果……，那么……．的形式：　 　．
12．（2020七下·温州月考）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　。
13．（2023八上·丰城开学考）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝　 　°．
14．（2025·雨花期末）已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则此三角形的周长为　 　．
15．（2024八上·巴楚期中）如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为　 　．
三、解答题：本大题共8小题，共70分
16．（2025八上·西湖期末）在和中，，点D，点E分别在边，上，与交于点F．有以下四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并说明理由．
17．（2023八上·庄浪期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）
18．（2023八上·汉川月考）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求DG的长度．
19．（2019八上·临海期中）如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
20．（2024八上·新会月考）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E.
（1）求证： ；
（2） 若 ， 求 的长.
21．（2023八上·桐乡市月考）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
22．（2024八上·南宁开学考）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E． 求证：PD＝PE． 分析： 图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE．
（1）【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明PD＝PE的过程．
（2）【类比探究】
如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；
（3）如图③，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为 　 　．
23．（2024八上·百色期末） 【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
（1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点.则　 　（填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠C＝∠E，BC＝DE，∠B＝∠D，
故B，C，D一定成立，不符合题意，
当∠E＝∠EAC时，AF＝EF，
∴A不一定成立．
故答案为：A
【分析】先根据题意进行角的运算得到∠BAC＝∠DAE，进而根据三角形全等的判定与性质（SAS）证明△ABC≌△ADE（SAS）得到∠C＝∠E，BC＝DE，∠B＝∠D，从而对比选项即可求解。
2．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A． 外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项不符合题意；
B． 等边三角形有3条对称轴，故B选项不符合题意；
C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项符合题意；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据假命题的定义逐项判定即可。
3．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A：若，则的逆命题是：若，则，则，是真命题，不符合题意；
B：若，则的逆命题是：若，则，是假命题，符合题意；
C：直角三角形的两锐角互余的逆命题是：有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；
D：全等三角形的三组对应边相等逆命题是：三组对应边相等的两个三角形是全等三角形，是真命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先分别写出每一个命题的逆命题，再进行逐一判断真假即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、补充AC=DB，在△ABC和△DCB中，
SSA不能判定△ABC≌△DCB，故该选项错误；
B、补充AB=DC，在△ABC和△DCB中，
可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故该选项正确；
C、补充∠A=∠D，在△ABC和△DCB中，
可根据AAS判定△ABC ≌ △DCB，故该选项正确；
D、补充∠ABD=∠DCA，在△ABC和△DCB中，
可根据ASA判定△ABC ≌ △DCB，故该选项正确.
故选项为：A
【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC共边，对选项根据三角形全等的判定逐一分析即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由，可得，，又（双向等宽道路，、 正对面 ），所以，故，依据是.
故答案为： .
【分析】根据平行线性质得角相等，结合双向等宽道路隐含，用判定三角形全等，进而由全等性质得线段相等.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴AE=AF，
在 △AED 和△AFD中：∵AE=AF，ED=FD，AD=AD，
∴ △AED ≌△AFD （SSS）。
故答案为：A。
【分析】首先根据等式的性质，得出AE=AF，然后根据SSS即可得出 △AED ≌△AFD ，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据题意，得，
在和中，
，
∴，
∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等，
故答案为：A.
【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”.
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；旋转的性质
【解析】【解答】在CF上截取FG=FE，连接AG，AF，如图所示：
根据题意可得：∠ABF=∠ADF=90°，AB=AD，DE=BC，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），
∴BF=DF，
∴CF-EF=BC+BF-EF=BC+DE+EF-EF=BC+DE=2BC，
∴CF-EF的值保持不变，
故答案为：B.
【分析】在CF上截取FG=FE，连接AG，AF，先利用“HL”证出Rt△ABF≌Rt△ADF可得BF=DF，再利用线段的和差及等量代换可得CF-EF=2BC，从而可得CF-EF的值保持不变.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，整理得，．
故选：B．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，进而得到，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠OBC=∠OBD=∠OCB=∠OCE=30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵∠DOB=∠OBC=30°，
∴∠DBO=∠DOB=30°，
∴BD=OD，
同法可证EO=EC，
∴DE=AD=2BD，
∴3DB=1，
∴，
故选：B
【分析】证明△ADE是等边三角形，DE=2BD，推出AD=2BD，再根据AB=BC=1可得结论.
11．【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：把命题“全等三角形对应边上的高相等”改写成“如果……，那……的形式为是如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高相等．
【分析】确定命题的条件和结论，在条件的前面加上“如果”，在结论前面加上“那么”即可．
12．【答案】180°
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：对图中的点进行标注，如图所示，设正方形网格的单位长度为1.
∵ 如图是一个3×3的正方形网格
∴
∵正方形网格的单位长度为1
∴BC=AE=1，AB=ED=MN=3，BF=AN=2
∵BC=AE=1，，AB=ED
∴ABC≌DEA（SAS）
∴
∵在AED中，
∴
∴
同理可得：
∴∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
故答案为：180°.
【分析】根据全等三角形的判定可以得到ABC≌DEA，从而得知，结合直角三角形的性质得到，继而得到了，同理可以得到，即可以求出∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
13．【答案】47
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△ABC和△ADE中，，
∴（SSS），
∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，
∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2，
∵，
∴，
∴．
故答案为：47．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，先由“边边边”，证得，得到∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，求出∠3＝∠1＋∠2，结合，即可求解.
14．【答案】10或11
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由已知可得：
3-a≥0 且 2a-6≥0，
∴a=3.
∴b=4.
当此三角形的腰为a，底是b时，周长=3+3+4=10.
当此三角形的腰是b，底是a时，周长=4+4+3=11.
∴此三角形的周长为10或11.
故答案为：10或11.
【分析】先由已知求出a、b的值。再分别讨论：a为该等腰三角形的腰，b为底时该三角形的周长和b为该等腰三角形的腰，a为底时该三角形的周长。即可得出结果.
15．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O点作于H点，如图，
平分，
，
∵点E为射线上一动点，
∴的最小值为的长，
即的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】过O点作于H点，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得的最小值为3．
16．【答案】解：选一个条件③AD=AE(答案不唯一)，
理由如下：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】若选一个条件①∠BDC=∠CEB，可用角角边可判断两个三角形全等；
若选一个条件②BE=CD，不能判断两个三角形全等；
若选一个条件③AD=AE，可用边角边可判断两个三角形全等；
若选一个条件④∠B=∠C，可用角边角可判断两个三角形全等.
17．【答案】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点 ，则P点为所求 ．
【知识点】线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．故如图，作的角平分线，再连接，作的垂直平分线，两线的交点即为发射塔P应建的位置．
18．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，
∵
∴
∴
在与中，，
∴≌，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴在中，，
∵
∴DG=2
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AC=BC=AB，∠A=∠BCE=60°，同时可证得AD=CE，利用SAS可证得≌，然后利用全等三角形的性质可证得结论
（2）利用由（1）可求出∠DGF、∠EGC的度数，即可求出∠FDG的度数，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出GD的长
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵
∴
∴
在与中，，
∴≌，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，
∴在中，，
∵，
∴．
19．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°.
又∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC，∠EDC＋∠DEC＝∠ACB，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠EDC＋∠DEC.
∵DE＝DA，∴∠DAC＝∠DEC，
∴∠BAD＝∠EDC.
（2）解：按题意画图如图所示．
猜想：DM＝AM.
理由如下：∵点M、E关于直线BC对称，
∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM.
又由(1)知∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD.
∵∠ADC＝∠BAD＋∠B，即∠ADM＋∠MDC＝∠BAD＋∠B，
∴∠ADM＝∠B＝60°.
又∵DA＝DE＝DM，
∴△ADM是等边三角形，
∴DM＝AM.
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的角，相等的边，再等量代换即可得证；（2）根据题意画出图形，根据轴对称的性质，得∠MDC＝∠EDC，DE＝DM，然后根据（1）的结论和等边三角形的性质证明即可.
20．【答案】（1）证明：(1)连接BP、CP
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴DP=EP，
在RtABP和Rt△CEP中，
∵BP=CP，DP=EP，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL)，
∴BD=CE；
（2）解：(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=AP，DP=EP，
在Rt△ADP≌Rt△AEP（HL)，
∴AD=AE，
∴AB=6cm，AC=10cm，
∴6 +AD=10-AE.
即6+AD =10-AD，解得AD =2cm.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线的性质，可得BP=CP，根据角平分线的性质可得DP=EP，然后根据HL即可判定Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得出BD=CE；
（2）首先根据HL可判定Rt△ADP≌Rt△AEP，得出AD=AE，再根据（1）的结论，BD=CE，可得出等式：6 +AD=10-AE.即：
6 +AD=10-AD，解得AD的长即可。
21．【答案】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；
任务二：，
，
，
；
应用：如图，延长、交于点，
∵CE⊥BD交BD延长线于点E，
，
平分，
，
在和中，
，
，
∴EF=CE，
∵CE=6，
，
，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠BEC，∠CAF=∠BAD=90°，
∵∠ABD=180°-∠BAC-∠ADB，∠ACF=180°-∠BEC-∠CDE，∠ADB=∠CDE，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理“ASA”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等、全等三角形的性质进行求解即可；
任务二：根据角平分线、垂直的定义，易证，得，，从而得，进而有，最后求出；
应用：延长、交于点，根据垂直、角平分线的定义，易证，得，从而得，接下来求出∠BAC=∠BEC，∠CAF=∠BAD=90°，根据三角形内角和定理、对顶角相等，得∠ABD=∠ACF，从而推出，进而得BD=CF=12.
22．【答案】（1）证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°，
∵ OC是∠AOB的平分线
∴∠EOP=∠DOP，
∵OP=OP
∴△PEO≌△PDO（AAS），
∴PE=PD；
（2）证明：过点P分别作PE⊥OB，PF⊥OA，
∵ OC是∠AOB的平分线， PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PE=PF，
∵∠PMO+∠PME=180°，∠PMO+∠PNO=180°，
∴∠PME=∠PNO
∴△PME≌△PNF（AAS）
∴PM=PN.
（3）18
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC，连接AO，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO=DO，OF=DO，
∴EO=OF=DO=3，
∵△ABC的周长为12，
∴△ABC的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△ACO的面积=AB·OE+CB·OD+AC·OF，
=（AB+BC+AC）×DO=×12×3=18，
故答案为：18.
【分析】（1）根据AAS证明△PEO≌△PDO，可得PE=PD；
（2）过点P分别作PE⊥OB，PF⊥OA，证明△PME≌△PNF（AAS），可得PM=PN.
（3）过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC，连接AO，由角平分线的性质可得EO=OF=DO=3，根据△ABC的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△ACO的面积=AB·OE+CB·OD+AC·OF，
=（AB+BC+AC）×DO，据此计算即可.
23．【答案】（1）=
（2）解：猜想.
证明如下：
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（3）解：过点作于，于，则，
∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分.
【知识点】角的大小比较；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
故答案为：＝.
【分析】（1）利用角的运算方法及等量代换可得∠BAD＝∠CAE；
（2）先利用角的运算求出，再利用”SAS“证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）过点作于，于，先利用”SAS“证出，可得，再利用”AAS“证出，可得，最后结合，，即可证出平分.
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