专题限时集训(三) 力与曲线运动
1．(2024·1月九省联考安徽卷)某同学在水平匀速直线行驶的实验车上，利用实验装置竖直向上提起小球，从某时刻开始计时，坐在实验车上的人观测小球运动的情况，作出速度的平方(v2)与提起高度(y)的关系图像如图所示。则地面上静止的观察者看到小球的运动轨迹可能是( )
A B C D
2．(2024·1月九省联考吉林、黑龙江卷)某“失重”餐厅的传菜装置如图所示，运送菜品的小车沿等螺距轨道向下匀速率运动，该轨道各处弯曲程度相同，在此过程中，小车( )
A．机械能保持不变 B．动量保持不变
C．处于失重状态 D．所受合力不为0
3．如图所示，一细木棍斜靠在地面与竖直墙壁之间，木棍与水平面之间的夹角为45°，A、B为木棍的两个端点，A点到地面的距离为1 m。重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计。现一跳蚤从竖直墙上距地面0.55 m的C点以水平速度v0跳出，要到达细木棍上，v0最小为( )
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
4．(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是( )
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
5．(2024·江西卷)“嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道，后续经调整环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的是( )
A．＝＝ B．＝＝
C．＝＝ D．＝＝
6．如图所示为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴一重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是( )
A．气嘴灯做圆周运动时，重物受到重力、弹簧弹力和向心力
B．气嘴灯运动至最高点时处于超重状态
C．以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时LED灯越容易发光
D．以相同转速匀速行驶时，若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光
7．(多选)如图所示，MN为半径为R、固定于竖直平面内的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m的小钢珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到OP上距O点2R的Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，则该次发射( )
A．小钢珠在M点时，弹簧处于原长状态
B．小钢珠经过N点时的速度大小为
C．小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为2mg
D．小钢珠落到Q点时的速度方向与OP间的夹角为45°
8．(2024·安徽滁州模拟)自由式滑雪大跳台比赛中某段过程简化为如图可视为质点的小球的运动，小球从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以速度v0飞出，已知v0＝20 m/s，且与斜面的夹角为θ＝60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小球从O点运动到A点所用的时间t；
(2)小球离斜面最远的距离L；
(3)O、C两点间距离x。
9．(多选)(2024·广东卷)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( )
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
10．(2024·河北石家庄二中实验学校9月学情调研)雪上项目室内训练基地利用工作起来似巨型“陀螺”的圆盘滑雪机模拟一些特定的训练环境和场景，其转速和倾角根据需要可调节。一运动员的某次训练过程简化为如图所示模型：圆盘滑雪机绕垂直于盘面的固定光滑转轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离为10 m处的运动员(保持图中滑行姿势，可看成质点)与圆盘始终保持相对静止，运动员质量为60 kg，与盘面间的动摩擦因数为 0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为15°，g取10 m/s2，已知sin 15°≈0.260，cos 15°≈0.966。则下列说法正确的是( )
A．运动员随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到两个力的作用
B．ω的最大值约为0.47 rad/s
C．ω取不同数值时，运动员在最高点受到的摩擦力一定随ω的增大而增大
D．运动员由最低点运动到最高点的过程中摩擦力对其所做的功约为3 870 J
11．(多选)(2024·河南省部分重点高中高三4月大联考)如图所示，足够长光滑细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上质量为m的小球相连，细杆与竖直方向夹角为30°。弹簧原长为L，劲度系数为k。已知弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A．当小球保持静止时，小球到O点的距离为L＋
B．当小球相对细杆静止，弹簧拉伸量为L时，杆对小球的弹力大小可能为2mg－kL
C．当小球相对细杆静止，杆对小球弹力为0时，转轴的角速度为
D．转轴转速自0开始缓慢增加的过程中，细杆对小球的弹力一直增大
12．一“永动机”玩具的模型如图所示，abcd是一组光滑细金属双轨，轨道间距为l＝0.8 cm，bc段水平。按下一个隐蔽开关后，把质量m＝3.6 g的钢球从软木盘中心洞口O处无初速度释放，钢球便沿轨道运动至d点并斜向上飞出，速度与水平方向成53°夹角，之后恰好落到洞口O点附近的G点，接着在洞口附近来回运动一段时间后，再次从洞口无初速落下，此后不断重复以上过程。不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8。
(1)已知钢球直径d＝1 cm，求钢球在bc段上滚动时，每条轨道对钢球的支持力F的大小；
(2)若将钢球视作质点，Gd处在同一高度，水平距离s＝60 cm，求钢球从d点飞出后能上升的最大高度h；
(3)要使钢球能“永动”，求小球每运动一圈，玩具中隐蔽的加速装置需对小球做的功W。
13．如图甲所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m＝0.1 kg的小物块，它与水平台阶间的动摩擦因数μ＝0.5，且与台阶边缘O点的距离s＝4 m。在台阶右侧固定了一个以坐标原点O为圆心的圆弧形挡板，现用F＝1 N的水平恒力拉动小物块，作用一段距离后撤去拉力，小物块最终从O点水平抛出并击中挡板。(g取10 m/s2)
(1)若小物块恰能击中挡板的上边缘P点，P点的坐标为(1.6 m，0.8 m)，求其离开O点时的速度大小及刚击中P点时速度的大小和方向；
(2)为使小物块能击中挡板，求拉力F作用距离的范围；
(3)撤掉圆弧形挡板，在xOy坐标系中有挡板，其形状满足y＝6－x2，如图乙所示。改变拉力F的作用距离，求小物块击中挡板时动能的最小值(取＝2.45)。
7/7专题限时集训(三)
1．C [由速度与位移关系公式＝2ay结合题图可知，开始时小球在竖直方向上做匀速运动，之后做匀加速直线运动，加速度竖直向上。结合小球在水平方向一直做匀速直线运动可知，地面上静止的观察者看到的运动轨迹是先做匀速直线运动，后做类斜抛运动。故选C。]
2．D [小车沿等螺距轨道向下匀速率运动，速度大小不变，动能不变，小车高度减小，即重力势能减小，可知，小车的机械能减小，故A错误；小车做螺旋运动，速度大小不变，方向改变，根据动量表达式p＝mv可知，小车的动量大小不变，动量的方向发生变化，即动量发生了变化，故B错误；由于小车沿等螺距轨道向下做匀速率运动，沿轨道方向的速度大小不变，即小车沿轨道方向的合力为0，即沿轨道方向的加速度为0，又由于该轨道各处弯曲程度相同，则轨道对小车的指向轨道轴心的作用力提供圆周运动的向心力，该作用力方向沿水平方向，可知小车的加速度方向沿水平方向，小车不存在竖直方向的加速度，即小车既不处于超重状态，也不处于失重状态，故C错误；根据上述分析可知，小车沿轨道方向的合力为0，轨道对小车的指向轨道轴心的作用力提供圆周运动的向心力，即小车的合力不为零，合力方向总指向轨道轴心，故D正确。故选D。]
3．C [跳蚤做平抛运动，若要想以最小水平速度跳到木棍上，则落到木棍上时应恰好满足速度方向与水平方向成45°角，即木棍恰好与跳蚤运动轨迹相切，如图所示。
设下降高度为h，则h＝gt2
竖直方向速度vy＝gt＝v0
由几何关系可得x＝h＋(1－0.55) m
由水平方向的运动规律可得x＝v0t
解得v0＝3 m/s，故选C。]
4．BD [地球上的第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知＝m，结合mg＝得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地， R月＝R地，可知返回舱相对月球的速度小于地球上的第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，在近地(月)轨道上有＝mR, 又GM＝gR2，得T＝，可得＝＝，可知选项C错误，D正确。]
5．A [由＝m＝mr，得v＝，T＝，又Ek＝mv2，所以＝＝，故A正确。]
6．D [根据题意可知，气嘴灯做圆周运动时，重物受重力和弹簧弹力，其合力提供向心力，故A错误；气嘴灯运动至最高点时，合力指向圆心，具有向下的加速度，处于失重状态，故B错误；在最低点时，由牛顿第二定律有F－mg＝mω2r，解得F＝mg＋mω2r，以相同转速匀速行驶时，重物质量越小，在最低点时，弹簧的形变量越小，弹簧弹力越小，M和N越不易接触，导致LED灯越不容易发光，故C错误；在最高点时，由牛顿第二定律有F＋mg＝mω2r，解得F＝mω2r－mg，以相同转速匀速行驶时，在最高点时弹簧的弹力小于最低点时弹簧的弹力，若LED灯转到最高点时能发光，则在最低点时也一定能发光，故D正确。]
7．ABD [小钢珠从M点离开弹簧枪，说明小钢珠在M点时，弹簧处于原长状态，A正确；小钢珠离开N点后做平抛运动，水平位移2R＝vNt，竖直方向R＝gt2，解得vN＝，故B正确；小钢珠到达N点时，由牛顿第二定律可得F＋mg＝，解得F＝mg，方向竖直向下，由牛顿第三定律可知，小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为mg，故C错误；小钢珠落到Q点时的竖直方向的速度为vy＝gt＝g＝＝vN，则速度与水平方向夹角满足tan θ＝＝1，则小钢珠落到Q点时的速度方向与OP间的夹角为45°，故D正确。]
8．解析：(1)小球做斜上抛运动，如图所示，垂直斜面方向分解速度和加速度，v1＝v0sin θ，a1＝g cos α，到垂直斜面方向最高点的时间t＝，得t＝2 s。
(2)垂直斜面方向有L＝，代入数据得
L＝10 m。
(3)由垂直斜面方向运动的对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等。平行斜面方向xOB＝v2·2t＋a2(2t)2，其中v2＝v0cos θ，a2＝g sin α
小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则x＝xOB，代入数据解得x＝40 m。
答案：(1)2 s (2)10 m (3)40 m
9．AC [在星球表面，根据G＝mg可得g＝，又行星的质量和半径分别为地球的和，地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2，可得该行星表面的重力加速度大小g′＝4 m/s2，故A正确；在星球表面上空，根据万有引力提供向心力有G＝m， 可得星球的第一宇宙速度v＝，行星的质量和半径分别为地球的和，可得该行星的第一宇宙速度v行＝v地，地球的第一宇宙速度为 7.9 km/s，所以该行星的第一宇宙速度v行＝×7.9 km/s，故B错误；“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分析，可知探测器与保护背罩之间的作用力F＝mg′＝4 000 N，“背罩分离”后，背罩所受的合力大小为 4 000 N, 对背罩，根据牛顿第二定律得F＝m′a，解得a＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P＝mg′v＝1 000×4×60 W＝240 kW，故D错误。故选AC。]
10．B [当运动员随圆盘在倾斜面内做匀速圆周运动，在圆盘最高点时，受到重力和支持力的作用，还可能受摩擦力，故A错误；在圆盘最下方，根据μmg cos 15°－mg sin 15°＝，解得ωmax≈0.47 rad/s，故B正确；ω取不同数值时，运动员在最高点受到的摩擦力可能大小相等，方向相反，故C错误；运动员由最低点运动到最高点的过程中，速度大小不变，动能不变，设Wf、WG分别为摩擦力做功和重力做功的大小，根据动能定理得Wf＝WG＝mg·2r sin 15°≈3 120 J，故D错误。]
11．BC [当小球静止时，弹簧弹力等于小球重力沿杆方向的分力，则有kx＝mg cos 30°，解得x＝，小球到O点的距离d1＝L＋x＝L＋，A错误；弹簧拉伸量为L时，竖直方向上小球合力为零，若小球所受细杆的支持力垂直细杆斜向上，则有kL cos 30°＋N sin 30°＝mg，解得N＝2mg－kL，若小球所受细杆的支持力垂直细杆斜向下，则有kL cos 30°＝mg＋N sin 30°，解得N＝kL－2mg，B正确；设转轴的角速度为ω时，小球对杆的作用力为零，设此时弹簧形变量为x′，则有 kx′cos 30°＝mg，kx′sin 30°＝mω2(L＋x′)sin 30°，解得ω＝，C正确；初始时细杆对小球有作用力，C选项状态下细杆对小球无作用力，所以细杆对小球作用力不会一直增大，D错误。故选BC。]
12．解析：(1)对钢球受力分析如图所示，钢球在bc段上滚动时，支持力与竖直方向夹角θ满足
sin θ＝＝
竖直方向根据受力平衡可得2F cos θ＝mg
联立解得F＝0.03 N。
(2)Gd间的运动可以视为两段平抛运动，利用平抛知识可知，水平方向有
＝vxt
竖直方向有vy＝gt
d点速度与水平方向夹角满足tan 53°＝
又h＝gt2
联立解得t＝0.2 s，h＝0.2 m。
(3)d点抛出时的竖直分速度为vy＝gt＝2 m/s
d点速度为vd＝＝2.5 m/s
每次补偿的能量为W＝Ekd＝＝1.125×10-2 J。
答案：(1)0.03 N (2)0.2 m (3)1.125×10-2 J
13．解析：(1)小物块从O到P做平抛运动，有xP＝v0t，yP＝gt2，vy＝gt，v2＝
代入数据解得v0＝4 m/s，v＝4 m/s
因为刚击中P点时水平速度与竖直速度大小相等，则速度方向与水平方向夹角为θ＝45°斜向右下。
(2)为了击中挡板，小物块必须能运动到O点，则有Fx1－μmgs＝ΔEk＝0，解得x1＝2 m
为了击中挡板，小物块不能飞出挡板，由(1)项可知，小物块的平抛初速度不能超过4 m/s
则有Fx2－μmgs＝，解得x2＝2.8 m
故拉力F作用距离的范围为2 m(3)设小物块击中挡板的任意点坐标为(x，y)，则有x＝v0t′，y＝gt′2
由动能定理得mgy＝，
又有y＝6－x2，联立可得Ek＝y＋(J)
由数学知识可知，当y＝时，动能最小，即y＝m，Ekmin＝2.2 J。
答案：(1)4 m/s 4 m/s，方向与水平方向夹角为45°斜向右下 (2)2 m4/5
