第一章《三角形》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测

第一章《三角形》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2025七下·深圳期末） 如图，是一个缺角的残片，量得，，则此三角形残缺的部分为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·深圳期中）如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA=14m，PB=10m，那么AB间的距离不可能是（　　）
A．4m B．15m C．20m D．22m
3．（2025七下·深圳期中）如图，已知的面积为1，分别延长BC至点，使，延长CA至点，使至点，使，依次连接DE，EF，FD则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2025八上·鄞州期末）如图，点 在 上， ，若 ，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2020八上·台州月考）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（　　）
A．2 B．2或 C． 或 D．2或 或
6．（2025七下·杭州期末） 如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·朝阳期中）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·榕城期末）数学来源于生活，又服务于生活.以下四幅图中用数学原理解释不正确的是(　　)
A．图(1)两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线
B．图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图(3)体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
D．图(4)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS
9．（2025七下·南山期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB： ③连接DC，测量DC的长度即可。 方案2 ①如图2，选定点O： ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA： ③连接EF，测量EF的长度即可。
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（　　）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
10．（2020八上·碾子山期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，　∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（　　）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.
11．（2025七下·盐田期末）下图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“　 　”的性质。
12．如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=15cm，BC=9cm，则AB的长为　 　cm.
13．（2025七下·深圳期中）如图，．给出下列条件：①；②，③，④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有　 　（填符号）
14．（2024八上·孟村期中）如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则　 　．
15．（2024八上·拱墅期中）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，，则的长度为 　 　．
16．（2024七下·金堂期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由：　 　．
三、解答题：本大题共8小题，共72分.
17．（2023八上·沙市区期中）如图，在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，用于刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹；
（1）在图1中，作与全等（点D与点C不重合）；
（2）在图2中，作的高；
（3）在图3中，作（点F为小正方形的顶点，且不与点B重合）．
18．（2024八上·高密月考）已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明．
19．（2024七下·市中区期末）如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．（2025·雨花期末）这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△ABD，使得△ABD≌ △ABC．
作法：如图．
①分别以点A，B为圆心，线段AC，BC长为半径画弧，两弧相交于点D；
②连接线段AD，BD，则△ABD即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌ △ABD（　　）．
（2）小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接CD，交AB于点E，已知CD与AB的线段长能否求出△ABC的面积呢？假设CD=4，AB=6，请你尝试求出S△ABC
21．（2024八上·咸安期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.
图1 图2 图3
（1）如图1，是的中线，，，求的取值范围.
我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：　 　；
（2）如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明.
22．（2024七下·郑州期中）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角；
项目数据 …
任务：
（1）由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
（2）若，则 ；
（3）请你说明他们作法的正确性．
23．（2024八上·南宁开学考）综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD．求证：S△ABD＝S△ACD．
证明：过点A作AE⊥BC于E
∵点D是BC边上的中点
∴BD＝CD
∵
∴S△ABD＝S△ACD
【拓展探究】
（1）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S△ABC＝6，S△ABD＝　 　；
（2）如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程；
（3）【问题解决】
现在有一块四边形土地ABCD（如图4），和都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．
24．（2024八上·长沙月考）
问题情境：如图，在直角三角形中，，于点，可知：不需要证明；
（1）特例探究：如图，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点证明：≌；
（2）归纳证明：如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，求证：≌；
（3）拓展应用：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，则与的面积之和为　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
此三角形残缺的部分的度数为：180°-∠A-∠B=65°
故答案为： B
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： PA -PB< AB< PA+PB
∴14 -10∴4m < AB < 24m
则A不满足。
故答案为：A.
【分析】 需确定AB间的距离不可能的选项，利用三角形三边关系，AB的长度应满足：两边之差小于第三边且小于两边之和。
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接AD、BE、CF，如图所示：
∵AE=AC，
∴S△ABE=S△ABC=1，
∵BF=AB，
∴S△BEF=S△ABE=1，
∴S△AEF=S△ABE+S△BEF=1+1=2，
同理可得，S△BDF=2，S△CDE=2，
∴S阴影=S△AEF+S△BDF+S△CDE=2+2+2=6，
故答案为：B.
【分析】连接AD、BE、CF，先利用三角形中线的性质可得S△ABE=S△ABC=1，S△BEF=S△ABE=1，再求出S△AEF=S△ABE+S△BEF=1+1=2，再求出S△BDF=2，S△CDE=2，最后求出S阴影=S△AEF+S△BDF+S△CDE=2+2+2=6即可.
4．【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=AE，AC=DE，
∵CE=AC-AE，BC=3，DE=4，
∴CE=DE-BC=4-3=1，
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的性质得对应边相等，再根据线段的和差关系即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC三边长分别为3，4，5，△DEF三边长分别为3，3x-2，2x-1，这两个三角形全等，
①3x-2=4，解得：x=2，
当x=2时，2x+1=5，两个三角形全等.
②当3x-2=5，解得：x= ，
把x= 代入2x+1≠4，
∴3x-2与5不是对应边，两个三角形不全等.
故答案为：A.
【分析】首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：3x-2与4是对应边，或3x-2与5是对应边，计算发现，3x-2=5时，2x-1≠4，故3x-2与5不是对应边.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知，
A、在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，∠A=∠D，因此（ASA），A不符合题意；
B、由BF=CE，得BC=BF+CF，EF=CE+CF，则BC=EF. 在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，因此（SAS），B不符合题意；
C、由∠DFB=∠ACE，得∠DFE=180°-∠DFB，∠ACB=180°-∠ACE，则∠DFE=∠ACB. 在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，∠DFE=∠ACB，因此（AAS），C不符合题意；
D、在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，AC=DF，无法得到，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】判断两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，依次根据选项中的条件与判断三角形全等的方法进行匹配，如果满足三角形全等的条件，则不符合题意，逐一进行筛选即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A中，由，根据SSS一定符合要求；
B中，由，根据SAS一定符合要求；
C中，由，不一定符合要求；
D中，由，根据ASA一定符合要求．
故选：C．
【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法，结合SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求，即可得到答案．
8．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：】解：A： 图(1)两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线正确，所以A不符合题意；
B：图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性正确，所以B不符合题意；
C： 图(3)体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 正确，所C不符合题意；
D： 图(4)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法ASA，所以D不正确，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据 两点确定一条直线 ； 三角形的稳定性 ； 垂线段最短 ，以及全等三角形的判定，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，
AO=OC，AOB=COD，OB= OD，
∴△AOB△COD(SAS)，
∴AB=CD.
方案2：在△AOB与△EOF中，
AO=EО，
AOB=EOF，
OB=OF
∴△AOB△EOF(SAS)，
∴AB=EF.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.
10．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】几何题可以用反推法，两堵墙之间的距离，即“CD+CE”的和，所以要分别求出CD和CE的长，可以通过证明这两条线段所在的三角形全等，再利用转化的思想即可求出
11．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意可得：
她用到了三角形的稳定性
故答案为：稳定性
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
12．【答案】3
【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ACF≌△DBE，∠E=∠F，
∴点A的对应点是点D，点C的对应点是点B，
∴ AC=BD，
∵AD=AC+BD-BC， AD=15cm，BC=9cm，
∴2AC-9=15，解得AC=12cm，
∴AB=AC-BC=3cm.
故答案为：3.
【分析】先根据全等三角形的性质及∠E=∠F，找到对应顶点，再得出AC=BD，结合已知边长，得到关于AC的方程求解，再利用AB=AC-BC求出AB.
13．【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①当条件是AB=AE时，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴①符合题意；
②当条件是BC=ED时，无法利用“SSA”证出△ABC≌△AED，
∴②不符合题意；
③当条件是∠B=∠E时，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴③符合题意；
④当条件是∠C=∠D时，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴④符合题意；
综上符合题意是①③④，
故答案为：①③④.
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和平分和，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，
∴．
故答案为：135°．
【分析】由直角三角形的量锐角互余得，由角平分线定义得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，进而再根据三角形的内角和定理可得，从而整体代入计算可得答案.
15．【答案】30
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵三角形ABC被分成7块面积相等的小三角形，
∴，
∴，
∴；
同理可得：，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为：30．
【分析】利用已知条件AC的长及△ABC被分成7块面积相等的小三角形，可得到△ADE和△CDE的面积之比，由此可得到AE和CE的比值，据此可求出CE及AE的长；同理可求出CG和EG的比值，可求出GC的长；再根据△CHI和△GHI的面积相等，可得到GI和CI相等，根据CG的长，可求出GI的长.
16．【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，O是AD和BC的中点，
∴，
在和中，
，
，
故选：．
【分析】根据题意得，于是可利用SAS证明两个三角形全等，即可得判定方法．
17．【答案】（1）解：如图1所示，为所求．
（2）解：如图2所示，为所求的的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
【知识点】角的概念及表示；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定（边边边），如点D即为所求.
（2）取格点G，连接交于点E，则即为所求；
（3）利用网格的特点，，即可求解．
（1）解：如图1所示，为所求．
（2）解：如图2所示，为所求的的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
18．【答案】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
如图，设与交于点G，
，
，
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等得∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”判断出△BAD≌△CAE；
（2）根据全等三角形的对应角相等即可得到，由“8”字形图可得∠CDG=∠BAC=90°，从而可得结论.
（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
如图，设与交于点G，
，
，
，，
，
．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差及等量代换可得，利用平行线的性质可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠E的度数即可.
20．【答案】（1）证明：由作图可知，在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌ △ABD（SSS）
（2）解：∵△ABC≌ △ABD
∴∠BAD=∠BAC，AD=AB
∴在△ACE和△ADE中
∴△ACE≌ △ADE
∴∠AEC=∠AED=90°，DE=CE
∵CD=4，AB=6
∴S△ABC=
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）有做图可知：AD=AC，BD=BC，再结合AB=AB，所以根据三角形判定定理“SSS”即可得到 △ABC≌ △ABD .
（2）由（1）可知 △ABC≌ △ABD ，所以∠BAD=∠BAC，AD=AB，再结合AE=AE，可以得到△ACE≌ △ADE。进而得到∠AEC=∠AED=90°，DE=CE。由CD=4，AB=6，所以CE=2，再根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积.
21．【答案】（1）
（2）证明：如图，延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，
同（1）可证△ADC≌△TDB，
∴AC＝BD，∠C＝∠EBD，
∴BT∥AC，
∴∠T＝∠DAC，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFT，
∴∠T＝∠BFT，
∴BF＝BD，
∴AC＝BF．
（3）解：CD＝AD＋BC，理由如下：
如图，延长CE交DA的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠ECB，
∵E是AB的中点，
∴AE＝EB，
在△AEG和△BEC中，
∴△AEG≌△BEC（AAS），
∴AG＝BC，EC＝EG，
∵DE⊥CG，
∴CD＝GD，
∵DG＝AD＋AG＝AD＋BC，
∴CD＝AD＋BC．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB 中，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM＝6，
∵AB＝8，
∴AB BM＜AM＜AB＋BM，
∴2＜AM＜14，
∴2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
【分析】（1）先利用“SAS”证出△ADC≌△MDB，可得AC＝BM＝6，再利用三角形三边的关系可得AB BM＜AM＜AB＋BM，再将数据代入求出1＜AD＜7即可；
（2）延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，先证出AC＝BD，∠C＝∠EBD，再结合∠T＝∠BFT，可得BF＝BD，最后利用等量代换可得AC＝BF；
（3）延长CE交DA的延长线于点G，先利用“AAS”证出△AEG≌△BEC，可得AG＝BC，EC＝EG，再利用线段的和差及等量代换可得CD＝AD＋BC．
22．【答案】（1）D
（2）
（3）证明：由（2）知，在和中，
，
，
．
即测量的长度，就等于的长度，即点的高度．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）正确的顺序应是：
②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；
④记下直杆与地面的夹角；
③使直杆顶端缓慢下滑，直到；
①标记测试直杆的底端点，测量的长度．
故答案为：；
（2）在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
【分析】
（1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到，标记直杆的底端点，测量的长度”的顺序，从新排列“解决过程”即可；
（2）由题意，用角角边可得≌，由全等三角形的对应角相等可得，结合已知即可求解；
（3）由（2）可得，由全等三角形的对应边相等可得OA=OD即可说明他们作法的正确性．
23．【答案】（1）3
（2）证明：如图，作AP⊥BC于点P，
∵CD+BD=BC， CD＝2BD，
∴BD=BC，
∵S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP，
∴S△ABD＝S△ABC
（3）解：如图，连接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
理由：∵Q是BD的中点，
∴AQ是△ABD的中线，CQ是△BCD的中线，
∴S△ABQ=S△AQD，S△BQC=S△CQD， ∴S△ABQ+S△BQC=S△AQD+S△CQD， ∴折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵ 点D是BC边上的中点 ，
∴S△ABD=S△ACD
∵ S△ABC＝6，
∴S△ABD=S△ABC＝3；
故答案为：3.
【分析】（1）由点D是BC边上的中点 ，可得S△ABD=S△ACD=S△ABC，继而得解；
（2）作AP⊥BC于点P，由CD+BD=BC，CD＝2BD，可得BD=BC，由三角形的面积公式可得S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP，继而得解；
（3）接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
24．【答案】（1）解：如图，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图，
，，，，
，，
在和中，
，
≌；
（3）5
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积=×15＝5，
由图3中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5，
故答案为：5．
【分析】（1）先利用角的运算及等量代换证出，再利用“AAS”证出 ≌即可；
（2）先利用角的运算求出，， 再利用“ASA”证出≌即可；
（3）利用“△ABC的面积为15，CD＝2BD”求出△ABD的面积=×15＝5，再结合“△ABE≌△CAF”可得△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5，从而得解.
1 / 1第一章《三角形》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元分层测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2025七下·深圳期末） 如图，是一个缺角的残片，量得，，则此三角形残缺的部分为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
此三角形残缺的部分的度数为：180°-∠A-∠B=65°
故答案为： B
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案.
2．（2025七下·深圳期中）如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA=14m，PB=10m，那么AB间的距离不可能是（　　）
A．4m B．15m C．20m D．22m
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： PA -PB< AB< PA+PB
∴14 -10∴4m < AB < 24m
则A不满足。
故答案为：A.
【分析】 需确定AB间的距离不可能的选项，利用三角形三边关系，AB的长度应满足：两边之差小于第三边且小于两边之和。
3．（2025七下·深圳期中）如图，已知的面积为1，分别延长BC至点，使，延长CA至点，使至点，使，依次连接DE，EF，FD则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接AD、BE、CF，如图所示：
∵AE=AC，
∴S△ABE=S△ABC=1，
∵BF=AB，
∴S△BEF=S△ABE=1，
∴S△AEF=S△ABE+S△BEF=1+1=2，
同理可得，S△BDF=2，S△CDE=2，
∴S阴影=S△AEF+S△BDF+S△CDE=2+2+2=6，
故答案为：B.
【分析】连接AD、BE、CF，先利用三角形中线的性质可得S△ABE=S△ABC=1，S△BEF=S△ABE=1，再求出S△AEF=S△ABE+S△BEF=1+1=2，再求出S△BDF=2，S△CDE=2，最后求出S阴影=S△AEF+S△BDF+S△CDE=2+2+2=6即可.
4．（2025八上·鄞州期末）如图，点 在 上， ，若 ，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=AE，AC=DE，
∵CE=AC-AE，BC=3，DE=4，
∴CE=DE-BC=4-3=1，
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的性质得对应边相等，再根据线段的和差关系即可得出答案.
5．（2020八上·台州月考）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（　　）
A．2 B．2或 C． 或 D．2或 或
【答案】A
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC三边长分别为3，4，5，△DEF三边长分别为3，3x-2，2x-1，这两个三角形全等，
①3x-2=4，解得：x=2，
当x=2时，2x+1=5，两个三角形全等.
②当3x-2=5，解得：x= ，
把x= 代入2x+1≠4，
∴3x-2与5不是对应边，两个三角形不全等.
故答案为：A.
【分析】首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：3x-2与4是对应边，或3x-2与5是对应边，计算发现，3x-2=5时，2x-1≠4，故3x-2与5不是对应边.
6．（2025七下·杭州期末） 如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知，
A、在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，∠A=∠D，因此（ASA），A不符合题意；
B、由BF=CE，得BC=BF+CF，EF=CE+CF，则BC=EF. 在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，因此（SAS），B不符合题意；
C、由∠DFB=∠ACE，得∠DFE=180°-∠DFB，∠ACB=180°-∠ACE，则∠DFE=∠ACB. 在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，∠DFE=∠ACB，因此（AAS），C不符合题意；
D、在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，AC=DF，无法得到，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】判断两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，依次根据选项中的条件与判断三角形全等的方法进行匹配，如果满足三角形全等的条件，则不符合题意，逐一进行筛选即可。
7．（2024七下·朝阳期中）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A中，由，根据SSS一定符合要求；
B中，由，根据SAS一定符合要求；
C中，由，不一定符合要求；
D中，由，根据ASA一定符合要求．
故选：C．
【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法，结合SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求，即可得到答案．
8．（2025七下·榕城期末）数学来源于生活，又服务于生活.以下四幅图中用数学原理解释不正确的是(　　)
A．图(1)两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线
B．图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图(3)体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
D．图(4)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：】解：A： 图(1)两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线正确，所以A不符合题意；
B：图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性正确，所以B不符合题意；
C： 图(3)体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 正确，所C不符合题意；
D： 图(4)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法ASA，所以D不正确，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据 两点确定一条直线 ； 三角形的稳定性 ； 垂线段最短 ，以及全等三角形的判定，即可得出答案。
9．（2025七下·南山期末）如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB： ③连接DC，测量DC的长度即可。 方案2 ①如图2，选定点O： ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA： ③连接EF，测量EF的长度即可。
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（　　）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：方案1：在△AOB与△COD中，
AO=OC，AOB=COD，OB= OD，
∴△AOB△COD(SAS)，
∴AB=CD.
方案2：在△AOB与△EOF中，
AO=EО，
AOB=EOF，
OB=OF
∴△AOB△EOF(SAS)，
∴AB=EF.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件发现方案1，方案2都可以利用SAS证明两个三角形全等，即两种方案都可行，由此即可解答.
10．（2020八上·碾子山期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，　∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（　　）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】几何题可以用反推法，两堵墙之间的距离，即“CD+CE”的和，所以要分别求出CD和CE的长，可以通过证明这两条线段所在的三角形全等，再利用转化的思想即可求出
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.
11．（2025七下·盐田期末）下图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“　 　”的性质。
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意可得：
她用到了三角形的稳定性
故答案为：稳定性
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
12．如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=15cm，BC=9cm，则AB的长为　 　cm.
【答案】3
【知识点】全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ACF≌△DBE，∠E=∠F，
∴点A的对应点是点D，点C的对应点是点B，
∴ AC=BD，
∵AD=AC+BD-BC， AD=15cm，BC=9cm，
∴2AC-9=15，解得AC=12cm，
∴AB=AC-BC=3cm.
故答案为：3.
【分析】先根据全等三角形的性质及∠E=∠F，找到对应顶点，再得出AC=BD，结合已知边长，得到关于AC的方程求解，再利用AB=AC-BC求出AB.
13．（2025七下·深圳期中）如图，．给出下列条件：①；②，③，④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有　 　（填符号）
【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①当条件是AB=AE时，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴①符合题意；
②当条件是BC=ED时，无法利用“SSA”证出△ABC≌△AED，
∴②不符合题意；
③当条件是∠B=∠E时，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴③符合题意；
④当条件是∠C=∠D时，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴④符合题意；
综上符合题意是①③④，
故答案为：①③④.
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
14．（2024八上·孟村期中）如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和平分和，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，
∴．
故答案为：135°．
【分析】由直角三角形的量锐角互余得，由角平分线定义得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，进而再根据三角形的内角和定理可得，从而整体代入计算可得答案.
15．（2024八上·拱墅期中）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，，则的长度为 　 　．
【答案】30
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵三角形ABC被分成7块面积相等的小三角形，
∴，
∴，
∴；
同理可得：，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为：30．
【分析】利用已知条件AC的长及△ABC被分成7块面积相等的小三角形，可得到△ADE和△CDE的面积之比，由此可得到AE和CE的比值，据此可求出CE及AE的长；同理可求出CG和EG的比值，可求出GC的长；再根据△CHI和△GHI的面积相等，可得到GI和CI相等，根据CG的长，可求出GI的长.
16．（2024七下·金堂期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由：　 　．
【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，O是AD和BC的中点，
∴，
在和中，
，
，
故选：．
【分析】根据题意得，于是可利用SAS证明两个三角形全等，即可得判定方法．
三、解答题：本大题共8小题，共72分.
17．（2023八上·沙市区期中）如图，在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，用于刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹；
（1）在图1中，作与全等（点D与点C不重合）；
（2）在图2中，作的高；
（3）在图3中，作（点F为小正方形的顶点，且不与点B重合）．
【答案】（1）解：如图1所示，为所求．
（2）解：如图2所示，为所求的的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
【知识点】角的概念及表示；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定（边边边），如点D即为所求.
（2）取格点G，连接交于点E，则即为所求；
（3）利用网格的特点，，即可求解．
（1）解：如图1所示，为所求．
（2）解：如图2所示，为所求的的边上的高．
（3）解：如图3所示，为所求．
18．（2024八上·高密月考）已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
（1）求证：；
（2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明．
【答案】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
如图，设与交于点G，
，
，
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等得∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”判断出△BAD≌△CAE；
（2）根据全等三角形的对应角相等即可得到，由“8”字形图可得∠CDG=∠BAC=90°，从而可得结论.
（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
如图，设与交于点G，
，
，
，，
，
．
19．（2024七下·市中区期末）如图所示，为了提醒同学们用电安全，小安同学为学校设计了一个安全用电的标识贴在学校的所有插座附近，图中的点A、D、C、F在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差及等量代换可得，利用平行线的性质可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再结合，利用角的运算求出∠E的度数即可.
20．（2025·雨花期末）这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△ABD，使得△ABD≌ △ABC．
作法：如图．
①分别以点A，B为圆心，线段AC，BC长为半径画弧，两弧相交于点D；
②连接线段AD，BD，则△ABD即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌ △ABD（　　）．
（2）小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接CD，交AB于点E，已知CD与AB的线段长能否求出△ABC的面积呢？假设CD=4，AB=6，请你尝试求出S△ABC
【答案】（1）证明：由作图可知，在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌ △ABD（SSS）
（2）解：∵△ABC≌ △ABD
∴∠BAD=∠BAC，AD=AB
∴在△ACE和△ADE中
∴△ACE≌ △ADE
∴∠AEC=∠AED=90°，DE=CE
∵CD=4，AB=6
∴S△ABC=
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）有做图可知：AD=AC，BD=BC，再结合AB=AB，所以根据三角形判定定理“SSS”即可得到 △ABC≌ △ABD .
（2）由（1）可知 △ABC≌ △ABD ，所以∠BAD=∠BAC，AD=AB，再结合AE=AE，可以得到△ACE≌ △ADE。进而得到∠AEC=∠AED=90°，DE=CE。由CD=4，AB=6，所以CE=2，再根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积.
21．（2024八上·咸安期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.
图1 图2 图3
（1）如图1，是的中线，，，求的取值范围.
我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：　 　；
（2）如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明.
【答案】（1）
（2）证明：如图，延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，
同（1）可证△ADC≌△TDB，
∴AC＝BD，∠C＝∠EBD，
∴BT∥AC，
∴∠T＝∠DAC，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFT，
∴∠T＝∠BFT，
∴BF＝BD，
∴AC＝BF．
（3）解：CD＝AD＋BC，理由如下：
如图，延长CE交DA的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠ECB，
∵E是AB的中点，
∴AE＝EB，
在△AEG和△BEC中，
∴△AEG≌△BEC（AAS），
∴AG＝BC，EC＝EG，
∵DE⊥CG，
∴CD＝GD，
∵DG＝AD＋AG＝AD＋BC，
∴CD＝AD＋BC．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB 中，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM＝6，
∵AB＝8，
∴AB BM＜AM＜AB＋BM，
∴2＜AM＜14，
∴2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
【分析】（1）先利用“SAS”证出△ADC≌△MDB，可得AC＝BM＝6，再利用三角形三边的关系可得AB BM＜AM＜AB＋BM，再将数据代入求出1＜AD＜7即可；
（2）延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，先证出AC＝BD，∠C＝∠EBD，再结合∠T＝∠BFT，可得BF＝BD，最后利用等量代换可得AC＝BF；
（3）延长CE交DA的延长线于点G，先利用“AAS”证出△AEG≌△BEC，可得AG＝BC，EC＝EG，再利用线段的和差及等量代换可得CD＝AD＋BC．
22．（2024七下·郑州期中）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角；
项目数据 …
任务：
（1）由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
（2）若，则 ；
（3）请你说明他们作法的正确性．
【答案】（1）D
（2）
（3）证明：由（2）知，在和中，
，
，
．
即测量的长度，就等于的长度，即点的高度．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）正确的顺序应是：
②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；
④记下直杆与地面的夹角；
③使直杆顶端缓慢下滑，直到；
①标记测试直杆的底端点，测量的长度．
故答案为：；
（2）在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
【分析】
（1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到，标记直杆的底端点，测量的长度”的顺序，从新排列“解决过程”即可；
（2）由题意，用角角边可得≌，由全等三角形的对应角相等可得，结合已知即可求解；
（3）由（2）可得，由全等三角形的对应边相等可得OA=OD即可说明他们作法的正确性．
23．（2024八上·南宁开学考）综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
已知：如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD．求证：S△ABD＝S△ACD．
证明：过点A作AE⊥BC于E
∵点D是BC边上的中点
∴BD＝CD
∵
∴S△ABD＝S△ACD
【拓展探究】
（1）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S△ABC＝6，S△ABD＝　 　；
（2）如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点且CD＝2BD，S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系？请模仿写出证明过程；
（3）【问题解决】
现在有一块四边形土地ABCD（如图4），和都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙．
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．
【答案】（1）3
（2）证明：如图，作AP⊥BC于点P，
∵CD+BD=BC， CD＝2BD，
∴BD=BC，
∵S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP，
∴S△ABD＝S△ABC
（3）解：如图，连接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
理由：∵Q是BD的中点，
∴AQ是△ABD的中线，CQ是△BCD的中线，
∴S△ABQ=S△AQD，S△BQC=S△CQD， ∴S△ABQ+S△BQC=S△AQD+S△CQD， ∴折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵ 点D是BC边上的中点 ，
∴S△ABD=S△ACD
∵ S△ABC＝6，
∴S△ABD=S△ABC＝3；
故答案为：3.
【分析】（1）由点D是BC边上的中点 ，可得S△ABD=S△ACD=S△ABC，继而得解；
（2）作AP⊥BC于点P，由CD+BD=BC，CD＝2BD，可得BD=BC，由三角形的面积公式可得S△ABD=BD·AP=×BC×AP=×BC×AP，S△ABC=BC·AP=BC×AP，继而得解；
（3）接BD，取BD的中点Q，连接AQ、CQ，则折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
24．（2024八上·长沙月考）
问题情境：如图，在直角三角形中，，于点，可知：不需要证明；
（1）特例探究：如图，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点证明：≌；
（2）归纳证明：如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，求证：≌；
（3）拓展应用：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，则与的面积之和为　 　．
【答案】（1）解：如图，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图，
，，，，
，，
在和中，
，
≌；
（3）5
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积=×15＝5，
由图3中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5，
故答案为：5．
【分析】（1）先利用角的运算及等量代换证出，再利用“AAS”证出 ≌即可；
（2）先利用角的运算求出，， 再利用“ASA”证出≌即可；
（3）利用“△ABC的面积为15，CD＝2BD”求出△ABD的面积=×15＝5，再结合“△ABE≌△CAF”可得△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5，从而得解.
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